波導法測量材料的電容率和磁導率

付全紅,龐述先,樊元成,張富利

(西北工業大學 a.理學院 應用物理系;b.物理實驗教學中心，陜西 西安 710129)

電容率ε和磁導率μ是描述材料電磁性質的基本參量，其中ε描述材料在電場中的極化性質，而μ描述材料在磁場中的磁化性質，它們共同決定了電磁波與材料的相互作用，因而，獲取材料的ε和μ(尤其是通過實驗測量獲取)在科學研究和工程應用中具有重要意義. Smith等人為了獲得“超構材料”(metamaterials)的等效電容率ε和磁導率μ，提出了“散射參量提取法”(S-parameter retrieval method)，通過等效介質板的散射參量S11和S21反推出ε和μ[1-2]. 為了避免數值計算或實驗測量誤差對多值函數分支選擇的影響，Chen等人發展了穩健的“散射參量提取法”[3]；此外，他們還提出了適用于雙各向異性(bianisotropic)超構材料的“散射參量提取法”，除了能夠提取電容率和磁導率張量外，還能夠提取電磁耦合系數[4]. 但是，這些“散射參量提取法”屬于自由空間測量，即平面波垂直入射到無限大介質板上. 為了實現平面波入射，需要使用喇叭天線，而且需要將樣品放置在喇叭天線后面一定距離之外；為了避免衍射效應，樣品的幾何尺寸需要遠大于波長；此外，為了消除雜散波的影響，需要在微波暗室中進行測量. 由于測量系統是開放系統，易受到外界電磁環境的干擾，產生測量誤差. 矩形波導管是一種封閉系統，其中傳播的波導模為2個斜入射平面波的疊加，而且不同頻率的波導模對應不同的入射角[5]. 與自由空間情形類似，本文通過求解電磁場的邊值問題，推導矩形波導管中介質板的反射系數r和透射系數t，以及由介質板的r和t確定材料的ε和μ的公式. 利用這種方法(即波導法)測量材料的ε和μ，由于在封閉的矩形波導管中進行，不受外界電磁環境的干擾，因而實驗操作簡便，所需樣品面積小，測量誤差小.

1 測量原理

如圖1所示，矩形波導管中，角頻率為ω的基模TE10沿z方向垂直入射到介質板上. 假設矩形波導管的橫截面尺寸為a×b，介質板的厚度為d.

圖1 波導管和介質板示意圖

在區域Ⅰ(z<0)，電容率為ε1，磁導率為μ1，因此有

E1,y=E1+,y+E1-,y=

A1+sin (kxx)eiβ1z+A1-sin (kxx)e-iβ1z，

式中,

在區域Ⅱ(0

E2,y=E2+,y+E2-,y=

A2+sin (kxx)eiβ2z+A2-sin (kxx)e-iβ2z，

式中,

在區域Ⅲ(z>d)，電容率為ε3，磁導率為μ3，因此有

E3,y=A3sin (kxx)eiβ3z,

在邊界z=0處，由電磁場的邊值關系得

(1)

即

(2)

將式(2)寫成矩陣形式

(3)

在邊界z=d處，由電磁場的邊值關系得

(4)

即

(5)

將式(5)寫成矩陣形式

(6)

(7)

將式(7)化簡得

(8)

若已知介質板的電容率ε和磁導率μ，則可由方程組(8)求得反射系數r和透射系數t：

(9)

若已知介質板的反射系數r和透射系數t，則由方程組(8)求得介質板的電容率ε和磁導率μ：

(10)

或

(11)

通常，ε1=ε3，μ1=μ3，因而β1=β3，n1=n3，z1=z3，則式(9)～(11)分別可簡化為

(12)

(13)

(14)

由式(14)可求得介質板的折射率n2和歸一化波阻抗z2，然后根據ε2,μ2與n2,z2之間的關系，即ε2/ε0=n2/z2，μ2/μ0=n2z2，可求得介質板的電容率ε2和磁導率μ2.

由式(14)的第1式得

式中，m為整數. 對于薄介質板，厚度遠小于波長，因而m=0，即

(15)

在求解過程中，n2和z2的符號由Im (n2)>0和Re (z2)>0來確定.

2 相位修正

在測量原理中，介質板的反射系數和透射系數的參考面分別為介質板的前、后表面. 在實驗測量過程中，如果參考面的位置不滿足測量原理的要求，應先對反射系數和透射系數的相位進行修正，然后才能代入公式求解.

假設反射系數和透射系數的參考面分別與介質板的前、后表面相距u和v，反射系數和透射系數分別為r′和t′，則修正公式為

3 舉例驗證

假設矩形波導管為BJ9，其橫截面尺寸為a×b=247.65 mm×123.82 mm，考察的頻率范圍為0.8～1.1 GHz，介質板的厚度為d=30 mm，電容率和磁導率分別為

式中，ωe=2π×1.2×109rad/s，γe=0.015ωe，ωm=2π×1.3×109rad/s，γm=0.005ωm. 介質板兩側為空氣.

利用三維全波電磁場仿真軟件CST微波工作室對介質板的反射系數和透射系數進行仿真，結果如圖2所示.

(a) 模

(b) 輻角圖2 介質板的反射系數r和透射系數t

利用式(15)和式(14)的第2式，由介質板的反射系數r和透射系數t，求得介質板的折射率n和歸一化波阻抗z，進而求得介質板的電容率ε和磁導率μ，結果如圖3所示.

(a)電容率ε

(b)磁導率μ圖3 介質板的電容率ε和磁導率μ

從圖3中可以看出，利用波導法由介質板的反射系數和透射系數求得的電容率和磁導率，即反演值，與理論值一致，表明波導法測量材料的電容率和磁導率正確有效.

4 結束語

通過求解電磁場的邊值問題，推導出矩形波導管中，介質板的反射系數r和透射系數t，進而確定材料的電容率ε和磁導率μ的公式，并以具有Drude電色散和磁色散的介質為例，利用“波導法”由介質板的r和t求得材料的ε和μ，結果與理論值完全一致，實驗表明“波導法”測量材料的電容率和磁導率正確有效. 該工作是本科電動力學知識在科學研究中的典型應用，有利于加強學生對基本電磁理論的理解和應用. 該實驗具有實驗操作簡便、所需樣品面積小、測量誤差小等優勢，對于電磁材料和電磁器件的設計和研究具有廣泛應用價值.