從子列的視角來判定等差（比）數列

陳小紅

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等差（比）數列的所有奇數項按照原來的順序構成等差（比）數列，所有偶數項按照原來的順序也構成等差（比）數列.反過來，如果一個數列的所有奇數項按照原來的順序構成等差（比）數列，所有偶數項按照原來的順序也構成等差（比）數列，原來的數列未必是等差（比）數列.例如，有窮數列1，2，2，4，3，6，4，8的奇數項和偶數項分別按照原來的順序都構成等差數列，但這個數列本身不是等差數列.若一個數列的前有限項，及某些子列滿足一定的條件，這個數列有可能是等差（比）數列.經過探究，有以下兩個結論.

結論1.設k為給定的不小于2的正整數，若數列{a_n）的前k項構成公差為d的等差數列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公差為kd的等差數列，則{a_n）;是等差數列.

結論2.設k為給定的不小于2的正整數，若數列{a_n）的前k項構成公比為q的等比數列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公比為q^k的等比數列，則{a_n）

是等比數列.

結論1的證明：因為{a_kn-s）（其中s=0，1，2.…，k- 1）是公差為kd的等差數列，

點評 類似于例1，本題解答中也有兩個關鍵步驟.其一，利用賦值得到相關的方程組來證明3個公差相等，賦值時可使兩等式中對應項的下標相差3，兩等式作差后的等式中僅有字母d1，d2，d3;其二，是尋找al，a2，a3的關系，也是通過賦值得到方程組并解方程組得到，在方程組中視al與d為已知，視a2與……