如何找到思維的開竅點(diǎn)

安振平

1.問題呈現(xiàn)

筆者看到，唐秀穎先生主編的《數(shù)學(xué)題解辭典（平面解析幾何）》（上海辭書出版社，1983，06）-書的第38題為：

問題1-1：已知三平行線l1，l2，l3.l1與l2之間，l2與l3之間的距離分別為a，b.正△ABC的三頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3上，求此正三角形的邊長(zhǎng).

這道經(jīng)典的題目，通過加工，竟然出現(xiàn)在2007年四川高考理科卷上.

問題1-2：如圖1，l1，l2，l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正△ABC的三頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3上，則△ABC的邊長(zhǎng)是（ ）

2.解題分析

本考題條件簡(jiǎn)明，情境設(shè)置獨(dú)特，不少考生望而生畏，不知如何求解.

解題思維的起點(diǎn)，來(lái)自于深度的理解題意，翻譯題意，實(shí)施文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.把平行直線“l(fā)1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2”顯示為圖形語(yǔ)言，就需要作出題目中平行線的垂線段，垂線段作在哪里呢？

分析1 設(shè)出正三角形的邊長(zhǎng)，通過勾股定理，建立方程.

解法1 如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥l3交l2于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BD⊥l3交l3于點(diǎn)D.則AE =l，BD =EF =2.

設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x.

對(duì)Rt△BCD，Rt△ACF和Rt△ABE，應(yīng)用勾股定理，得

說明 本解法用到的知識(shí)僅局限于初中范圍，設(shè)元，構(gòu)造方程，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，檢測(cè)了考生的基本運(yùn)算能力.當(dāng)中的“平方兩次”的技巧，這是高中教材“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”的推導(dǎo)過程中用過的方法.當(dāng)然，本方程也可以探究其他的技巧解答方法，留給讀者去完成.

解題思維的要害、開竅點(diǎn)在哪里呢？同一條線段DF的長(zhǎng)度“算兩次”.對(duì)三個(gè)直角三角形，應(yīng)用了三次“勾股定理”.

分析2 設(shè)出正三角形的邊長(zhǎng)和圖2中Rt△ABE的一個(gè)內(nèi)角，通過銳角三角函數(shù)的定……