認識數學實驗價值經歷數學實驗過程

吳迪

【摘要】數學實驗是數學研究不可或缺的方法，也是數學學習的重要方式。在數學教學過程中，教師要充分認識數學實驗的價值，積極開展數學實驗活動，讓學生經歷數學實驗活動的過程，促進其對數學知識的深度理解、數學思想的逐步感悟和數學活動經驗的豐厚積累。

【關鍵詞】數學實驗 數學知識 數學方法 數學素養

說到數學，人們通常認為它是一門演繹的科學，給大多數學生的感受是冰冷無情、枯燥無趣的。如能基于小學生的認知規律開展數學實驗活動，將有助于學生主動地參與數學學習過程，并獲得積極的情感體驗。數學實驗活動是指學生借助實驗材料，通過觀察、操作、猜想、計算、驗證和推理等過程，來檢驗數學事實、驗證數學猜想、探索數學規律和解決數學問題的數學學習活動。筆者就數學實驗的價值和在小學數學教學中組織學生開展實驗活動的方法談一談自己的認識。

一、在數學發展中找尋數學實驗的身影

數學的發展離不開數學實驗，數學實驗是進行數學探索的重要研究方法之一。初等數學時期，歐幾里得所著的數學著作《幾何原本》的出現，標志著數學從具體的實驗階段過渡到抽象的理論階段，數學逐步成為一門獨立的演繹學科。但數學的研究與探索仍離不開數學實驗，著名數學家喬治·波利亞曾說：“僅僅把數學視為一門論證科學的看法是偏頗的，論證推理（證明）只是數學家的創造性工作成果，而要得到這個成果則必須通過猜想。”大數學家歐拉認為：“數學這門科學，需要觀察，也需要實驗。”荷蘭數學教育家弗賴登塔爾也說：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的。”不管數學家是直接闡述實驗，還是間接提到實驗，都肯定了實驗在數學發展中的重要地位。

二、在數學學習中追尋數學實驗的價值

數學實驗是數學研究不可或缺的方法，也是數學學習的重要方式。相對來說，小學階段的數學知識和方法比較淺顯和簡單，很多內容都可以引領學生通過具體的實驗活動來習得，使學生經歷知識的發生、發展過程，實現對數學的真實體驗和深度理解。

開展數學實驗活動能有效轉變學生的學習方式。現代教學理論認為，學科教學應建立在學生主動性和能動性的基礎上，積極引領學生形成自主探究、合作的學習方式。數學教學中適當開展數學實驗活動，能更好地激發學生學習興趣，促進學生動手實踐、自主探究和合作學習，使學生在觀察、操作、猜想、驗證和概括等活動中，自主建構數學認知結構。

開展數學實驗活動能有效促進學生的數學理解。數學實驗注重觀察與操作、猜想與驗證、發現與創新。通過數學實驗活動，使學生經歷一個從具體到抽象的過程，能促使學生對數學知識與方法、數學現象和問題產生自己個性化的理解，更能透過數學現象理解數學本質，感悟數學思想。

開展數學實驗活動能有效豐富學生的數學活動經驗。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將幫助學生積累數學活動經驗作為一個重要課程目標，強調學生應當有足夠的時間和空間經歷數學化的活動過程。而活動經驗只有在有意義的活動中才能不斷積累和豐富，數學實驗融觀察、操作、推理、驗證和計算于一體，是豐富學生數學活動經驗的重要途徑之一。

三、在數學教學中探尋數學實驗的方法

在以往的小學數學教學中，教師也經常組織學生進行手工操作，如制作模型以及利用實物或學具演示等活動，這些也都是數學實驗活動，但更多的是為了幫助學生理解基礎知識和掌握基本技能，很少通過這些活動引領學生觀察現象、提出猜想、進行驗證和獲得結論，體驗知識的形成和發展過程，因此沒能充分發揮數學實驗在培養學生創新意識和實踐能力方面的重要功能。

在小學數學教學過程中，如何充分發揮數學實驗的價值？筆者認為，要將數學實驗作為日常課堂的一個重要教學環節或活動形式，讓學生經歷數學實驗的活動過程，促進其對數學知識的深度理解、數學思想的逐步感悟和數學活動經驗的豐厚積累。教師可根據三維教學目標和具體教學內容，設計和組織學生開展如下三類數學實驗活動：

1.基于數學事實的檢驗性實驗，讓學生的數學知識再次自然生長

檢驗性實驗活動是根據學生已有的數學事實對相關的數學內容或問題進行再操作、再發現和再創造的數學活動。在日常課堂學習中，受課堂時間（特別是學生動手、探索的時間）或教材內容的限制，學生對某些數學知識的習得或某種數學思想的感悟是不扎實、不充分的。如果在學生初步掌握數學事實的基礎上，教師組織和指導學生開展檢驗性實驗活動，將有利于學生鞏固數學知識，拓展數學視野、發散數學思維和提升數學能力。

如蘇教版數學五年級上冊“多邊形的面積”這一課，通過前期學習，學生已經理解了三角形面積計算公式的推導過程：由兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形進行推導。有學生提出疑問：能不能用一個三角形來推導呢？在這里，教師可以根據學生提出的這個實驗問題，設計如下的檢驗性實驗活動：

實驗問題：如何用一個三角形推導三角形的面積公式？

實驗目標：自主探索用一個三角形推導三角形面積計算公式的具體方法。

實驗材料：不同三角形若干個，剪刀等。

實驗過程：通過剪、移、拼、折等方法，用一個三角形推導出三角形面積計算公式。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾指出：學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”。開展這樣的實驗活動，使學生在思考、操作、猜想、驗證和推理等過程中經歷了一次知識再創造的過程，得出了許多極具個性化的面積推導方法。如下圖：

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圖1

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圖2

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圖3

2.基于問題解決的探究性實驗，讓學生的數學方法建構得更加完善

探究性實驗活動是學生根據已有的知識經驗，在現實或數學情景中產生數學問題、經歷觀察現象、提出猜想、進行驗證和獲得結論等一系列探究過程而使問題得以解決的數學活動。數學學習是學生從“未知”走向“已知”的過程，但“未知”并非學生“無知”，每個學生都是帶著其個性特征的數學理解而進行學習的。因此，根據情境提出實驗問題，學生基于自身經驗，形成不知是否真實的數學猜想，然后通過實驗操作進行舉例或推理驗證。即使學生在實驗的過程中得出的結果與科學的數學結論不大相符，學生也能在這樣的實驗活動中收獲良多、感悟頗深。

如在學習蘇教版數學四年級下冊的探索規律——“多邊形的內角和”這一課前，學生已經知道了三角形的內角和是180°，平行四邊形的內角和是360°。在教師的引導下，學生提出實驗問題：一般四邊形的內角和也是360°嗎？五邊形、六邊形呢？這些問題為猜想、探究多邊形內角和提供了知識經驗和思考路徑。教師據此設計了如下探究性實驗活動：

實驗問題：如何計算多邊形的內角和？

實驗目標：使學生經歷觀察現象、提出猜想、進行驗證和獲得結論等活動，探索多邊形的內角和與邊數之間的關系，掌握多邊形內角和的計算方法。

實驗材料：若干副三角板。

實驗過程：用三角板拼一拼、分一分四邊形、五邊形、六邊形等;觀察多邊形與其內三角形個數的關系，提出多邊形內角和的相關猜想;再舉例、推理驗證猜想，看能否找到反例;小組討論，得出實驗結論。

學生在教師的指導下，通過實驗探究，最后得出多邊形內角和的計算方法：多邊形的內角和=（邊數-2）×180°。在活動中，不管學生探究的過程多么曲折、猜想是否正確、結論能否順利得出，不同的學生都經歷了一次科學研究的歷程，體驗了不一樣的學習方法，使自身對數學方法結構的學習趨于完善，增強了發現和提出問題、分析和解決問題的能力。這個過程與數學家進行研究、創造相似，使學生感受到成功的喜悅和發現的樂趣。

3.基于學科整合的綜合性實驗，讓學生的數學素養有效地全面提升

綜合性實驗活動是學生結合具體實驗內容，依據實驗方法與要求，整合其他學科內容，利用提供的或自己準備的實驗材料，在課外進行動手實踐、自主探索，經歷和記錄實驗過程，檢驗實驗猜想，反思實驗過程和形成實驗結論的數學活動。此類實驗活動能讓學生經歷數學實驗的完整過程，從而進一步感受研究問題的科學方法，形成初步的數學實驗能力和意識。

如蘇教版數學五年級下冊的綜合實踐——“蒜葉的生長”這一課，在學習折線統計圖后，學生就以該課內容為實驗主題，開展了持續20天的數學實驗活動，學生綜合運用所學知識（數學和科學學科的），按要求開展實驗并完成相應的數據收集、整理，依據相關數據以及自己制作的統計圖表進行比較、分析，獲得相對客觀的結論。

實驗問題：蒜葉的生長有沒有規律？

實驗目標：使學生圍繞實驗中蒜葉、根須的生長情況，經歷數據的收集、整理、描述和分析過程，進一步感受數據對于發現和提出問題、分析及解決問題的重要意義。

實驗材料：若干飽滿的蒜瓣、三個盆、一些土和水。

實驗過程：三個盆中一盆放水、兩盆放土，將蒜瓣種在土壤中的兩個盆分別放在陽光下和房間里;持續觀察蒜根、蒜葉的生長情況;細心測量，利用數學日記進行記錄，有條件的可以制作個性化的ppt文稿;設計統計表和統計圖，根據數據進行分析，反思實驗過程，得出實驗結論。

南開大學顧沛教授說：“數學素養”就是把所學的數學知識都排出或忘掉后剩下的東西。忘掉的應該是具體的數學知識，剩下的應該是能夠用數學的抽象視角去認識世界、用數學的思維方式去思考問題、用數學的理性方法去解決問題的意識和能力。通過“蒜葉的生長”這一綜合性實驗活動，學生懂得了蒜葉的生長中蘊含著豐富的數學、科學的知識和規律;通過對收集、整理的數據進行比較分析，可以進一步驗證猜想和預測結果，能解決現實中的問題;在解決問題的過程中要不斷運用反思、調整、再反思、再調整等元認知行為，而這些正是提升學生數學素養所必需的。?

[本文系“江蘇省中小學教學研究第十二期重點資助課題”——《小學數學實驗的設計與實施研究》（課題編號：2017JK12-ZA06）的階段研究成果]