淺析古典概率

侯立華

摘要：概率論與數理統計作為近代數學的重要分支，在生產生活實踐中發揮著極其重要的作用。古典概率是概率論的重要組成部分，與實際聯系緊密，在學習古典概率的過程中，將不斷提高分析問題、解決問題的能力。本文就古典概率的發展歷程、計算方法、實際應用三個方面進行闡述。

關鍵詞：古典概率;樣本空間;樣本點

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門數學分支，是近代數學的重要組成部分。概率論是數理統計的理論基礎，數理統計則是概率論的重要應用，數理統計是通過觀測收集的數據，對研究的隨機現象的規律性做出合理的估計與判斷。概率論源于對賭博問題的研究，經過數百年的發展，已逐漸滲透到社會生活的各個方面，在自然科學、社會科學、工程技術及生產生活的諸多領域中起到了不可替代的作用，正如法國著名數學家拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上是概率問題。”概率論的發展經歷了古典概率論、分析概率論和測度概率論三個階段[1]，本文就概率論中的古典概率問題作一簡析。

一、古典概率的發展歷程[2]

古典概率經歷了四個重要的發展時期：16世紀初至17世紀中葉的萌芽時期，代表人物是文藝復興時期意大利數學家卡爾達諾，發表著作《論機會游戲》，給出了等可能事件發生概率的粗略定義：一個特殊結果的發生的概率等于得到這種結果的各種可能形式除以總范圍;17世紀中葉的計算時期，主要代表有法國數學家帕斯卡、費馬及荷蘭數學家惠更斯，帕斯卡與費馬解決著名的“分賭本”問題，惠更斯對他們的工作加以推廣，并出版了《論賭博中的計算》一書，該著作被認為是最早的概率論著作;17世紀中葉至18世紀后葉應用的擴大時期，主要代表是瑞士的貝努利家族，主要著作是雅各布貝努利的《猜度術》，該書是概率論歷史上的經典著作之一，這一時期，繼雅各布貝努利之后，棣莫佛，蒲豐，高斯，泊松等為概率論的發展也做出了突出貢獻;18世紀中后葉至19世紀初葉的全面總結與形成時期，代表人物是拉普拉斯，代表著作《概率的分析理論》，給出了古典概率的一般定義和概率計算的一般原理和應用，成為現在概率教科書中古典概率部分的核心內容。

二、古典概率的計算

概率論通過隨機試驗來揭示隨機現象的規律性，隨機試驗的每一個最基本的不能再分解的試驗結果稱為一個樣本點，試驗的所削羊本點構成的集合就是試驗的樣本空間Q。如擲一顆均勻的骰子，擲出1點就是試驗的一個樣本點，試驗的樣本空間包含了1點、2點、3點、4點、5點、6點六個樣本點。

（一）古典概率的計算公式

古典概率解決的是古典型隨機試驗中事件發生概率的計算問題。古典型試驗需要滿足兩個特點：有限性、等可能性。有限性指的是樣本空間包含有限多個樣本點，等可能性指的是各樣本點出現的機會均等。如上述的擲骰子試驗。

設古典型隨機試驗E的樣本空間為Ω有n個樣本點，如果事件A是由其中的m個樣本點組成，則事件A發生的概率[3]

P（A）=m/n（1）

其中樣本空間Ω包含的樣本點總數n，也就是試驗包含試驗結果的個數，確定n的取值就可轉化為確定完成試驗的方法種數;事件A包含的樣本點個數m，即事件A包含的試驗結果的個數，確定m的取值就可轉化為確定完成事件A的方法種數。計算事件A發生的概率主要是確定n和m的值。

（二）古典概率的計算過程

（1）判斷試驗是否滿足古典型隨機試驗的兩個要求：有限性、等可能性;

（2）明確試驗是“做什么”，確定“如何完成”，即完成試驗的方法步驟;

（3）計算完成試驗的方法種數n;

（4）明確事件A是“做什么”，確定“如何完成”，即完成事件A的方法步驟;

（5）計算完成事件A的方法種數m;

（6）代人公式（1）計算。

確定n和m取值時，通常要用到排列組合的相關知識。

三、古典概率的應用解析

應用古典概率計算公式解決具體問題時，容易忽略的是古典型隨機試驗等可能性要求。

如擲兩顆均勻的骰子，則擲出點數之和為6點的概率是多少？

設事件A=“擲出點數之和為6點”。

常見錯誤的解法：把擲出點數之和作為試驗的樣本點，認為樣本空間包含2點至12點11個樣本點，n=11;事件A包含6點1個樣本點，m=1，所以P（A）=m/n=1/11。

上述解法的錯誤在于忽略了等可能性的要求。上述的2點實際上指的試驗結果是第一顆1點，第二顆也是1點，可表示成（1，1），而3點則包含了（1，2）和（2，1）兩個結果，上述樣本空間的劃分違反了古典型試驗等可能性的要求。正確的解法如下：

該試驗是擲兩顆均勻的骰子觀察出現的點數，第一顆可能出現的結果有1點至6點6種，第二顆也是1點至6點6種可能結果，利用乘法原理知總共6×6=36種結果，即樣本點（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，6），n=36;事件A包含了樣本點（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），m=5，所以P（A）=m/n=5/36。

古典概率計算步驟中最主要的就是明確“做什么”和確定“如何完成”的過程。因為要確定n和m的值，就是計算完成試驗和事件A的方法種數，只有知道試驗和事件A是“做什么”的，進而思考“如何完成”的方法步驟，才能利用排列組合的相關知識計算完成試驗和事件A的方法種數，即n和m的值。具體試驗、事件復雜程度的不同決定完成的難易程度，同一問題完成的方式有多種，判斷“做什么”和確定“如何完成”的過程也是鍛煉分析問題、解決問題能力的過程。

如甲、乙、丙、丁、戊5人按次序排成一列，則甲、乙不相鄰的概率是多少？

該試驗是5個人按一定次序排成一列，屬于5個元素的全排列問題，共有A=5！種不同的排列方法，即n=5！。

設事件A=“甲、乙不相鄰”，則完成事件A的方法有多種，下面介紹三種常用方法：

方法一（枚舉法）：如圖1 2 3 4 55個位置，先排甲、乙，由于甲、乙不相鄰，所以甲、乙可排在1、3位置，1、4位置，1、5位置，2、4位置，2、5位置，3、5位置。每種情況下甲、乙都可交換位置，總共12類不同的選擇。每類情況下，5人的排列方法有A=3！種（甲、乙固定，只需排丙、丁、戊，即3個元素的全排列），由加法原理知，完成事件A共有12A種方法，即m=12X3！=72。

方法二（剔除法）：基本思想是總的排列方法個數去掉甲、乙相鄰的排列方法個數。確定甲、乙相鄰方法種數可以采用捆綁法，由于甲、乙相鄰，所以可以將甲、乙捆綁在一起看成一個整體，然后與丙、丁、戊3人進行排列，即4個元素的全排列，有A=4！種不同的排列方法，而甲、乙的捆綁方法有甲、乙和乙、甲兩種，所以甲、乙相鄰的排列方法共有2A種，利用剔除法得，甲、乙不相鄰的排列方法有A-2A種，m=5！-2·4！=72。

方法三（插空法）：如圖○□○□○□○，先在3個方塊位置對丙、丁、戊3人進行排列，即3個元素的全排列，有A種不同排列方法，然后排甲、乙，甲、乙不相鄰，可以排在4個圓圈位置中任意兩個，也即是從4個位置中任取2個，甲、乙兩人按次序排列，有A種不同的方法，利用乘法原理，甲、乙不相鄰的排列方法有A·A種，即m=A·A=72。

由公式（1）MP（A）=m/n=72/5！=3/5。

古典概率作為概率論最初發展階段的理論，是概率論中最基本最重要的內容之一。古典概率的計算主要是公式（1）中n和m取值的確定，確定n和m的取值，首先要明確試驗和事件具體是“做什么”，需要具有良好的對事物的抽象概括能力，然后要思考怎么完成，方法可能多種多樣，無形中鍛煉了思維能力和解決問題的能力。同時，古典概率中大多數問題都與實際聯系緊密，而且趣味性的問題很多，所以古典概率學習的過程，在鍛煉各方面能力的同時，還能激發學習概率論與數理統計這門課程的興趣。

參考文獻：

[1]楊靜.概率論思想的歷史演變[D].河北師范大學，2003，6（2）：1.

[2]舒愛蓮.古典概率思想的發展過程及要義[J].山東輕工業學院學報，2006，6，20（2）：77-81.

[3]姚孟臣.概率論與數理統計[M].中國人民大學出版社，2016，6：9.