土微觀結(jié)構(gòu)下的凍土熱參數(shù)研究

□文/牛 軍 孔繁杰

凍土是由土顆粒、冰、水、氣組成的多相混合體。我國(guó)凍土分布范圍廣且工程性質(zhì)復(fù)雜，影響凍土工程應(yīng)用的一個(gè)重要因素是計(jì)算溫度場(chǎng)，而熱參數(shù)是計(jì)算溫度場(chǎng)的重要依據(jù)[1]。凍土熱參數(shù)包括導(dǎo)熱系數(shù)、比熱、潛熱。隨著測(cè)試?yán)碚摵蜏y(cè)試技術(shù)的發(fā)展，凍土熱參數(shù)不同影響因素下的變化規(guī)律已日漸完善[2～3]；但是，由于測(cè)試凍土熱參數(shù)時(shí)往往基于某一類或某幾類土體試樣測(cè)定，所得的熱參數(shù)計(jì)算模型僅適用于測(cè)試土體，因而缺乏通用性。

當(dāng)前凍土熱參數(shù)變化規(guī)律研究往往基于試驗(yàn)結(jié)果而建立，對(duì)變化機(jī)理及本質(zhì)說(shuō)明尚欠缺。凍土熱參數(shù)的變化實(shí)質(zhì)是由凍土內(nèi)各相體含量及接觸排列方式的不同所導(dǎo)致。凍土內(nèi)相體排列以土顆粒排列為主，土顆粒之間排列形式由松散到密實(shí)可分為多種情況。相體間接觸可分為同相體間接觸和異相體間接觸，不同相體間接觸會(huì)影響熱量的傳遞方式：同相體間熱量等梯度傳遞，傳遞路徑固定，不會(huì)發(fā)生路徑偏轉(zhuǎn)；異相體間熱量傳遞為非等梯度傳遞，傳遞路徑復(fù)雜且多變。

現(xiàn)階段的凍土熱參數(shù)算法[4～5]、測(cè)試?yán)碚摷皽y(cè)試手段[6～7]十分完善豐富，但微觀角度分析凍土熱參數(shù)變化規(guī)律的研究還很少，本文從土微觀角度研究?jī)鐾翢釁?shù)的變化機(jī)理及熱量在凍土中的傳遞規(guī)律，以此建立計(jì)算方程，得出熱參數(shù)計(jì)算方法的推導(dǎo)公式。

1 凍土中傳熱相體

1.1 相體的接觸方式

凍土相體是指凍土組成物，包括土顆粒、冰、水、氣，各傳熱相體均視為各向同性的均質(zhì)體。Johansen[8]提出飽和凍土導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算公式以及考慮各物質(zhì)質(zhì)量加權(quán)平均的凍土比熱計(jì)算公式[9]。等體積含量下，各相體的熱參數(shù)是決定凍土熱參數(shù)的基本因素。

式中：λ、λs、λw、λi分別為飽和凍土、土顆粒、孔隙水、孔隙冰的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；Ps、Pw、Pi分別表示飽和凍土中土顆粒、孔隙水、孔隙冰的體積分?jǐn)?shù)；cd、ca、ci、cw分別為飽和凍土、凍土骨架、孔隙冰、孔隙水的比熱容，kJ/（kg·℃）；w、wu分別為飽和凍土初始含水量和未凍的水含量。

凍土中相體間存在多種接觸方式，不同接觸方式會(huì)產(chǎn)生不同的熱流交換方式。如果凍土中均為兩相體接觸，則存在6 種接觸方式，分別為土水、土冰、土氣、冰水、冰氣、水氣。由于空氣在凍土中多分布于水與冰中，故可忽略土氣接觸，但是在干土中土氣接觸仍為主要接觸方式。當(dāng)兩種相互接觸的相體熱參數(shù)不同，熱流通過(guò)兩相體時(shí)會(huì)發(fā)生熱流的削減傳遞。對(duì)熱流傳遞做出假設(shè)：熱流傳遞符合能量守恒定律，只在土體相體中傳遞，不發(fā)生熱量的外部損失。土體模型的一側(cè)有當(dāng)量為Q的熱流，當(dāng)熱流通過(guò)模型土體相體時(shí)，由于相體升溫導(dǎo)致熱流當(dāng)量削減，見(jiàn)圖1。

圖1 熱流削減傳遞

根據(jù)能量守恒定律

其中

將式（4）代入式（3）中得到新的等式，化簡(jiǎn)等式，得到凍土比熱簡(jiǎn)化計(jì)算公式

式中：Q、Q'為流經(jīng)模型土前后的熱量；Qi（i=s，w，i，a）為模型土中各相體吸收熱量；ci、mi為凍土相體比熱、質(zhì)量；wi為各相體質(zhì)量分?jǐn)?shù)；Δti為溫度變化量。

1.2 熱流在相體中的傳遞

熱流在凍土中遵循熱量傳遞規(guī)律，即總是從高溫度傳遞向低溫度。假設(shè)熱流在土體中為正交傳遞且以土顆粒為傳遞通道。見(jiàn)圖2。

圖2 正交傳遞模型

凍土中熱流的傳遞可分為同相體間熱流傳遞與異相體間熱流傳遞，不同傳遞方式會(huì)產(chǎn)生不同的熱流路徑，同相體間熱流為等梯度傳遞，異相體間熱流為非等梯度傳遞。見(jiàn)圖3。

圖3 熱流在相體中傳遞

已知導(dǎo)熱系數(shù)定義：穩(wěn)定傳熱條件下，傳熱材料兩側(cè)溫差為1 ℃，通過(guò)單位體積的熱量[10]?？芍?dāng)物質(zhì)體積及溫度變化量相同且相同傳熱條件下，導(dǎo)熱系數(shù)越大，熱流通量也越大。假設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)存在：λs＞λi＞λw＞λa，對(duì)應(yīng)的熱流通量q也存在相同關(guān)系。

已知均勻傳熱截面上各點(diǎn)的熱量相同，則由式（4）可得土顆粒與冰水氣混合體的溫度變化關(guān)系

式中：c1、c2分別為介質(zhì)1和2的比熱容；m1、m2分別為介質(zhì)1和2的質(zhì)量；Δt1、Δt2分別為介質(zhì)1和2的溫度。當(dāng)c2m2≥c1m1，土顆粒溫度高于混合體溫度，土顆粒對(duì)混合體有升溫作用，混合體的升溫途經(jīng)有外部熱流及土顆粒熱流兩個(gè)；c2m2＜c1m1，則情況相反。假設(shè)混合體為混合升溫，當(dāng)凍土升溫穩(wěn)定時(shí)各相體溫度相等。當(dāng)傳熱點(diǎn)1 與2 溫度不同時(shí)，1 與2 之間會(huì)發(fā)生熱流交替，當(dāng)1與2溫度相同時(shí)，假設(shè)等溫區(qū)不再發(fā)生熱流交替。

2 土顆粒排列方式

依照經(jīng)典假設(shè)，將土顆粒理想化為均勻球形或者橢圓形顆粒[11]。依照排列方式可分為松散排列與密實(shí)排列兩種情況，見(jiàn)圖4。

圖4 土顆粒排列截面

2.1 松散排列情況下導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型

土顆粒間空隙以水、冰及空氣填充，則構(gòu)成疏松土體的土顆粒空間排列形式見(jiàn)圖5。

圖5 土顆粒的空間疏松排列

現(xiàn)實(shí)中，嚴(yán)格意義上的點(diǎn)接觸是不存在的。由比熱定義可知，穩(wěn)定熱流情況下，接觸點(diǎn)處的土顆粒質(zhì)量為無(wú)窮小，而溫度為無(wú)窮大，這與實(shí)際不符，故假設(shè)土顆粒間為球缺接觸，熱流通過(guò)接觸點(diǎn)在土顆粒間傳遞且假設(shè)熱流只以接觸傳遞的形式存在，計(jì)算時(shí)接觸面寬度取土顆粒半徑的0.1 倍。基于圖5，可以得出圖6所示的熱流空間傳遞骨架。實(shí)際上，土顆粒表面被水包裹，氣體分布于土顆粒間自由水之中[12]。以傳熱點(diǎn)1代替土顆粒，傳熱點(diǎn)2代替其他相體，等效成凍土傳熱骨架。

圖6 疏松傳熱骨架

因?yàn)閮鐾粮飨囿w中土顆粒導(dǎo)熱系數(shù)最大，所以土顆粒及土顆粒與其他相體的接觸面最先產(chǎn)生溫度變化?，F(xiàn)實(shí)中凍土的水、冰、氣分布復(fù)雜，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將水、冰、氣混合體截面簡(jiǎn)化為圓形，見(jiàn)圖7。

圖7 傳熱單元體

由定義可知，導(dǎo)熱系數(shù)理論計(jì)算公式為

式中：λ為土體導(dǎo)熱系數(shù)；Q為傳遞到土體中的熱量；Δt/Δh表示溫度梯度；ΔS表示土體傳熱界面的截面積；T表示傳熱時(shí)間。

由于假設(shè)土顆粒為球體，因此傳熱截面為非等面積截面。由于單元體是空間對(duì)稱體，故可計(jì)算1/2單元體。土顆粒截面積S1=π(d/n)2，混合體截面積S2=4d2-S1。

將各符號(hào)定義式代入式（8）有

式中：d為假設(shè)球形土顆粒的直徑。

對(duì)時(shí)間T的求解可采用加權(quán)平均法。將混合體弧長(zhǎng)n等分并求解時(shí)間T。

傳熱點(diǎn)1 的導(dǎo)熱系數(shù)等于土礦物導(dǎo)熱系數(shù)，傳熱點(diǎn)2 導(dǎo)熱系數(shù)等于凍土中水、冰、氣三相混合導(dǎo)熱系數(shù)。參照文獻(xiàn)[8]公式可擬算傳熱點(diǎn)2的導(dǎo)熱系數(shù)。

將求解的時(shí)間T函數(shù)代式（9）中，得凍土導(dǎo)熱系數(shù)

2.2 密實(shí)排列情況下導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型

根據(jù)松散排列狀態(tài)下的導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型，對(duì)密實(shí)排列狀態(tài)下的導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型加以說(shuō)明。土顆粒密實(shí)以及密實(shí)狀態(tài)下的傳熱骨架見(jiàn)圖8。

圖8 密實(shí)排列傳熱骨架

與松散狀態(tài)下的導(dǎo)熱系數(shù)模型不同的是，密實(shí)排列下相鄰?fù)令w粒并不在同一平面上排列，見(jiàn)圖9。由于密實(shí)狀態(tài)下傳熱骨架形狀復(fù)雜，所以依照密實(shí)排列下單元體進(jìn)行計(jì)算。

圖9 密實(shí)排列傳熱單元體

以交點(diǎn)為準(zhǔn)，可將傳熱單元體分成兩部分計(jì)算。上部分可看作邊長(zhǎng)l=d的正四面體，截面積可取底面積1/2，即S1=0.433d2。下部分將混合體看做均分為n分，截面積

將式（16）和（17）代入式（8）求得時(shí)間T。

由于土顆粒間點(diǎn)接觸為理想狀態(tài)，實(shí)際中不存在，故n不可能趨于無(wú)窮大，可將土顆粒間接觸范圍取土顆粒半徑的0.1倍。

將T代入式（9）中計(jì)算得密實(shí)排列下導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型

3 計(jì)算模型修正及分析

對(duì)上文建立的導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型進(jìn)行修正分析。由式（15）和（22）可知，相同種類土的情況下，c1、λ1為常數(shù)，c2、λ2值與凍土各相體含量有關(guān)，常數(shù)值與土的密實(shí)度有關(guān)。由此給出基于土顆粒不同排列方式下的理論計(jì)算修正模型及計(jì)算參數(shù)。見(jiàn)表1。

表1 計(jì)算參數(shù)匯總

由式（23）可知，凍土導(dǎo)熱系數(shù)本質(zhì)上與各基本組成物的熱參數(shù)及其物質(zhì)含量有關(guān)，溫度、土體密實(shí)程度通過(guò)影響各相體物質(zhì)含量而影響熱參數(shù)。

4 空氣含量對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響分析

氣體的含量影響著凍土導(dǎo)熱系數(shù)，隨著氣體含量的增加，凍土導(dǎo)熱系數(shù)減小。凍土中空氣含量影響凍土導(dǎo)熱系數(shù)的本質(zhì)是：空氣含量的變化改變了凍土中各傳熱相體的接觸關(guān)系及各相體的相對(duì)含量，也改變了熱流的傳遞路徑，增大或減小了熱流傳遞時(shí)間。目前的研究認(rèn)為，穩(wěn)定存在的氣體是被土體中水分包裹，構(gòu)成中空的腔體，腔體的存在阻礙并改變了熱流傳遞的路徑，見(jiàn)圖10。

圖10 凍土中空氣腔體

腔體的數(shù)量很大程度上由氣體含量決定，但也與土顆粒密實(shí)程度及未凍的水性質(zhì)有關(guān)。氣體含量越多，腔體的尺寸及數(shù)量越大，水冰氣混合體導(dǎo)熱系數(shù)越??；含水量不變的情況下，土體密實(shí)程度越大，腔體尺寸及數(shù)量越小。

5 結(jié)論

1）基于熱流在凍土中的正交傳遞假設(shè)及熱流傳遞定律，提出熱流在凍土中削減傳遞并以此推導(dǎo)出基于凍土各相體質(zhì)量分?jǐn)?shù)的比熱計(jì)算公式。

2）依據(jù)土顆粒疏松與密實(shí)兩種排列方式并依靠導(dǎo)熱系數(shù)理論計(jì)算公式，推導(dǎo)求得與相體比熱、導(dǎo)熱系數(shù)有關(guān)的凍土導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型。

3）分析空氣含量對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響，空氣在凍土中形成空氣腔體，腔體的存在改變了熱流傳遞路徑，從而影響導(dǎo)熱系數(shù)大小。