漫談“綜合法”與“分析法”

尤善培

首先欣賞這樣一個數學問題：

已知a≥2，b≥2，求證ab≥a+b.

證明：根據對稱性，不妨設a≥b，則由b≥2得ab≥2a≥a+b.

漂亮！這是一個簡潔、絕妙的證明，

現在要思考的問題是怎么想到“對稱性”的？怎么想到“不妨設”的？怎么想到這個證明方法的呢？讓我們慢慢撩開這個“漂亮”證明的面紗吧.

見到這個問題后，容易產生的念頭是：這個不等式的證明似乎不難.

思考：如果將左邊a，b均用2代人，得ab≥4，如果a+b≤4就好了.遺憾的是a+b并不這么聽話（恰恰相反，a+b≥4）.證明陷入僵局，怎么辦呢？

再思考：我們應當回到出發點，并總結一下失敗的原因，原因是什么呢？原因在于ab≥a+b的右邊也有變元a，b，所以不能簡單地把左邊換成常數4.因此，我們要調整思路.怎樣調整呢？

嘗試：不妨在ab中保留b，將以換成2，得到ab≥2b（*）.現在，我們采用分析的方法：假設問題已經解決，只要證明a+b≤2b問題就解決了，于是只要以≤b問題就解決了.盡管不能斷定a≤b成立，但我們已經看到了勝利的曙光，因為在a≤b的前提下，ab≥a+b成立.至此問題就獲得了部分的結果.

策略：化整為零.我們“先解決了問題的一部分”，在a≤b的情況下，問題獲證.

乘勝追擊，擴大成果！

再嘗試：稍作點變化，在ab中保留a，將b換成2，那么在a≥b的條件下，也有ab≥2a≥a+b.現在，將上述兩方面情況綜合起來就得到問題完整的證明，

反思：上面的再嘗試和嘗試中，實質完全一樣，并不是新的舉措，其原因是a，b具有對稱性，顯然，利用a，b的對稱性，我們就有了開頭的很簡潔明快的證明.

喬治·波利亞曾說過：“數學問題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之……