高液面共振圓柱形混合容器中的表面波特性

龐琳佳,王小鵬,陳松,奚延輝

(1.西安交通大學機械工程學院,710049,西安;2.西安近代化學研究所氟氮化工資源高效開發與利用國家重點實驗室,710065,西安)

當裝有液體的圓柱形剛性容器底部有一垂直振動激勵時,在自由液面上會形成非線性表面駐波,這就是法拉第波現象[1]。法拉第波的不穩定性問題是當今流體力學中不穩定性問題之一,此類波動問題具有重要的工程背景和理論意義,法拉第波的條紋、方形、五邊形、六邊形等各種模態相繼被發現[2-8]。

法拉第指出,這種表面波的頻率是垂直激勵頻率的一半,隨后Rayleigh做了一系列相關實驗,驗證了法拉第關于表面波頻率的觀點,但未給出數學上的解釋[9]。1954年,Benjanmin等從理想流體出發,將邊界條件線性化并考慮了表面張力的影響,得到了描述自由表面運動的Mathieu方程,并用穩定性理論證實了法拉第的結論[10]。但是,目前大多數學者對法拉第表面波的研究主要集中在頻率小于20 Hz、液面低于5 mm的階段,對于頻率在60 Hz左右、液面較深的法拉第波并未見相關的報道。

超細材料已廣泛應用于航空航天、國防軍工、生物工程、機械、電子等領域。超細材料的關鍵指標是其在基體中的分散混合均勻性,而傳統超細材料分散混合技術通過較大的剪切力、擠壓力或局部空蝕作用打開超細材料的團聚來實現分散,此過程會對材料產生較大的應力刺激,伴隨較強的生熱過程,因此提出一種新型分散技術。共振混合是一種新型低頻混合技術[11-13],通過混合容器外部激勵使容器內混合物產生密度差異和能量梯度,造成混合物大范圍內的對流共同作用,達到分散混合的目的,該方法是一種無漿混合技術,避免了被混物料與槳葉、螺桿等元件的局部強烈剪切和摩擦,大大降低了混合過程的力刺激和熱刺激[14]。

綜上所述,本文主要針對共振混合容器中較高激振頻率、較高液面的法拉第表面波波動進行研究。以水波波動為基礎,建立混合容器數學模型,探究在各參數激勵下混合容器中所激發的表面波模式及非線性特性關系。

1 理論分析

1.1 運動控制方程

本文所研究共振混合容器中的波為水表面波,即在初始擾動后,其恢復力是重力。在共振混合實驗中,底部激振器垂直振動,通過支架、彈簧組、負載板等力的傳遞,給混合容器底部施加一個垂直激勵,機械能作為輸入能,水波作為輸出能。若混合容器為圓柱形,可將混合容器簡化為數學模型,如圖1所示,圖中容器半徑為R,液面高度為h,容器底部受到垂直方向的激振力F=Acos(2w0t)。

圖1 混合容器簡化模型

假設圓柱形內液體無黏且不可壓縮,同時滿足連續性方程[15],即

·u=0

(1)

式中:u為空間點(x,y,z)處t時刻的流體速度。假定流體是無旋的,即有

×u=0

(2)

在柱坐標系(r,θ,t)下,以運動容器為參考系,將自由液面作為平面z=0,于是存在速度勢函數φ,有u=φ,代入式(1)可得[16]

2φ=0-h

(3)

(4)

式中g為重力加速度。

對平底流場,假設底部不可滲透、無黏性,底面上各點線速度為0,可得邊界條件

φz=0;z=-h

(5)

φr=0;r=R

(6)

將式(6)在z=0點泰勒展開,原方程可化為

(7)

邊界條件

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:ε為與驅動振幅有關的小參量,ε遠遠小于1。

1.2 表面波非線性解

水波問題是帶有非線性邊界條件的不定邊界問題,通常采用數學物理方程中的攝動方法,把水波問題的解按照某個小參量用漸近級數展開,一階近似的解即為小振幅波(Airy波)[17]。這個小參量可設為波高與波長之比,小振幅波的振幅和速度都是最小量,其壓力由靜水壓力和動壓力組成。本文借鑒文獻[18],利用攝動展開法,引入慢變時間尺度τ,令τ=ε2t,將方程的解按照小參量ε做攝動展開,對控制方程及式(7)～(11)進行求解,得速度勢和自由面位移的表達式

φ(r,θ,z,t,τ)=εφ1+ε2φ2

(12)

η(r,θ)=εη1+ε2η2

(13)

Ω2=gλmntanh(λmnh)

(14)

式中:φ1、φ2分別為速度勢函數一階解、二階解;η1、η2分別為自由面位移一階解、二階解;Ω為表面波的自然頻率。

2 共振混合容器中的表面波特性

求得自由面位移波動方程后,本文將對不同驅動頻率與不同時段下混合容器內自由液面處表面波模式進行數值模擬分析。

2.1 不同驅動頻率下表面波模式

在某一特定參數激勵條件下,混合容器內自由液面處會形成各式各樣的波紋,稱為表面波(m,n)模式。所謂(m,n)模式是指在坐標區域為(-1,1)內,沿圓周方向分別有m個波峰和m個波谷,即沿直徑方向共有m條通過原點的對角線,沿半徑方向有(n-1)個波節環。

(1)表面波(8,4)模式。混合容器材料為PMMA有機玻璃,容器直徑為90 mm,高度為100 mm。若混合容器內液面高度為7 cm,當驅動頻率為36 Hz、加速度為10g時,通過計算可知混合容器振動幅值為1.9 mm,且混合容器內自由液面處所激發的表面波為(8,4)模式,數值模擬圖如圖2所示。計算過程采用柱坐標系x=rcosθ、y=rsinθ,分別沿半徑方向分布;深色區域表示在該位置處位移高于自由液面,淺色區域表示在該位置處位移低于自由液面,并且深色區域越深表示高出自由液面的差值就越大,淺色區域越深表示低于自由液面的差值就越大。表面波俯視圖如圖2a所示,在區間(-1,1)內,沿圓周方向分別有8個波峰和8個波谷,即沿直徑方向共有8條通過原點的對角線,沿半徑方向有3個波節環。由圖2a可知,越靠近激振中心的位置,自由面位移就越大,離激振中心越遠,自由面位移就越小。(8,4)模式下單一相鄰波峰波谷圖如圖2b所示,0位置表示混合容器自由液面處,深色區域代表表面波的波峰,淺色區域代表表面波的波谷。

(a)表面波俯視圖 (b)波峰波谷圖圖2 表面波(8,4)模式模擬圖

(2)表面波(7,6)模式。在共振混合容器相同條件下,若驅動頻率為52 Hz、加速度為10g,混合容器內的液面高度為7 cm,通過計算可得混合容器振動幅值為0.9 mm,混合容器內所激發的表面波為(7,6)模式。混合容器表面波(7,6)模式數值模擬圖如圖3所示。沿圓周方向分別有7個波峰和7個波谷,沿半徑方向有5個波節環。同一半徑方向上,越靠近激振中心的位置自由面位移越大,遠離激振中心的位置自由面位移越小。

(a)表面波俯視圖 (b)波峰波谷圖圖3 表面波(7,6)模式模擬圖

對比圖3、圖4可知,通過數值計算,在給定的溶液、容器、加速度的條件下,頻率增大所激發的表面波模式變得相對復雜。水波中每個質點的運動都是縱向和橫向運動合成的,靠近激振中心振幅最大,說明此處水波質點運動劇烈,遠離激振中心振幅逐漸減小,說明水波質點運動逐漸減弱,這一變化過程體現出水波固有的擴散性與衰減性。此外,(7,6)模式所激發出的波高(相鄰波峰波谷距自由面位移之和)大于(8,4)模式下所激發出的波高,這是由激振頻率大小引起的。由于自由面表面波函數是一個奇函數,因此根據法拉第表面波函數的奇異性,在表面波等高線圖的數值結果中中間區域為空,即表面波在圓柱容器軸線上振幅為0。

2.2 不同時段下模式變化圖

為探究不同時間段內表面波的變化情況,對表面波(7,6)模式進行研究,通過對時間段4.163～4.168 ms內混合容器內表面波進行數值模擬,以此揭示水波的運動特征。

不同時段下表面波模式如圖4所示,可知在同一圓周上各位置處振幅大小不同,在同一半徑上各位置處振幅大小也各不相同,各時間點、各位置處振幅大小不一致。圖4a中近圓心處與遠離圓心處振幅差值不大,淺色區域表示該位置處振幅最大,深色區域表明振幅最小;圖4b中最大振幅處與最小振幅處差值顯著,波紋明顯增加,激振中心不同位置處振幅最大值與最小值交錯排列;圖4c中在同一圓周上各位置處振幅大小均相等且在同一半徑上,越靠近激振中心的位置處振幅越大,越遠離激振中心的位置處振幅越小,顏色均勻分布,波紋分布明顯且排列整齊,表明這一時刻(7,6)模式被完全激發出來。隨著時間的推移,圖4d中同一圓周處振幅大小不一致,振幅最大處與振幅最小處發生位置互換,顏色開始發生不均勻現象,右上角淺色區域表示該位置處振幅最大,右下角深色區域表示振幅最小,顏色分布與圖4b發生位置互換。圖4e顏色較圖4d的明顯變淺,且波紋減少,右上角區域振幅最大,右下角區域振幅最小,與圖4a發生了位置互換。

軸向展開圖 表面波俯視圖(a)t=4.163 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(b)t=4.166 2 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(c)t=4.166 52 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(d)t=4.167 ms

軸向展開圖 表面波俯視圖(e)t=4.168 ms圖4 不同時段下表面波模式

由圖4可知,共振混合容器中法拉第表面波的變化與時間緊密相關。在某一時間段內,隨著時間的推移,表面波(7,6)模式在某一時間點處完全出現,隨后逐漸消散,振幅最大處與振幅最小處發生位置變化,說明在模式完全出現前后,水波波峰、波谷位置不斷變化,且表面條紋圖案也發生變化。這一過程表明受底部激勵的混合容器內水波質點發生一維方向上的遷移,隨著激勵振幅大小的變化而不斷變化,揭示了水波運動的不穩定性。

3 時空混沌現象

時空混沌(STC)是指在同時具有空間和時間自由度的時空系統中表現出時間混沌而空間不規則的運動行為,在參數強迫的表面波中表現為無序波動域與水波條紋共存的現象[19]。與STC相關現象包括時空間歇性、時間平均模式的空間周期性和橫向振幅調制。本文對短時間內表面波(7,6)模式時空混沌現象進行了研究。

(a)t=0.12 s (b)t=0.15 s

(c)t=0.17 s圖5 時空混沌現象

時空混沌現象如圖5所示,由共振混合容器參數不穩定引起的法拉第表面波,在短時間內快速失穩導致STC的出現。由圖5可知:時間從0.12 s到0.17 s的過程中,混合狀態下條紋區域會受到振蕩不穩定性的扭曲,混合容器中心產生的奇異點處,表面波波紋較明顯;隨著時間的推移,從奇異點處開始延伸到容器邊界處的波紋慢慢減少,這說明容器邊界同心圓區域處開始出現時空混沌現象,導致數值仿真結果中表面波波紋函數在容器邊界處無法體現。此外,不同時間節點下所對應的顏色不同,表示波動位移值也在隨著時間的變化而變化,表明在參數強迫表面波過程中,體現了強烈的時空混沌和層流條紋共存的一種狀態。

4 結 論

本文對共振混合容器中自由液面處表面波動情況進行了研究,通過簡化混合容器邊界條件,建立了混合容器模型與數學表達式,通過方程求解并對自由液面處水波進行數值模擬,研究了不同參數下水波變化與運動特性,對今后研究混合容器內法拉第波對液體混合的影響具有指導意義。

(1)本文基于激振頻率對法拉第表面水波的影響進行了研究,發現混合容器半徑與液面高度不變的情況下,表面波模式隨著頻率的增大而變得復雜。自由面表面波函數是一個奇函數,因此表面波在圓柱容器軸線上振幅為0,這種現象與數學上法拉第表面波波動的奇異性一致。

(2)通過對(7,6)模式下不同時段內表面波進行探究,表明混合容器中法拉第表面波的波動變化與時間有關。變化過程中數值模擬可得:振幅最大處與振幅最小處發生位置變化,且表面條紋圖案發生變化,說明混合容器內水波質點在一維方向上發生遷移,證明了水波波動的不穩定性。

(3)通過對(7,6)模式下時空混沌現象進行研究,可得STC現象最開始發生在容器邊界處,并緩慢向奇異中心點延伸,混合容器參數不穩定性會引起時空混沌與表面波條紋共存的現象。