基于多尺度遞歸圖理論的橋梁微弱信號非線性非平穩檢驗

張二華， 單德山， 李 喬

(1. 華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013； 2. 西南交通大學 土木工程學院橋梁工程系，成都 610031)

復雜運營環境下，發生微弱損傷的橋梁結構系統其本質是非線性、非平穩的，產生的動力測試信號為非線性、非平穩信號。由于橋梁所處的惡劣環境，這些幅度微小的信號又極易被強噪聲所淹沒。傳統的頻域信號處理方法均以傅里葉變換為基礎，忽視了信號蘊藏的系統非線性非平穩信息；傳統時域分析方法則常常直接提取有用信號的時域特征，抗噪性能很差[1]。而橋梁微弱動力測試信號的非線性、非平穩程度往往與初始損傷的發生和發展密切相關，這直接導致了基于傳統信號處理方法的橋梁損傷識別結果無法滿足工程的實際需求[2]。因此，研究強噪聲環境下的橋梁微弱信號非線性、非平穩特征分析方法具有重要的實際意義。

針對信號非線性、非平穩特征分析，Eckmann等[3]提出了一種圖形化的信號非線性、非平穩特征提取方法，即遞歸圖(Recurrence Plot,RP)理論。在此基礎上，Zbilut等[4]建立了遞歸量化分析(Recurrence Quantification Analysis,RQA)方法，構建了信號非線性、非平穩的量化指標。由于該方法擺脫了數據統計分布假設的限制，完全由信號驅動，且具有廣泛的適用性，近年來已先后在生物醫學工程、機械故障診斷、建筑結構損傷識別、風工程等領域[5-7]得到應用。

針對強噪聲背景下的微弱信號非線性非平穩性檢測，其最大挑戰為消噪處理技術[8]。而基于濾波的常規方法在提高信號信噪比的同時，往往將部分有用信息一同濾除，造成原始信號的信息丟失。由Huang等[9]提出的經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)從根本上擺脫了Fourier變換的局限性，非常適用于非線性、非平穩過程而受到廣泛關注。馬宏偉等[10]結合EMD和相關性分析，提出一種振動信號的降噪方法；吳杰等[11]提出了一種改進的交叉證認EMD小波濾波方法；范博楠等[12]對基于EMD的微弱聲發射信號降噪方法進行了總結。

針對橋梁微弱信號的特點，將改進的集合經驗模態分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)方法和遞歸圖理論相結合，采用改進的EEMD方法將強噪聲背景下的微弱信號分解為包含不同頻帶范圍的信號分量，將遞歸圖理論應用于不同信號分量，分析不同信號分量的遞歸特征，并引入RQA分析指標，對不同尺度的信號分量進行非線性、非平穩程度的定量描述，從而避免了直接從原始微弱測試信號提取準確的非線性非平穩特征的困難。

1 非線性非平穩分析方法

1.1 改進的EEMD方法

文獻[13]針對橋梁動力測試信號的特點，提出一種改進的EEMD方法。其核心思想為：利用高斯白噪聲的能量在全頻域內均勻分布的特點，對高斯白噪聲進行EMD分解，獲得高斯白噪聲各階固有模態函數(Intrinsic Mode Function，IMF)分量，使用EEMD方法獲得信號的第一階IMF分量和分解余量，之后每次分解均是從原信號的分解余量開始，且每次僅取分解的第一階固有模態，從而確保了模態分量的一致性，避免了EEMD中不同分解過程中模態分量不一致的問題。

改進的EEMD方法有效解決了橋梁結構動力測試信號噪聲水平高、難以分離結構有效信號的問題，且該方法自適應水平高，本文將其用于橋梁微弱信號的自適應分解，以便為后續多尺度非線性非平穩性分析提供良好的信號分量。

1.2 遞歸圖

遞歸圖是一種N×N的二維圖形，將相空間中的遞歸點以黑點表示、非遞歸點以白點表示，以達到表征信號系統動力學特征的目的。其基本理論闡述如下。

相空間重構是遞歸圖分析的基礎，對于長度為L的信號{x(1),x(2),…,x(L)}，由時間延遲重構技術可得到延遲向量

X(n)=[x(n),x(n+τ),…,x(n+(m-1)τ)]T,
n=1,2,…,N

(1)

式中：X(n)為延遲向量；N為重構向量總個數，N=L-(m-1)×τ，m為嵌入維數，m可通過虛假鄰近點法確定，τ為延遲時間，可通過互信息法確定。

遞歸圖的數學模型表示為

Ri,j=Θ(ε-‖X(i)-X(j)‖),i,j=1,2,…,N

(2)

式中：Ri,j為遞歸值， 取0或1，i為行數，j為列數；ε為距離閾值； ‖·‖為歐式范數(Euclidean Norm)；Θ(x)為海維塞函數(Heaviside Function)， 當x<0，Θ(x)=0， 反之，Θ(x)=1。

距離閾值是一個經驗值，它確定了一個以延遲向量X(i)為中心、ε為半徑的領域。 當X(j)位于該領域內，Ri,j=1，否則Ri,j=0，最后，即可將一個N×N的狀態距離矩陣轉換為0～1的遞歸矩陣，以二維圖形表示出，即為遞歸圖。

1.3 遞歸量化分析

遞歸量化分析指標均是建立在遞歸點密度、遞歸圖對角線和垂直線基礎之上。遞歸圖的對角線反映了信號狀態的復雜性，能夠揭示信號狀態分叉的發生和混沌的程度，以遞歸圖對角線長度為基礎的RQA指標可作為信號非線性特征的定量指標；遞歸圖豎直線反映了信號狀態無變化或變化極為緩慢的時間步，以遞歸圖豎直線長度為基礎的RQA指標可作為信號非平穩特征的定量指標。

1.3.1 非線性測度

測度熵ENTR(entropy)是遞歸圖中平行于主對角線的長度為l的對角線長度分布的Shannon熵，測度熵反映了遞歸圖中對角線分布的復雜程度，是一個對系統復雜度變化非常敏感的測度。

(3)

1.3.2 非平穩測度

垂直線平均長度，常稱為捕獲時間(Trapping Time，TT)代表了系統維持在某一狀態不發生轉變的平均時間，即TT越小，代表系統某一狀態保持不變的時間越短，TT越大，代表系統維持某一狀態不變的時間越長，該測度可有效反映系統的非平穩程度。

(4)

基于上述理論和方法，提出一種強噪聲背景下信號非線性非平穩特征多尺度分析方法，簡述如下：首先，將原始信號s(n)進行改進的EEMD分解，獲得各階IMF分量，計算各階IMF分量與s(n)的相關性系數，去除趨勢項；然后重構其余IMF的相空間，構造每一個IMF的遞歸圖；最后，基于各階IMF的遞歸圖，對各階IMF進行RQA分析，獲得各階IMF的非線性非平穩測度。

2 模擬信號測試

2.1 模擬信號和整體遞歸量化分析

構造典型非線性非平穩R?ssler信號，疊加噪聲水平約為100%的隨機噪聲，如圖1所示。R?ssler信號數學模型為

(5)

式中：x(0)=y(0)=z(0)=0.1;a=0.2;b=0.2;c=5.7; 采樣時間間隔Δt=0.2 s。

由虛假鄰近法和互信息法，計算了信號圖1(c)的延遲時間τ和嵌入維數m，重構了其相空間。基于相空間，建立了整體信號的狀態距離矩陣，繪制了狀態距離云圖。根據Zbilut等和Marwan等的研究結論，ε取信號相空間最大半徑的10%，建立了整體信號的遞歸圖，如圖 2所示。由圖2可知，整體信號的相空間分布發散，狀態距離矩陣及遞歸圖呈現遞歸點均勻分布的特征，非常接近隨機白噪聲的信號模式特征；遞歸量化指標值如表1所示，ENTR值和TT值均較小，上述現象表明強噪聲已嚴重污染了信號的遞歸特征，基于強噪聲背景下的微弱信號整體遞歸分析，嚴重失真。

圖1 模擬信號Fig.1 Simulated signals

圖2 強噪聲背景下微弱信號整體遞歸分析流程圖Fig.2 Flow chart of global recursive analysis for weak signals in strong noise environment

2.2 自適應分解及多尺度遞歸量化分析

采用改進的EEMD方法，對被噪聲淹沒的信號進行分解，獲得各階IMF如圖3所示。

分別計算各階IMF與原始信號的相關性系數，其中IMF8～IMF11分量的相關性系數小于0.05，可認為相關性極為微弱，作為趨勢項進行了剔除。

2.3 多尺度遞歸圖及遞歸量化分析

與整體信號相空間重構采用的方法相同，分別計算了IMF1～IMF7的延遲時間τ和嵌入維數m，重構了IMF1～IMF7的相空間。基于相空間，分別建立了IMF1～IMF7的狀態距離矩陣，繪制了無閾值遞歸圖(即狀態距離二維圖)。與整體信號遞歸圖閾值的選取方法一致，ε取各IMF相空間最大半徑的10%，建立各IMF的遞歸圖，如圖4～圖6所示。

圖3 原信號的各階IMF分量Fig.3 Each IMF component of the original signal

由圖4～圖6可知：①IMF1的相空間圖均勻分布，無吸引子；IMF2～IMF4的相空間圖相對不規則，存在突變和吸引子；IMF5～IMF7的相空間圖相對規則，無明顯吸引子；②IM1的遞歸圖孤立點均勻分布，無對角線、豎直和水平方向的線段，表現為典型均勻模式，線性、平穩特征顯著；IMF2～IMF7的遞歸圖出現顯著的帶狀白色條紋，豎向線結構明顯，表現為典型的非平穩過程，其中豎向和水平向帶狀白色條紋越多，表示信號狀態分層越劇烈，其非平穩性越強；③IMF2～IMF5的遞歸圖出現對角線方向的線段，線段走向大體平行于45°主對角線方向，且對角線和孤立遞歸點并存；IMF6～IMF7對角線分布更加復雜，孤立遞歸點逐漸減少，對角線走向表現為弧形特征，表現為漂移模式和突變模式的組合，其非線性程度增強。

圖4 IMF1～IMF7的相空間模式特征Fig.4 Pattern features of IMF1—IMF7’s phase space

圖5 IMF1～IMF7的狀態距離矩陣模式特征Fig.5 Pattern features of IMF1—IMF7’s state distance matrix

圖6 IMF1～IMF7的遞歸圖模式特征Fig.6 Pattern features of IMF1—IMF7’s recurrence plots

通過RQA分析，獲得了各階IMF的非線性非平穩測度值，如表1所示。由表1可以得出：①對于非平穩測度值，IMF1的TT值為0，表明信號為典型隨機過程；IMF6和IMF7的TT值較大，表明信號狀態滯留的平均時間較長；IMF2～IMF5的TT值較小，信號狀態滯留時間較短，非平穩程度強于IMF6～IMF7；②對于非線性測度值，IMF1的ENTR值為0，表明信號為典型線性過程；IMF6～IMF7的ENTR值大于IMF2～IMF5，信號的復雜度較高，非線性程度強于IMF2～IMF5；③各IMF的非線性非平穩測度值能準確的反映遞歸圖中的模式特征信息。

表1 整體及多尺度非線性非平穩測度值

3 橋梁實測信號應用

采用某主跨1 088 m斜拉橋的橋塔加速度測試數據對本文方法進行檢驗與應用。實橋傳感器布置概況可參見文獻[14]。信號采樣頻率為20 Hz，截取測試時間為100 s。選取的加速度信號如圖 7所示。

圖7 橋塔實測加速度測試數據Fig.7 Real acceleration test data of bridge tower

采用改進的EEMD方法對實橋進行自適應分解，獲得各階IMF，并計算各階IMF與原信號相關性系數，去除相關性微弱的趨勢項分量，最后剩余IMF1～IMF8分量，其過程與模擬信號的分解與剔除趨勢項過程類似。

與模擬信號測試過程相同，分別計算了整體信號的遞歸圖及各階IMF的遞歸圖，并進行遞歸量化分析。如圖8～圖9所示。

圖8 整體信號的遞歸圖Fig.8 The recurrence plot of the whole signal

圖9 各階IMF的遞歸圖模式特征Fig.9 Recurrence plots pattern features of each IMF

與模擬信號類似，由圖8～圖9可知：①對于惡劣測試環境下的實橋動力測試信號，直接采用遞歸量化分析，其遞歸圖中蘊藏的遞歸拓撲結構受到隨機噪聲的嚴重污染，已無法準確獲得信號真實的非線性非平穩特征；②將惡劣測試環境下的實橋動力測試信號進行自適應分解后，其各IMF分量的遞歸圖模式特征存在明顯差異，遞歸拓撲結構清晰可辨。

由RQA分析，獲得整體信號和各階IMF的非線性非平穩測度值，如表2所示。

由表2可知，類似模擬信號RQA分析結果，各IMF的非線性非平穩測度能夠較準確的量化不同遞歸圖模式的特征信息；進一步表明，本文所提方法，能準確獲得惡劣測試環境下實橋動力測試信號不同尺度的非線性非平穩特征，較直接采用遞歸分析法，所提取的信息物理意義明確，信息更加豐富。

表2 整體及多尺度非線性非平穩測度值

4 結 論

經模擬信號測試與實橋動力測試數據的檢驗與應用，可得如下結論：

(1) 對于強噪聲背景下的橋梁微弱信號，直接采用整體遞歸量化分析方法提取信號非線性非平穩特征，其遞歸圖不能有效揭示信號的遞歸拓撲結構，分析結果精度較差。

(2) 基于多尺度的遞歸量化分析能夠較好的揭示強噪聲背景下微弱信號各成分的非線性非平穩特征，提取的遞歸圖清晰可辨，選取的遞歸量化分析指標對遞歸圖包含的非線性非平穩信息敏感。

(3) 本文所提方法能有效提取實橋惡劣測試環境下的動力信號不同尺度非線性非平穩特征，提取的信息豐富準確；由惡劣測試環境下實橋分析結果表明，本文所提方法能用于實橋測試信號的非線性非平穩特征檢驗中。