數形結合構建模型

鐘利明 邵漢民

摘 要：模型思想是重要的數學思想之一。筆者以“烙餅問題”為例，通過對教材的二次開發和利用，在教學過程中抓住烙餅問題的數學本質，數形結合，逐步抽象出數學模型，再利用模型來解決問題，讓學生初步感知數學建模的過程。

關鍵詞：數形結合;數學建模;二次開發利用

“烙餅問題”是人教版小學四年級上冊教材第八冊“數學廣角——優化”中的教學內容。通過前一節“沏茶問題”的教學，學生初步理解了“優化”這一數學思想方法。優化的前提是統籌，而統籌的本質是各種數量關系和空間形式的邏輯梳理，也是一種推理和建模的過程。

一、烙餅問題的教學現狀和效果檢測

（一）烙餅問題的教學流程

在我校的一次數學教研活動中，一位教師執教了“烙餅問題”，教學過程如下。

1.探究烙雙數張餅的最優方法：得出只要兩張、兩張地烙，鍋內沒有空位，時間最省。

2.探究烙三張餅的最優方法：學生明白要想時間最省，鍋內要保證始終要有兩張餅，從而得出交替烙餅的最優方法。

3.探究烙五張餅，七張餅……的最優方法：得出只要先兩張、兩張地烙，最后三張采用交替烙餅的方法。

4.探究餅的張數與所需時間的關系：學生得到“餅的個數×烙一面的時間=所需的最短時間”的結論。

上述教學過程環節清楚，過程完整，學生通過實踐操作，逐步得出了烙餅的最優方法，建立起充分利用空間的優化思想，也建立了基本的數學模型。這樣的教學設計看似非常合理，也成為絕大部分教師在平時教學過程中所采用的一種教學設計。

但是我們發現：在這樣的教學過程中，操作過程和數學模型沒有建立一種聯系，學生的操作只是為了得到最少的烙餅時間，最后的數學模型也不是從學生的操作過程中逐步抽象出來，也就失去了數學建模的意義。同時由于對模型的理解不深刻，在運用模型解決問題時就會機械死板。

（二）烙餅問題的檢測題設計

那么，這種教學狀態下的教學效果到底如何呢？我們對四年級和六年級的一個班級分別進行了一次檢測，檢測的題目如下：

1.鍋內同時可以放兩張餅，兩面都要烙，每烙一面需3分鐘。烙7張餅要幾分鐘？（用算式或示意圖表示）

2.在火爐上烤燒餅，每個餅的兩個面都要烤，每烤完一面需要2分鐘，爐上只能同時烤3個餅，現在要烤7個燒餅，至少需要幾分鐘？（算式或示意圖表示）

3.星期天，小明的爸爸和媽媽要做以下事情：

輔導小明作業30分鐘

用除草機除草30分鐘（只有一臺）

手動吸塵器吸塵30分鐘（只有一臺）

兩人配合最少幾分鐘完成？（算式或示意圖表示）

題目說明：第1題是烙餅問題的基本題型，主要考查學生對烙餅問題的掌握情況，學生可以用畫圖或直接用“餅的個數×烙一面的時間=所需的最短時間”，這一特殊模型來解決;第2題主要考查學生對烙餅問題的本質理解，就是如何充分利用空間，找到最少的次數，從而得到最省的時間。可以用操作法得到結果，當然也可用模型一“餅的個數×2÷每次同時烙的面數=烙的次數，烙的次數×烙一個面的時間=總時間。”來解決;第3題改變了問題情境，但核心本質還是烙餅問題，因為爸爸、媽媽兩人同時做事可以看成鍋內同時放兩張餅，要完成三件事相當于要烙三張餅，主要考查學生對“烙餅問題”的數學理解以及遷移能力，學生可以套用烙餅問題的一般方法來解答，也可用烙餅問題的模型二：“烙每張餅的時間×張數=總的時間，總的時間÷每次烙的張數=最少時間”來解決

（三）烙餅問題的檢測結果分析

第1題：四年級有38人正確，其中畫圖的只有3人，其余都采用“餅的個數×烙一面的時間=所需的最短時間”這一數學模型。六年級正確的學生有30人，畫圖的有28 人，采用餅的個數×烙一面的時間=所需的最短時間有2人。從正確率看，六年級還不如四年級;從解題策略看，四年級主要采用模型解決問題，而六年級主要采用畫示意圖的方式解決。如此大的偏差，實際上也印證了前面的分析，由于我們的課堂教學剝離了數學模型與實際操作的聯系，學生沒有經歷把實際問題抽象成數學的語言、符號等過程，也就不能內化為學生的知識結構。這種牽強的建構，記憶的持久性很短。

第2題：四年級正確率不高，我們在查看錯誤的原因時發現，大部分錯誤的學生沒有感覺到條件的改變，直接套用“采用餅的個數×烙一面的時間=所需的最短時間”。這也是因為對模型缺乏深刻的理解，再加上老師采用大量的機械訓練，造成思維的定勢。學生在解決問題過程中出現被動記憶、套用模式和機械模仿等問題。另外正確的學生都采用操作完成，沒有一人采用模型計算。而六年級學生由于大部分學生已經遺忘了數學模型，但隨著生活經驗的增長，解決問題能力的提高，正確率反而比四年級高。另外六年級有3個人采用了模型計算。

第3題：四、六年級正確率都不高，相對而言六年級的正確率要高于四年級。由于改變了問題的情境，四年級學生因為理解能力較弱，同時缺乏一定的生活經驗，變通和遷移能力較弱。四年級正確的學生全部采用畫示意圖的方法，而六年級正確的學生中有5人采用模型來解決。

二、烙餅問題的二次開發和利用

從上面的分析中可以看出，現有的教材編排有很大的問題，“烙餅問題”中蘊含的數學模型思想，與四年級學生的年齡特征、知識水平以及解決問題的能力嚴重不符。教師在實際教學中處于一種非常尷尬的境地，如果對教學內容進行充分的挖掘，得出烙餅問題的真正數學模型，學生可能理解不了;但如果只是讓學生膚淺的找到餅的個數與時間的關系，時間久了學生就會遺忘。也失去了讓學生一次感受數學建模的難得機會。同時我們發現對于充分利用空間這一優化思想，隨著學生年齡的增加，生活經驗的豐富，自然而然就會理解和掌握，所以我們認為“烙餅問題”應該放到更高的年級來教學，而且教學的重點是讓學生如何從實際操作中抽象出數學模型，再利用模型解決問題。基于以上的思考，我們對“烙餅問題”教材進行了充分挖掘，在六年級中開展第二次教學，過程如下。

（一）復習、回憶

教師提前請學生復習四年級上冊“烙餅問題”，請學生完成以下問題：

1、怎么操作時間最省？

2、要使時間最省關鍵是什么？

3、計算最省時間的公式是什么？

4、你有什么問題或有什么新的想法？

通過復習，一方面使學生喚醒起對“烙餅問題”的基本題型的操作方法和計算公式的的記憶，明確操作的關鍵是——充分利用空間，為接下來的教學作了必要的準備。

（二）建立模型一

由于六年級學生生活經驗的豐富以及知識和能力的提高，他們對四年級“烙餅問題”有了新的想法。比如：如果鍋內能同時放大于兩張餅時該如何操作和計算？這時教師順勢出示問題：鍋內可以同時放三個餅，要烙6個餅，每個餅的兩面都要烙，每個面要2分鐘。怎么烙時間最省？請你畫出示意圖。你能用算式表示這個過程嗎？

學生通過觀察操作過程得到：6個餅，每個餅有2個面，共有12個面，每次烙熟3個餅，所以全部烙好要12÷3=4（次），總共需4×2=8（分鐘）

教師再次出示問題：鍋內可以同時放4個餅，要烙7個餅，每個餅的兩面都要烙，每個面要2分鐘。怎么烙時間最省？請學生先用算式計算，再畫示意圖驗證。

請學生說說算式中的3次在圖中的哪里？余數的2個面又在圖中的哪里（如圖1）？這樣提問促使學生理解算法的真正意義，達到“看表征明算理”的目的。

通過剛才的學習，學生已經對鍋內同時放多張餅的烙餅問題的算法有了充分的理解，學生很容易就概括出烙餅問題的計算模型一：餅的個數×2÷每次同時烙的面數=烙的次數（不能整除，商用進一法保留整數），烙的次數×烙一個面的時間=總時間。

然后再次提問，這個公式和原來四年級學的公式（餅的個數×烙一面的時間=所需的最短時間）之間有何聯系和區別，通過對比使學生明白，原先四年級的計算模型可以從剛才模型中化簡而來，原來的模型只能解決鍋內放兩張餅的問題。

通過觀察操作活動，引導學生得出數學模型初步假設，再用實際操作來驗證模型的正確性，讓學生經歷一般數學建模的過程。在這個過程中，小學生最困難的是如何把實際問題抽象成數學符號，并用數學語言把這種關系建立起來。而“數形結合”這一思想方法順利地解決了這一難點，加深了對模型的理解。另外通過比較，使學生真正明白了原先烙餅問題特殊模型的由來，感受了從一般到特殊的經歷。

（三）探究模型二

出示問題：鍋內可以同時放兩張餅，每張餅烙正面時要2分鐘，烙反面時要1分鐘，烙4張餅最少要幾分鐘？請學生畫出示意圖，想一想，能不能用算式來解決？學生通過小組討論得出算式：（2+1）×4÷2=6（分鐘），并用畫圖來驗證（如圖2）。教師提問：為什么要除以2，你能在圖中找到除以2的地方嗎？

通過教學，幫助學生找到示意圖與算式之間的聯系，為模型的抽象和建立提供必要的支撐，然后引導學生概括出模型二：餅的張數×烙一張餅的時間÷每次烙的張數=最少時間。

接著教師出示問題：鍋內可以同時放兩張餅，每張餅烙正面時要2分鐘，烙反面時要1分鐘，烙5張餅最少要幾分鐘？請學生用剛才的公式計算并畫圖驗證。學生運用模型二得到算式：（2+1）×5÷2=7.5（分鐘），而實際操作的結果是8分鐘（如圖3）。這時教師引導學生展開討論，為什么會出現這種偏差？是不是模型出現了問題？

通過討論學生明白，我們在運用模型二解決剛才的問題時，除以2（相當于平均分成2份）是把左右兩邊看成相同的，但實際操作左右兩邊的時間不相同（第4次左面1分鐘，右面2分鐘），所以兩者之間有偏差。由于模型二：餅的張數×烙一張餅的時間÷每次烙的張數=最少時間。這里除以每次烙的張數，相當于把總的時間平均分成相同的部分，而當每部分相同時，也就是鍋內每次都是放滿的，這就符合了最短時間的要求，所以得到的結果應該是理論上的最省時間。

數學建模過程中，檢驗、修改是一個不斷循環的過程，直至得到的模型符合實際情況。在剛才的教學過程中，學生用模型二解決問題時，發現得到的結果與檢驗的結果不相同。這就要求學生找到問題所在，并對模型進行修改，直至符合實際情況。完美符合了數學建模的過程，這也是我們選擇“烙餅問題”來開展建模教學的真正原因所在。

（四）溝通模型一、二

通過剛才的教學，學生理解和掌握了模型一、二的算法和算理，但兩者之間的聯系和運用范圍學生還沒完全理解，為此教師再次提問：能用模型二解答正反面時間相同的烙餅問題嗎？如果認為能，請你用模型二解答剛才的幾個問題。

學生用模型二計算上面第一個問題：6×（2+2）÷3=8（分鐘），發現與模型一的結果一致;第二個問題7×（2+2）÷4=7（分鐘），與模型一的結果不一致。這時教師再次提問：為什么會出現這種情況？促使學生在比較中明白模型一與模型二之間的關系，明確模型二才是“烙餅問題”的通用公式，明確模型二得到的結果不一定是最終的結果，需要進行檢驗和修改。反過來模型二得到的結果也可檢驗實際操作以及用模型一得到的結果是否正確。如果用實際操作和模型一得到的結果小于模型二得到的結果，或者相差很多時，就可以認定結果是錯誤的。

1 浙江省杭州市蕭山區信息港小學，浙江 杭州 311200

2浙江省杭州市蕭山區所前二小，浙江 杭州 311200