SVD歸一化強度軟閾值降噪方法及其應用*

陳 濤,王立勇,唐長亮,徐小力

(北京信息科技大學 現代測控技術教育部重點實驗室，北京 100192)

0 引言

滾動軸承廣泛應用于各類旋轉設備中，但滾動軸承也是最易損壞的部件，研究表明，在使用滾動軸承的旋轉機械中，約30%的機械故障是由滾動軸承發生故障直接或間接引起的，給工業生產和生活造成巨大經濟損失[1-2]。而在軸承發生故障時，有用信息往往會淹沒在背景噪聲，嚴重影響了軸承的故障診斷。因此對滾動軸承信號進行降噪研究、突出有效故障特征，在軸承故障診斷中具有重要的實際意義。

近年來，利用時頻分解進行滾動軸承信號的降噪方法得到了廣泛發展。文獻[3]結合聚合經驗模態分解和空域相關降噪，成功提取出滾動軸承的故障特征。文獻[4]將變分模態分解引入到滾動軸承故障診斷中。文獻[5]對滾動軸承振動信號進行局部均值分解，有效識別滾動軸承的故障。文獻[6]基于局部特征尺度分解對軸承信號進行自適應性分解, 完成信號降噪處理。然而，時頻分解方法在降噪過程中存在如何選擇分解分量，以及分解的過程中會產生端點效應和模態混疊等問題，而小波類降噪方法存在小波基選取、分解層數確定等難題[7-9]。

與上述時頻分解降噪方法不同，SVD降噪方法能夠將一個較為復雜的原始信號分解為一系列分量噪聲和有用信號的簡單線性疊加[10-13]。在SVD降噪中，如何確定有效降噪階至關重要[14,15]。本文對奇異值進行歸一化，并對有效奇異值進行軟閾值處理，降低噪聲影響。

1 SVD降噪原理

SVD本質上是一種矩陣正交化分解技術，對實矩陣Hm*n(一般m≤n)，必定存在m階酉陣Um*m和n階酉陣Vn*n，使得公式(1)成立。

Hm*n=Um*mSm*nVn*n

(1)

式中，S為m*n階實對角陣，其對角線元素si(i=1,2,…,r)為矩陣X的奇異值，且有s1≥s2…≥sr≥0；U和V分別是H的奇異向量，HH′ 的正交單位特征向量u1,u2,…,um組成U，H′H的正交單位特征向量v1,v2,…,vn組成V。

對一維軸承振動信號X={x(1),x(2),…,x(N)}，構造的Hankel矩陣如式(2)所示。

(2)

式中，1

軸承振動信號一般由有用信號和噪聲信號組成，因此由軸承振動信號構造的矩陣H可以表示為：

H=S+N

(3)

式中，S為有用信號矩陣，N為噪聲矩陣。相應的，公式(1)也可以表示為：

(4)

式中，

下標S表示有用信號的相關矩陣，下標N表示噪聲信號的相關矩陣。

(5)

2 歸一化強度軟閾值降噪方法

2.1 歸一化強度方法確定降噪階次

在SVD降噪中，通過奇異值分解產生的奇異值對應的信號不同。奇異值歸一化強度方法通過計算各奇異值與最大奇異值的比值，度量各個奇異值所攜帶的有用信息量，這并不改變奇異值的分布規律。奇異值歸一化計算如下式所示，根據奇異值值歸一化強度ε確定有效降噪階次k。

(6)

2.2 有效奇異值的軟閾值處理

在較強噪聲下，噪聲已經污染到有用信號，傳統SVD降噪方法假設有用信號中不包含噪聲信息，僅保留奇異值對角陣的對角線上前k個較大的奇異值。然而當噪聲較強時，保留的前k個奇異值序列由純新號和噪聲共同貢獻，某些奇異值以噪聲貢獻較多，按照傳統SVD降噪方法得到的降噪信號中含有的噪聲信息也較多[17]。

對有效奇異值進行軟閾值化處理，是對保留的奇異值以常數τ進行濾值運算，抑制以噪聲貢獻占主導的奇異值對有用信號矩陣的信息貢獻量。奇異值軟閾值化只改變奇異值的大小，奇異值閾值化處理如式(7)所示。

(7)

若閾值τ=0，則奇異值閾值化退化為硬閾值奇異值降噪。

3 滾動軸承仿真信號降噪分析

構造如式(8)所示滾動軸承仿真信號，在仿真信號中加入不同信噪比的隨機白噪聲，來檢驗SVD歸一化強度軟閾值降噪方法的降噪效果。

x(t)=0.7sin(140πt+cos10πt)+sin(240πt)

(8)

添加3dB噪聲的仿真信號的的時頻圖如圖1所示。由于噪聲的影響，時域波形的周期性受到一定程度地破壞，雖然70Hz、120Hz和被基頻5Hz調制后的65Hz、75Hz頻率成分相對清晰，但是頻率成分明顯增多也極易讓人誤判。

(a) 添加3dB噪聲仿真信號的時域波形

(b) 添加3dB噪聲仿真信號的頻譜圖 圖1 添加3dB噪聲仿真信號的時頻圖

對添加3dB噪聲的仿真信號重構Hankel矩陣，依據奇異值歸一化強度確定有效降噪階次為54，進行SVD軟閾值降噪。降噪后的時頻圖如圖2所示。

(a) 添加3dB噪聲仿真信號降噪后時域波形

(b) 添加3dB噪聲仿真信號降噪后頻譜 圖2 添加3dB噪聲仿真信號降噪后的時頻圖

對比圖1和圖2可知，添加3dB噪聲仿真信號降噪后時域周期性得到了加強，頻域中大部分噪聲成份被濾除，70Hz、120Hz、65Hz和75Hz的有效頻率成分更加凸顯。

在仿真信號中分別添加信噪比為0dB和-3dB的白噪聲，進行SVD歸一化強度軟閾值降噪，降噪后的時域波形和頻譜如圖3和圖4所示。

(a) 添加0dB噪聲的仿真信號時域波形

(b) 添加0dB噪聲的仿真信號頻譜

(c) 添加0dB噪聲仿真信號降噪后時域波形

(d) 添加0dB噪聲仿真信號降噪后頻譜 圖3 添加0dB噪聲仿真信號降噪前后的時頻圖

(a) 添加-3dB噪聲的仿真信號時域波形

(b) 添加-3dB噪聲的仿真信號頻譜

(c) 添加-3dB噪聲仿真信號降噪后時域波形

(d) 添加-3dB噪聲仿真信號降噪后頻譜 圖4 添加-3dB噪聲仿真信號降噪前后的時頻圖

從圖3、圖4可以看出，添加0dB和-3dB噪聲仿真信號降噪后噪聲成份被不同程度的濾除，信號的周期性得到了加強。

為了便于評價降噪效果，計算降噪后的信噪比。表1為添加不同信噪比噪聲時，SVD歸一化強度軟閾值降噪方法的降噪效果。

表1 SVD歸一化強度軟閾值的降噪效果

由表1可知，通過SVD歸一化強度軟閾值降噪方法降噪后，加噪聲仿真信號的SNR均得到了大幅提高，當添加噪聲信噪比為3時，信噪比增幅最大為10.13dB。隨著信噪比降低，信噪比增幅不斷減少，而降噪階次不斷提高。當添加噪聲信噪比為-3dB時，信噪比增幅最小為5.53dB，降噪階次增加至149。

4 滾動軸承實測信號降噪分析

在SKF6205深溝球軸承的內圈，利用電火花技術加工半徑為0.71mm、深度為1.27mm的點蝕故障，采樣頻率為12kHz，采樣點數為4096，采集軸承故障實測信號進行降噪分析。軸承結構參數如表2所示，結合軸承的結構參數，計算得到軸承內圈故障的特征頻率為156.12Hz。

表2 SKF6205軸承的結構參數

對軸承內圈故障信號進行SVD歸一化強度軟閾值降噪，降噪前后的時頻圖如圖5所示。

(a) 降噪前軸承故障信號時域

(b) 降噪前軸承故障信號頻域

(c) SVD歸一化強度軟閾值降噪后時域

(d) SVD歸一化強度軟閾值降噪后頻域

由圖5b可以看出，原始信號的頻譜成分較多，頻譜中的最大幅值所對應的頻率為621.094Hz，經計算內圈故障頻率的4倍頻，還有與內圈故障特征頻率倍數不完全相同的其他振動分量譜峰。對比降噪前后頻譜看出，降噪后信號中的大部分低頻和高頻噪聲干擾被濾除，內圈故障頻率的4倍頻及其主要頻率成分均得到了有效保留，信號的時域周期性也得到了加強。

對軸承內圈故障進行SVD差分譜方法降噪，降噪后的時頻圖如圖6所示。

(a) SVD差分譜降噪后時域

(b) SVD差分譜降噪后頻域

SVD差分譜方法在降噪后，信號的時域周期很強，譜圖較為干凈，僅出現621.094和744.141對應的2個譜峰，與原始信號相比，SVD差分譜方法在降噪過程中將時域信號一些有用成分也給濾掉了，出現失真現象，導致了嚴重的過降噪。

5 結論

(1)SVD歸一化強度軟閾值降噪方法，根據奇異值歸一化強度確定降噪階次，并對有效奇異值進行軟閾值處理，降噪原理清楚，物理意義明白，操作簡便。

(2)軸承仿真信號降噪分析表明，在不同噪聲強度干擾下，SVD歸一化強度軟閾值降噪方法均能夠保留源信號中的主要頻率特征信息，大幅提高信噪比；且噪聲干擾越小，所需降噪階次越少，降噪效果越明顯。

(3)軸承故障實測信號降噪分析表明，SVD歸一化強度軟閾值降噪方法較SVD差分譜方法能夠提取更多的故障特征頻率信息，避免信號過降噪，避免過降噪現象，能夠為后續軸承故障的精確診斷提供可靠的數據基礎。