談談回歸概念的推理與證明

劉煒

《論語·為政》有句名言：“知之為知之，不知為不知，是知也.”借鑒到數學學習和解題中，就是理解概念和定理，從而在其框架和規則之下研究問題，這才是真正的智慧.事實上，在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎，正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提，以下我們從課本的例題出發談談如何回歸概念進行推理與證明，

例1 證明：不是有理數.

分析 命題中需要證明的對象不是有理數，而我們只有關于“有理數”的概念，因此只能從有理數的概念出發，即否定命題，使用“反證法”，即有如下證明：

證明假設是有理數，則可設=q/p①，其中p，q為互質的整數，q>0.

將①式的兩邊平方，變形后得2p²=q²②.

②式表明，q²是2的倍數，從而q也必是2的倍數，于是又可設q=2l（l是正整數），代人②式，整理后得p²=2l²③.

③式表明，p²是2的倍數，所以p也是2的倍數.

這樣，p與q都是2的倍數，它們有公約數2，這與p，q為互質的假定相矛盾，因此，√2不是有理數.

回顧 該證明方法稱為反證法，是間接證明的一種，反證法的證明過程可以概括為“否定推理否定”，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程.

變式 證明：1，，3不可能是一個等差數列中的連續三項，

分析 我們無法刻畫一個不是等差數列的連續三項，因而可以轉化等差數列中的三項.于是采用反證法，尋找……