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如何找到思維的開竅點

2019-09-05 02:02:24安振平
新高考·高二數(shù)學 2019年4期
關(guān)鍵詞:解題思維

安振平

1.問題呈現(xiàn)

筆者看到,唐秀穎先生主編的《數(shù)學題解辭典(平面解析幾何)》(上海辭書出版社,1983,06)-書的第38題為:

問題1-1:已知三平行線l1,l2,l3.l1與l2之間,l2與l3之間的距離分別為a,b.正△ABC的三頂點分別在l1,l2,l3上,求此正三角形的邊長.

這道經(jīng)典的題目,通過加工,竟然出現(xiàn)在2007年四川高考理科卷上.

問題1-2:如圖1,l1,l2,l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線,l1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是2,正△ABC的三頂點分別在l1,l2,l3上,則△ABC的邊長是( )

2.解題分析

本考題條件簡明,情境設(shè)置獨特,不少考生望而生畏,不知如何求解.

解題思維的起點,來自于深度的理解題意,翻譯題意,實施文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)化.把平行直線“l(fā)1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是2”顯示為圖形語言,就需要作出題目中平行線的垂線段,垂線段作在哪里呢?

分析1 設(shè)出正三角形的邊長,通過勾股定理,建立方程.

解法1 如圖2,過點A作AF⊥l3交l2于點E,交l2于點F,過點B作BD⊥l3交l3于點D.則AE =l,BD =EF =2.

設(shè)正△ABC的邊長為x.

對Rt△BCD,Rt△ACF和Rt△ABE,應(yīng)用勾股定理,得

說明 本解法用到的知識僅局限于初中范圍,設(shè)元,構(gòu)造方程,把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程,檢測了考生的基本運算能力.當中的“平方兩次”的技巧,這是高中教材“橢圓標準方程”的推導(dǎo)過程中用過的方法.當然,本方程也可以探究其他的技巧解答方法,留給讀者去完成.

解題思維的要害、開竅點在哪里呢?同一條線段DF的長度“算兩次”.對三個直角三角形,應(yīng)用了三次“勾股定理”.

分析2 設(shè)出正三角形的邊長和圖2中Rt△ABE的一個內(nèi)角,通過銳角三角函數(shù)的定……

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