特征值問題案例分析及計算思維的訓練

趙鳳　袁玲　陶麗娜

【摘 要】通過共享單車的投放問題，引入特征值與特征向量的應用。探索解決實際問題的思路，引導建立數學模型的方法，并對特征值與特征向量的求解進行了回顧及演練，提出更多的求解思路，擴展學生的思維，以達到對學生計算思維的訓練及創新能力培養的目的。

【關鍵詞】特征值;特征向量;計算思維

中圖分類號： C81 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）20-0101-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.20.047

0 引言

特征值及特征向量是生物學、工程領域和經濟領域中應用廣泛的一個重要知識點，也是線性代數課程教學大綱要求掌握的知識點之一。比如，生物種群數量問題、經濟發展問題、斐波那契數列的矩陣方法求解等問題都依賴于特征值與特征向量[1]。方陣特征值及特征向量的概念雖然抽象，但是其探索性的性質及廣泛的應用價值，非常有利于培養學生的自主思考探索能力、創新能力，其簡化問題和求解方法有益于訓練學生的計算思維能力。本文在已有的教學方法基礎上，結合計算思維的訓練，闡述了特征值案例教學的思路。

1 問題引入

引例：共享單車的投放和運營模式為什么是可行的？

共享單車已成為當下人們出行的一種便捷方式，其車輛的投放與調配問題也是一個現實的問題。為了簡化問題，我們假設A大學在校內投放一批共享單車，共設置3個投放點，標號為1、2、3。據學校統計，每天1號停放點的60%車輛會被騎到其他停放點后又返回1號點，余下會被停留在2號和3號點，且各占20%;每天2號點有50%車輛返回原處，而30%、20%分別停留在1號和3號停放點;而3號停放點的每天被停留在1號、2號停放處的各占30%，余下的40%會返回停放至3號點。假設投放的車輛數是不變的，問：經過足夠長時間后，學校3個停放點的車輛是否越來越不平衡？如果不平衡，該如何調配？

3 問題求解

通過以上問題分析及模型的建立，學生基本能把實際問題與理論知識理性的聯系起來，下一步就是對上述猜想做嚴格的驗證。

運用數學歸納法推算出第2天、第3天……第n天各停放點的車輛數關系：xn=Mxn-1=M2xn-2=…=Mnx0，結合穩態的概念，推出穩態的條件為存在某一n，使得Mnx0=x0。結合特征向量的概念知即為求矩陣M的對應特征值為1的特征向量問題。

因為M的特征方程為

|λE-M|=λ-0.6 0.3? ? ? 0.3? 0.2? ?λ-0.5? ?0.3? 0.2? ? ?0.2? ?λ-0.5=0

解得M的特征值分別為λ1=1，λ2=0.3，λ3=0.2，其對應的特征向量分別為p1=0.7250.5440.423，p2= 0.707-0.707? ? 0，

p3=? ? 0-0.707 0.707。而穩態問題是求矩陣M的對應特征值為1的特征向量問題。由此可知，經過一定時間后，校園各停放點的車輛會趨于穩定狀態。穩態下，這三個停放點的車輛比為：0.725：0.544：0.423。

4 計算思維的訓練和擴展學習

歸納方陣M的特征值及特征向量的一般計算方法：（1）由特征方程|λE-M|=0解出所有的根，在復數域上一共有n個（重根重復計算）;（2）將λi分別帶入（λiE-M）x=0，求出方程組的基礎解系，其基礎解析的線性組合即為λi所對應的全部特征向量[2]。

進一步，定義矩陣的互逆變換[3]：（1）互換i、j兩行，同時互換i、j兩列;（2）第i行乘以不為零的數k，同時第i列乘以不為零的數■;（3）第j行的k倍加到第i行（ri+krj），同時第i列的-k倍加到第j列（cj-kci）。

設A=2 45 3構造分塊矩陣AE■，將A運用互逆變換化為對角型后記為A'N，觀察A'中非零元素、N的列向量，并與常規方法求解出的A的特征值與特征向量的進行比較，得出特征向量及特征矩陣的又一解法。

如今，工程計算很多時候需要借助輔助工具，MATLAB在求解矩陣的特征值與特征向量中非常方便。學生再在MATLAB中編程求解例題中的結果，并驗證與手工計算結果有無差別。

對于方陣特征值概念中的Ax=λx，而y=Ax是從變量x到變量y的線性變換，當x是特征向量時，y就可以直接用λx代替，這樣就可以簡化很多計算問題[4]。

5 總結

當今政府大力倡導創新創業，一般本科院校也將教育培養目標設定為應用型水平大學，著力于培養學生的創新能力。而計算思維是每個大學生需要具備的基本技能。重視計算思維的訓練，通過計算方法的拓展以及深度思考的培育，提升學生的發散思維、創新意識，從而可以實現真正的個人成長，成為大數據時代發展需要的真正應用型人才。

【參考文獻】

[1]焦華.線性方程組典型案例分析及思維訓練[J].貴州商業高等專科學校學報，2015，28（4）：76-78.

[2]同濟大學數學系編.線性代數（第六版）[M].高等教育出版社，2014，6.

[3]向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學院學報，2009，（3）：135-138.

[4]楊文霞，何朗，萬源.面向能力培養和計算思維訓練的線性代數混合式教學改革與實踐[J].大學數學，2018，34（6）：45-51.