《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

肖奮勇

摘 要 本節(jié)的主要內(nèi)容是利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，極值，恒成立問題，證明不等式問題。

關(guān)鍵詞 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題，證明不等式問題。

中圖分類號(hào)：G32??????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）12-0171-01

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)

（一）解決恒成立的方法。

（二）證明不等式的方法。

（三）零點(diǎn)問題的解法。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問題，證明不等式問題。源：學(xué)

難點(diǎn)：恒成立問題中參數(shù)范圍問題

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

問題一 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

設(shè)計(jì)意圖鞏固恒成立問題的方法

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）.

（1）若x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值;

（2）若f（x）<0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[規(guī)律/方法]利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題主要涉及以下方面：

（1）已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍：一般先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解;

（2）如果無法分離參數(shù)可以考慮對(duì)參數(shù)a或自變量進(jìn)行分類求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮限制二次項(xiàng)系數(shù)或判別式的方法求解.

（3）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立的問題.

變式訓(xùn)練

1.已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-e²x.

（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若x>0時(shí)，總有f（x）>-e²x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

問題二 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題

設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生鞏固導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法

已知f（x）=lnx-x+a+1.

（1）若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范圍;

（2）求證：當(dāng)x>1時(shí)，在（1）的條件下，x²+ax-a>xlnx+成立.

師生活動(dòng) 學(xué)生總結(jié)方法，教師補(bǔ)充 構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法

（1）對(duì)于（或可化為）左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式，構(gòu)造函數(shù)f（x），使原不等式成為形如f（a）>f（b）的形式.

（2）對(duì)形如f（x）>g（x）的不等式，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）.

（3）對(duì)于（或可化為）f（x₁，x₂）≥A的不等式，可選x₁（或x₂）為主元，構(gòu)造函數(shù)f（x，x₂）（或f（x₁，x））.

變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx-1.

（1）當(dāng)a=0且b=1時(shí)，證明：對(duì)?x>0，f（x）≤g（x）;

（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍.

問題三 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根（或函數(shù)的零點(diǎn)）

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生鞏固利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx.

（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性;

（2）若方程f（x）=g（x）在區(qū)間[，e]上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍.

[規(guī)律方法]利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法

研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).

變式訓(xùn)練3.已知函數(shù)f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;[來源：Z*xx*k.Com]

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上無零點(diǎn)，求a的最小值.

師生活動(dòng) 教師板書小組討論，代表回答，教師糾正。

四、本節(jié)小結(jié) 證明不等式的方法

（1）對(duì)于（或可化為）左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式，構(gòu)造函數(shù)f（x），使原不等式成為形如f（a）>f（b）的形式.

（2）對(duì)形如f（x）>g（x）的不等式，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）.

（3）對(duì)于（或可化為）f（x₁，x₂）≥A的不等式，可選x₁（或x₂）為主元，構(gòu)造函數(shù)f（x，x₂）（或f（x₁，x））.