一道等差數陣題的暢想曲

高一下學期，我們學習了《必修5》中的數列知識，在做練習作業時，發現了這道題：

下面給出一個“等差數陣”：

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數.

（1）寫出a45的值;

（2）寫出a_ij的計算公式，以及2017這個數在等差數陣中所在的一個位置.

認真做完題目，我掩卷沉思，不禁思緒翩翩.這樣根據已知數據，尋找恰當規律，填數的數陣，在小學也見過.現在我是高中生，長大了，問題也升級了，這個有意思.我就以這道題為契機，自主設置問題進行探索求解——進行一番數學暢想.

為了完成第（l）小題和找規律，我一定要不辭辛勞地多寫一些項，如圖2.這樣就輕松得到第（1）小題答案49.

第（2）小題要求解a_ij的通項公式.平時學的數列通項，只有一個變量，這個題目搞事情呀，怎么是雙變量呢？看著圖2中大量的數據和省略號，我心中不覺陣陣發毛，想必難寫！怎么辦？

不過要找出2017在等差數陣中的一個位置，可以在較小的行列中進行試探.觀察數陣發現，這個數陣的數關于a_ij成對稱排列，即第一行的數和第一列的數一樣，第i行和第i列的數一樣，那么某數在a_ij位置出現，就必在a_ij位置出現，如果2 017出現在第一行，必有2017 =4+3（j-1），解得j=672，故2017出現在第1行第672列中，當然也出現在第672行第1列中.它還會出現在別的位置嗎？繼續用這個辦法試探所有的，哦，NO，饒了我吧，這一定不是明智的想法，它定會有規律可循的，我得慢慢研究它.

暢想一：方陣暢想曲

我仔細觀察這些數據，嘿嘿，有了.從圖2中選取n行n列的方陣，對角線上行和列是相同的，相當于一個變量，應該簡單得多，我先來解決它.