索道橋施工控制參數的精細數值解析算法

景天虎,王 鑫,劉均利,莫時旭

(桂林理工大學 廣西巖土力學與工程重點實驗室,廣西 桂林 541004)

0 引 言

索道橋作為獨具我國西南地方特色的橋梁,雖有學者稱其為上承式懸索橋[1],但它與常規公路懸索橋在結構方面存在顯著差異。例如,索道橋主跨兩端采用滑輪鞍座,在施工過程中錨跨和中(主)跨的鋼索是一個自由連通的自適應平衡系統。空纜架設之后隨著主跨橋面系的安裝,錨跨纜索會因索力增加伸長后引起小部分索段進入主跨。常規公路懸索橋則是在主索絲股架設完成、調準參數后,不允許其在塔頂主鞍座承攬槽內滑移。對于混凝土索塔,在安裝主索鞍時一般要設置向邊跨側的預偏量,隨著主跨架設進度，逐漸將其頂回成橋狀態主塔中心的設計位置[2-6]。

目前,常規公路懸索橋的施工控制理論比較成熟,關于主索架設參數計算方面的研究成果眾多[4-8]。鑒于上述結構差異,索道橋施工控制參數計算時不能直接引用這些成果，而專門針對索道橋的研究成果較少。文獻[2,9]分別提出的索道橋主索架設參數的算法是基于主跨纜索線形為拋物線的近似解析法,未見公開文獻對其計算誤差作深入研究。文獻[10]將索道橋初態索形假定為懸鏈線,并認為只建立中跨纜索的模型便能夠較好地模擬,對于168 m跨徑的中跨纜索就用了336個懸鏈線單元離散模擬,通過反復迭代試算來尋找符合滿足各種要求的纜索線形,計算工作量較大。同時,文獻[2,9-10]都未對錨跨纜索線形和傾角對于索道橋施工控制參數的影響進行詳盡分析。盡管目前有限元方法比較成熟,以電算軟件為其實現工具，大量應用于土木工程結構分析中,但以解析法為基礎的各種實用方法仍然具有重要的意義,它們不僅使用方便,而且往往能提供更為清晰的受力概念[11],故本文以黃河白浪索道橋為背景,基于全橋主索無應力索長不變量,按照無應力狀態控制法的基本原理[12],統籌考慮錨跨和主跨纜索架設過程中索段的相互轉換影響,研究了用于索道橋架設參數計算的精細數值解析算法。

1 解析算法原理

1.1 近似解析法——拋物線法簡析

近似解析算法假定索道橋的多根主索受載和變形均勻一致,將其等效為單根索平面模型(圖1);假定主跨鋼索線形為拋物線,兩端鉸支在鞍座處主索軸線理論交點A、B處。錨跨主索的水平傾角和垂度影響被忽略;全橋用一個水平索力代替錨、主跨的鋼索所有截面的軸向索力;再綜合力學平衡和材料物理特性方面的關系,根據同一座索道橋全橋鋼索在任意兩種荷載狀態下的懸索馳度(即各跨無應力索長之和減去水平跨徑之和)相等的幾何條件,得到一個在所求荷載狀態下水平索力的3次代數方程(即懸索的轉換方程);最后由已求得的水平索力和力矩平衡條件得到主索線形[2, 9]。

實際上,懸索馳度相等的幾何條件就等價于“全橋無應力索長(S0)不變量”的變形協調條件,即近似解析法統籌考慮了主、錨跨索段變形的協調條件。但是該算法在公式推導過程中的多項近似處理,必然會對索道橋主索架設參數的計算精度產生一定程度的影響,值得進一步研究。

目前,索道橋成橋后調整橋面線形是要在拆下橋面系構件的條件下才能進行。顯然,主索架設經濟且理想的施工工藝是:空索初掛、線形實測精度滿足要求后,鋼索端部就被永久錨固于錨碇上,全橋鋼索的S0隨即被固定下來,在后續的施工過程中保持不變,就等于成橋滿活載狀態下的S0(下文稱為“索長不變量”)[12],亦即得到鋼索的理論下料長度為S0,再考慮一定的操作長度,即可得到實際的下料長度Sc。

1.2 數值解析算法——分段懸鏈線法

該算法是在主索線形參數計算時把數值迭代與索段的懸鏈線解析公式結合起來的分析方法,原本被用于常規公路懸索橋主纜線形計算。懸鏈線被認為是最接近真實反映實際懸掛鋼索的線形。該算法假定主跨鋼索線形由分段懸鏈線組成，兩個相鄰集中力之間區段的索形為懸鏈線[6]。

懸鏈線參數方法又可分為兩大類[7]:① 主纜索自重集度按其有應力長度計算作為已知條件的線形公式(式(1)); ② 主纜索自重集度按其無應力長度計算作為已知條件的線形公式(式(2))。

(1a)

(1b)

(2a)

假定鋼索為忽略截面泊松比效應的理想柔性索,對圖2無集中力作用的索段懸鏈線形狀滿足:

(3a)

(3c)

(3d)

圖1 索道橋主索計算圖式[2,13]Fig.1 Calculation chart for main cables of cableway bridges

其中,hi和li分別為第i索段兩端點間的高差和水平投影距離;qi和qi0分別為第i段按鋼索有、 無應力長度計算的自重集度;E和A分別為主索材料彈性模量和橫截面積;Hi和Hj分別為第i索段左、 右端橫截面的水平索力; 索道橋的同一跨鋼索中所有索段的水平索力相等, 因此記為Hi=Hj=H;Vi和Vj分別為第i段懸鏈線左、 右端橫截面的剪力;Si和Si0分別為第i段索段的有、 無應力長度; ΔSi為第i索段的彈性伸長量;αi和βi為計算參數。

圖2 主索在自重作用下受力分析[4, 7]Fig.2 Mechanical analysis of main cables under dead load

鑒于前述的結構差異,必須對該數值解析算法加以改造,才能用于索道橋的施工控制參數計算。以下將改造后的算法簡稱為“精細解析法”。

索道橋主跨為其線形控制跨。單個索段的線形參數計算問題解決后,接著分析由分段懸鏈線索段組成的整個主跨線形參數計算問題。

首先,從主索軸線理論交點A、B(圖1)出發,假定該點處的主索水平索力HA、HB和剪力VA、VB(其初值可取近似解析法的計算值), 累加各相關索段的hi，推求跨中垂度和A、B兩點高差,并與這兩個參數的已知值比較,經迭代得到最終的HA、HB和剪力VA、VB。 同理, 若在圖1中把主跨鋼索水平索力記作Hm, 則有HA=HB=Hm。

其次, 在圖1中假設在點A和點B截面處截斷主索, 取出錨索分析。 從空索狀態開始施加橋面系恒載過程中, 由水平力的平衡條件可得: 左、 右錨跨的鋼索水平索力分別為HmA=Hm+FmA和HmB=Hm+FmB, 其中FmA和FmB分別為鋼索在左、 右鞍座處的摩阻力。 滑輪鞍座的摩擦系數可通過試驗或《機械技術手冊》確定, 結合已求得的RA和RB、FmA、FmB便可得到, 進而HmA和HmB變為已知量。 通常架設階段的滑輪鞍座處于充分潤滑狀態,滾動摩阻力FmA和FmB相對于Hm很小, 可略去,則近似有HmA=HmB=Hm。

最后, 把li和hi分別用錨跨的水平跨徑和高差代替, 再把HmA、HmB、li和hi代入式(1a)、(1b)(qi已知時)或者式(2a)、(2b)(qi0已知時), 聯立求解即可得到VsA、VsB、SsA、SsB(當qi已知時),S0sA、S0sB(當qi0已知時)。 這里SsA、SsB和S0sA、S0sB分別為左、 右端整個錨跨索段的有應力長度和無應力長度；VsA、VsB則為對應的索端剪力。 通過式(1a)～(3d),進而得到錨索其他截面處的架設參數。

2 索道橋施工控制參數計算

2.1 成橋滿活載狀態下主索安裝參數

該荷載狀態為設計規定的索道橋運營目標狀態。按照橋梁的使用功能要求,主跨鋼索跨中垂度值fm0和支點高差hm0,橋面系恒、活載加載參數等由設計者首先擬定,成為圖1中所示結構的已知參數。這樣就可采用1.2節算法得到主跨和左、右錨跨的無應力索長,這里分別記作S2和S1、S3,進而得到全橋無應力索長不變量S0=S1+S2+S3。

2.2 平衡狀態下主索的變形協調函數

在某施工工況的荷載平衡狀態下,假設主跨鋼索的無應力索長為S0x和跨中垂度為fmx,兩個錨跨的無應力索長之和為l0s,全橋鋼索總的無應力索長等于運營目標狀態的索長不變量,即

S0x+l0s=S0,

(4a)

對式(4a)取全微分, 可得

dS0x=-dl0s。

(4b)

可見, 索道橋鋼索的無應力索長會在錨跨和主跨之間出現此消彼長的轉換狀態, 以適應不同的荷載工況, 同時滿足各跨之間鋼索的變形協調條件。 由式(4a)知, 錨索的無應力索長l0s是S0x的函數; 而S0x又是fmx的函數, 故記作l0s=l0s(S0x);S0x=S0x(fmx); 進而l0s=l0s(fmx)。再定義變形協調函數

g(S0x)=S0x+l0s(S0x)-S0

=S0x(fmx)+l0s(fmx)-S0

=g(fmx)=0。

(4c)

如果主索的某個平衡狀態位形存在, 必然有與其對應的S0x和fmx滿足式(4c), 即該方程有解。 式(4c)是關于fmx的隱函數方程, 可用牛頓求根法迭代計算得到數值解。 迭代收斂準則可根據主索制作下料精度確定。 迭代格式為

(5)

2.3 空索和成橋恒載工況的主索架設參數

空索工況的全橋主索無應力索長等于索長不變量S0。由無應力狀態控制原理可知[12],分階段成形結構的4個條件(外荷載、結構體系、支承邊界條件、構件單元的無應力狀態量)唯一地確定一個施工階段的平衡狀態;通過求解式(4c)的未知數fmx即可確定該工況的主跨鋼索跨中垂度值,進而得到主、錨跨的全部線形參數。同理,可得到成橋恒載工況的主、錨跨的全部線形參數。

2.4 主索架設參數的溫度修正

設鋼索端部錨固時的溫度為t0,則可由2.1～2.3節所述方法確定在t0溫度下鋼索無應力長度S0t0,以及相對應的成橋恒載、空索或活載工況的其他架設參數(包括主跨跨中垂度fmx,t0)。在若某一工況的某時刻溫度為t, 相應的鋼索無應力長度為S0t,則有[10]

S0t=S0t0+α·(t-t0)·S0t0,

(6)

3 工程背景

白浪索道橋是一座主跨徑438 m單車道橋梁(圖3)[2,14]。設計采用的滿載跨中矢度為1/39;主要活載圖式為3×40 t、縱橋向車距150 m的履帶車隊。橋梁上部結構的主要參數為:沿順橋向布置43道鋼橫梁,質量1.1 t(30道)和1.2 t(13道)兩種梁相間布置, 間距為7.75～11.25 m。 主索采用76根鋼絲繩(直徑38 mm, 繩股結構6×37+FC, 標準強度1 770 MPa); 4根抗風索。 橋面板為東北松木板(長×寬×高為4.4 m×0.5 m×0.085 m), 約876根。

圖3 白浪索道橋平、立面示意圖Fig.3 Schematic diagram of plan and elevation of the Bailang cableway bridge1—外穩定索;2—內穩定索;3—橋面索;4—抗風索;5—橋面板;6—橫梁

4 施工控制參數計算結果的精度對比

本文第3節的案例摘自文獻[2]的實例Ⅱ。 現取其中1根鋼索建立計算簡圖(圖1)。材料參數:鋼索彈性模量E=1.079 1×108kN/m2;每根鋼索截面面積A=5.891 3 cm2;主跨橋面系自重為2.491 74 kN/m,76根鋼索總自重為4.090 77 kN/m(文獻[2]按縱橋向沿水平跨徑給出該參數; 本文計算時隨著線形迭代進程將其化為沿有應力曲線索長的集度qi)。幾何參數k、p、w、z、e、l、L分別為67.5、 82、 46.25、 23.25、 150、 32.5、 438 m;k′、p′、w′、z′、e′、l′分別等于k、p、w、z、e、l; 錨索水平傾角參數γ=λ, 分別取0°、 30°(文獻[2]未給出該參數; 其采用近似解析法計算, 不需要這些值)。荷載參數P1、P2、P3分別等于10.791、 11.772、392.4 kN。不計滑輪鞍座滾動摩阻力;以主索端部錨固時刻為基準,分別考慮溫度變化±5 ℃的情況。使用Matlab軟件編程執行2.2節所述1～2輪次迭代計算,得到的施工控制參數結果見表1、2。

需說明的是,文獻[2]只給出了鋼索的水平索力和主跨跨中垂度值,未計算溫度變化工況。本文“近似解析法”的主跨索長值則是把文獻[2]的相關參數值代入拋物線索形長度的精確解析公式求得的。表1中的“有限元法”結果是采用ANSYS軟件實現的“模型更補法”的計算結果。文獻[15]已深入比較了“分段懸鏈線法”和有限元法對于理想柔性索的索形模擬精度。考慮本分析的結構嚴謹性、又限于篇幅,在表1中有限元法的結果僅列出了荷載工況Ⅲ在錨索水平傾角0°時的計算結果,以驗證算法精度。

(1)從索長計算結果可見:有限元法與精細解析法的索形參數結果非常接近,水平索力值的相對偏差在0.121%以內，這說明精細解析法的分析結果是可靠的。

(2)從空索初掛到成橋滿活載工況,隨著主跨荷載的增加,錨索無應力長度逐漸減小,而主跨鋼索的無應力長度逐漸增大;鋼索無應力索段長度在主、錨跨之間進行此消彼長的相互轉換,其幅度大于71mm,超過了規范(JTG F80/1—2004)關于“成品索股長度”項目允許偏差(索股長/10 000; 本例限值為43.8 mm),故不同施工階段索長控制參數計算時應該予以考慮。

(3)錨索水平傾角從0°增加到30°, 引起水平索力的相對變化量小于1.04%; 而全橋主索無應力索長變化量大于9.953 m, 遠遠超過限值43.8 mm, 故錨跨傾角的影響不容忽視。 在考慮和忽略錨索的自重垂度效應的兩種情況下,精細解析法得到的全橋主索無應力索長差值都在3 mm以內。錨索跨中垂跨比非常小(本例不超過1/1 038),而索道橋主索的拉力在空索狀態就接近了容許拉力的70%,再結合鋼索的修正彈性模量Ernst公式,這從理論上也證明:忽略錨跨鋼索的垂度對問題求解精度影響很小。

表1 錨固時刻主索施工控制參數

注:(1)工況Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ分別代表成橋滿活載狀態、 成橋恒載狀態、 空索狀態; (2)在“數值解析算法”結果中, “65.000 0 (65.000 1)”分別表示不計和計入錨索跨中垂度的計算值,其他類似表示均為此意義; (3)求解工況Ⅱ、Ⅲ的參數值時使用的全橋索長不變量是在工況Ⅰ條件下計入錨索跨中垂度的數值; (4)錨跨的“鋼索有(無)應力索長”為左、右錨跨的合計值。

表2 溫度變化后的主索施工參數

(4)從計算結果表1看,錨索傾角對主索受力、線型的影響相對值較小,對橋梁的設計、使用幾乎無影響。這是由于在成橋狀態懸索橋主纜線形確定時,對線形跨控制跨(一般為中跨)的主纜垂度可根據設計條件事先確定下來; 而對于非線形控制跨(一般為邊跨),主纜水平張力可根據線形控制跨成橋狀態線形已經確定,邊、中跨主纜的水平分力相等求出來[15]。索道橋橋型可以歸入懸索橋結構大類中[1],前者的錨跨相當于一般公路懸索橋的邊跨,因此索道橋主索遵從懸索橋主纜線形確定的一般規律。

(5)溫度變化±5 ℃引起的水平索力相對變化量小于1.37%, 全橋無應力索長變化量也小于31 mm, 但主跨跨中垂度的變化量超過73 mm, 超過了規范(JTG F80/1—2004)關于“中跨跨中基準索股高程”項目允許的偏差限值(中跨跨徑/20 000; 本例限值為21.9 mm)。

(6)比較近似解析法和精細解析法的計算精度。后者的變形協調函數值不超過0.087 6 mm,遠遠低于前者的結果(其最大值為13.6 mm),即精細解析法的參數計算結果高精度地滿足了一般材料力學解答關于構件變形協調條件的要求,其計算結果較近似解析法更符合結構的實際狀態,并且迭代計算量也不大,算法效率較高。以精細解析法的參數計算結果為基準來評價近似解析法施工控制參數的計算精度。從表1結果可以推算出,近似解析法的全橋無應力索長最大誤差值(28.5 mm)未超過限值43.8 mm;而在工況Ⅱ的錨索傾角0°、工況Ⅲ的錨索傾角0°和30°情況下,主索跨中垂度誤差值,都超過了限值21.9 mm。主索水平索力的計算值相對誤差不超過1.26%,滿足一般工程精度(誤差限值5%)的要求。當溫度變化5 ℃時,由文獻[2]27頁公式可得主索水平索力變化量的近似值為3.814 4 kN,而精細結果顯示該值在2.305 3～3.155 8 kN變化。由此可見,近似值偏大,相對誤差超過20.87%。

5 結 論

(1)施工過程中鋼索無應力索段長度在主、錨跨之間呈現此消彼長的轉換現象,其幅度超過了索長誤差限值。

(2)錨索傾角對主索受力、線型的影響,其相對值較小,對橋梁的設計、使用幾乎無影響。錨索的自重垂度效應對全橋無應力索長求解精度影響很小,可以忽略;錨跨傾角和溫度變化的影響,則不容忽視。

(3)近似解析算法得到的水平索力值能滿足一般工程精度的要求,但其他架設參數的計算誤差超限,不滿足大跨度橋梁施工監控的精度要求。

(4)精細解析算法的計算結果高精度地滿足了構件變形協調條件,算法效率較高。