從子列的視角來判定等差（比）數(shù)列

陳小紅

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等差（比）數(shù)列的所有奇數(shù)項按照原來的順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列，所有偶數(shù)項按照原來的順序也構(gòu)成等差（比）數(shù)列.反過來，如果一個數(shù)列的所有奇數(shù)項按照原來的順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列，所有偶數(shù)項按照原來的順序也構(gòu)成等差（比）數(shù)列，原來的數(shù)列未必是等差（比）數(shù)列.例如，有窮數(shù)列1，2，2，4，3，6，4，8的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別按照原來的順序都構(gòu)成等差數(shù)列，但這個數(shù)列本身不是等差數(shù)列.若一個數(shù)列的前有限項，及某些子列滿足一定的條件，這個數(shù)列有可能是等差（比）數(shù)列.經(jīng)過探究，有以下兩個結(jié)論.

結(jié)論1.設(shè)k為給定的不小于2的正整數(shù)，若數(shù)列{a_n）的前k項構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公差為kd的等差數(shù)列，則{a_n）;是等差數(shù)列.

結(jié)論2.設(shè)k為給定的不小于2的正整數(shù)，若數(shù)列{a_n）的前k項構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，且子列{a_kn-s）（其中s=0，1，2，…，k-l）都是公比為q^k的等比數(shù)列，則{a_n）

是等比數(shù)列.

結(jié)論1的證明：因為{a_kn-s）（其中s=0，1，2.…，k- 1）是公差為kd的等差數(shù)列，

點(diǎn)評 類似于例1，本題解答中也有兩個關(guān)鍵步驟.其一，利用賦值得到相關(guān)的方程組來證明3個公差相等，賦值時可使兩等式中對應(yīng)項的下標(biāo)相差3，兩等式作差后的等式中僅有字母d1，d2，d3;其二，是尋找al，a2，a3的關(guān)系，也是通過賦值得到方程組并解方程組得到，在方程組中視al與d為已知，視a2與a3為未知.

前面所舉的兩例難度比較大，給出的解法的共性是明顯的，即從它們的子列的通項人手進(jìn)行深入分析，合理地研究某些項在不同的數(shù)列中的關(guān)系或者恰當(dāng)?shù)刭x值得出方程組進(jìn)而得出子列的公差（比）相等，得出子列的通項公式，最后給出原數(shù)列的通項公式，再判斷數(shù)列為等差（比）數(shù)列.當(dāng)然，對于例2還有其他的解法，本文僅僅是提供了一種解決這類問題的視角以分享.