Lamb波在水下彈性板散射聲場仿真實驗

趙秀鳳，崔海超，董 瑞

（中國人民解放軍 91315部隊，遼寧 大連 116041）

0 引言

海洋的經濟和軍事意義非常重要，軍事上，控制海洋是打贏現代高技術戰爭的重要因素之一，水下信息則是反潛戰和潛艇戰致勝的重要條件之一。目前聲波還是唯一能在海洋中遠距離傳輸的能量形式，聲吶是利用聲波來測量水下目標各種參數的設備。水下目標通常為彈性殼體，入射聲波激勵產生的散射波中會有彈性散射波，也即彈性殼體中彈性波的漏波。彈性平板中的彈性波以各階不同振動模態的Lamb波傳播，而Lamb波在板端反射會出現模態轉換。因此研究Lamb波在板端的模態轉換效率是分析水下彈性板的散射聲場空間分布的基礎，對分置聲吶目標識別和探測的研究具有重大的意義[1-2]。

1 Lamb波在水下彈性板散射原理

在水中，某模態Lamb波的臨界角為θc，當聲波以θc入射到彈性板表面時，會激勵出Lamb波在彈性板中前向傳播，傳播至直角板端E處反射，并且發生模態轉換[2]。同時，Lamb波在傳播過程中，不斷向水中輻射聲波，一般稱之為Lamb波的漏波。如圖1所示。

圖1 聲波傳播示意圖Fig.1 Schematic diagram of propagation of sonic wave

某模態 Lamb波的漏波傳播方向，由該模態Lamb波的臨界角確定，可由公式（1）求得：

式中：θc表示某模態Lamb波的臨界角；cw表示水中聲速；cp表示該模態Lamb波的相速度。

計算水下彈性板中的Lamb波在直角板端反射后的模態轉換效率時，需考慮水下彈性板中Lamb波的衰減系數對其的影響。由于彈性板不吸收聲能量，所以當聲波在彈性板中傳播時，能量會不斷地衰減，根據能量守恒定律，彈性板中Lamb波衰減的能量等于其泄漏到水中的能量。

2 彈性板散射聲場仿真實驗概述

圖2 模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of model

本文利用COMSOL軟件[3]，建立了水下彈性板的散射波仿真物理場模型[4]，如圖 2所示：中間部分是鋼板，長200 mm，厚2.6 mm；鋼板四周是水，水域長300 mm，寬100 mm，四周設置有 5 mm的完美匹配層，用來確保聲波在自由場內進行傳播[5-6]。模型中所選擇的材料及其參數見表1。

表1 材料參數Table 1 Material parameters

圖3 聲壓偽彩圖Fig.3 Pseudo-color image of sound pressure

COMSOL中導出的數據為離散的時域聲場，其聲壓偽彩圖如圖3所示。從圖中體現不出散射聲場中波的特征，聲場中各階Lamb波的漏波相互交疊，無法分辨出各階Lamb波漏波，通過對這些時域信號進行空間傅里葉變換[7]，可以得到 Lamb波的散射波波向量譜圖。由于各階Lamb波的相速度不同[8]，所以通過波數分解可以將不同方向傳播的波分離出來，得到不同方向波的強度，得到散射波角度譜圖，即可得到漏波的能量。

3 彈性板散射聲場構成分析

聲波以模態 1臨界角入射到水下彈性板表面時，會在彈性板中激勵出Lamb波前向傳播，傳播至直角板端反射并發生模態轉換，其散射聲場如圖4所示，波向量空間如圖5所示。

圖4 模態1臨界角入射、散射聲場Fig.4 Modal 1 critical angle incidence，scattering sound field

圖5 波向量空間Fig.5 Space of wave vector

4 仿真實驗結果及分析

通過公式（1）計算出該模態 Lamb波的臨界角[9]，如表2所示。

表2 Lamb波臨界角Table 2 Critical angle of Lamb wave

為了更好地研究水下彈性板中Lamb波的模態轉換效率，選取以上臨界角作為聲波的入射角，得到的散射波波向量譜圖及散射波角度譜圖如圖6-7。

圖6 A0模態入射，波向量譜和角度譜Fig.6 A0 modal incidence，wave vector spectrum and angle spectrum

圖7 A1模態入射，波向量譜和角度譜Fig.7 A1 modal incidence，wave vector spectrum and angle spectrum

已知在頻率厚度積為2.6 MHz·mm時，鋼板中的 Lamb波存在 3個模態，即A0模態、S0模態及A1模態。當聲波以某模態Lamb波的臨界角入射到彈性板表面時，聲波至少從2個方向出射到水中，我們至少可以觀察到2個彈性散射波亮點，由于邊界條件對稱，因此，在散射波波向量譜圖中至少可以觀察到4個彈性散射波亮點。本次仿真實驗中主要計算A0模態及A1模態的模態轉換效率。

從圖6-7中可以觀察到棱角波亮點、彈性散射波亮點和鏡反射波亮點。棱角波在圖中為2條清晰的亮線，它們關于橫軸對稱且相交于橫軸，其交點為鏡反射波亮點。以臨界角入射時Lamb波產生的彈性散射波亮點也能明顯的觀察到，它出現在棱角波亮線上，這些彈性散射波亮點也關于橫軸對稱。由于經過板端反射的反向Lamb波形成的彈性散射波和板端形成的棱角波同時到達接收系統，導致彈性散射波亮點出現在棱角波的亮線上。前向Lamb波傳播至板端反射后，接收系統會不斷地接受到反向Lamb波，由于假設鋼板的一端為無窮大，所以接收到的彈性散射波亮點上會出現一條清晰的亮線。聲波在鋼板的表面不斷的反射，接收系統會不斷地接受到從表面透射出來的一部分聲波，從時間上無法分辨出離散的亮點，所以鏡反射波亮點上也會出現一條亮線。

下面我們分析水下彈性板中的前向Lamb波在板端反射后，產生的反向Lamb波各模態能量的轉換效率[9]。

設彈性板的表面積為常數s，則有：

根據能量守恒定律：

式中：E蘭1為入射波以模態1的臨界角入射時激發出的前向 Lamb波在板中的能量；E鏡為入射波的鏡反射波；E透為入射波的透射波；E上漏1和E下漏1均為前向Lamb波的漏波；V為板端棱角波，在這里我們假設V為小量忽略不計。

式中：為與前向Lamb波模態1相同模態的反向Lamb波模態1在板中的能量；為前向Lamb波在板端反射后，發生模態轉換時，另一模態反向Lamb波模態2在板中的能量；為反向 Lamb波模態 1的漏波；為反向Lamb波模態2的漏波；V′為前向Lamb波在板端的透射波，假設為小量忽略不計。

定義不同模態Lamb波的漏波系數分別為η1和η2，則漏波與Lamb波有如下關系式：

由于入射波能量不變，只是改變了入射角，所以我們假設以相鄰非臨界角入射時的鏡反射波和透射波大小近似等于以臨界角入射時的鏡反射波和透射波大小，則用臨界角入射時的鏡發射波、透射波和前向Lamb波漏波之和的能量減去非臨界角入射時的鏡反射波和透射波的能量就近似等于前向Lamb波的漏波大小，即：

式中：為非臨界角入射時的鏡反射波；為非臨界角入射時的透射波。

由公式（2）-（5）得：

定義前向Lamb波在板端發生模態轉換時的模態轉換系數分別為φ1和φ2，則有：

基于以上的分析，由空間散射波角度譜可以得到各階散射波的最大聲強幅值，取有效值I則不同角度時的能量為

已知入射波的聲強為

圖8 A0模態非臨界角入射，角度譜Fig.8 A0 modal non-critical angle incidence，angle spectrum

在水下，當聲波以A0模態 Lamb波的臨界角入射到彈性板的表面，激勵出A0模態前向 Lamb波在彈性板中傳播至板端反射后，A0模態和A1模態反向Lamb波的轉換效率計算如圖8。

表4 前2階Lamb波漏波系數Table 4 Coefficients of first 2 orders' Lamb wave leakage

表5 前2階Lamb波在板端的轉換效率Table 5 Conversion efficiency of first 2 orders' Lamb wave at end of plate

在水下，當聲波以A1模態 Lamb波的臨界角入射到彈性板的表面，激勵出A1模態前向 Lamb波在彈性板中傳播至板端反射后，A0模態和A1模態反向Lamb波的轉換效率計算如圖9。

從表9中可以看出Lamb波在水下彈性板直角板端發生模態轉換時的轉換效率仿真實驗值與已知論文的理論計算值[10]誤差率分別為 9.53%和5.49%。分析誤差的來源主要有以下幾方面：首先，在仿真實驗中劃分的網格數量不夠精細，導致數據采樣點數減少，分辨率降低；其次，空間傅里葉變換時存在頻譜泄漏的現象；再次，在分析數據時，不同波之間做的是相干疊加，使得數據的準確度下降。

圖9 A1模態非臨界角入射，角度譜Fig.9 A1 modal non-critical angle incidence，angle spectrum

表6 波的能量Table 6 Energy of waves

表7 前2階Lamb波漏波系數Table 7 Coefficients of first 2 orders' Lamb wave leakage

表8 前2階Lamb波在板端的轉換效率Table 8 Conversion efficiency of first 2 orders' Lamb wave at end of plate

表9 Lamb波轉換效率對比Table 9 Comparison of conversion efficiency of Lamb waves

5 結束語

本文結合Lamb波在水下彈性板散射原理，以Lamb波的反對稱模態為例，通過 COMSOL軟件進行了仿真實驗，根據能量守恒定律，推導了Lamb波在水下彈性板直角板端反射并發生模態轉換時的模態轉換效率計算公式，量化了實驗結果，并與已知論文的理論計算值進行了比較。