淺析古典概率

侯立華

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為近代數(shù)學(xué)的重要分支，在生產(chǎn)生活實(shí)踐中發(fā)揮著極其重要的作用。古典概率是概率論的重要組成部分，與實(shí)際聯(lián)系緊密，在學(xué)習(xí)古典概率的過(guò)程中，將不斷提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本文就古典概率的發(fā)展歷程、計(jì)算方法、實(shí)際應(yīng)用三個(gè)方面進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：古典概率;樣本空間;樣本點(diǎn)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是概率論的重要應(yīng)用，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是通過(guò)觀測(cè)收集的數(shù)據(jù)，對(duì)研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性做出合理的估計(jì)與判斷。概率論源于對(duì)賭博問(wèn)題的研究，經(jīng)過(guò)數(shù)百年的發(fā)展，已逐漸滲透到社會(huì)生活的各個(gè)方面，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)及生產(chǎn)生活的諸多領(lǐng)域中起到了不可替代的作用，正如法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說(shuō)：“生活中最重要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上是概率問(wèn)題。”概率論的發(fā)展經(jīng)歷了古典概率論、分析概率論和測(cè)度概率論三個(gè)階段[1]，本文就概率論中的古典概率問(wèn)題作一簡(jiǎn)析。

一、古典概率的發(fā)展歷程[2]

古典概率經(jīng)歷了四個(gè)重要的發(fā)展時(shí)期：16世紀(jì)初至17世紀(jì)中葉的萌芽時(shí)期，代表人物是文藝復(fù)興時(shí)期意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾，發(fā)表著作《論機(jī)會(huì)游戲》，給出了等可能事件發(fā)生概率的粗略定義：一個(gè)特殊結(jié)果的發(fā)生的概率等于得到這種結(jié)果的各種可能形式除以總范圍;17世紀(jì)中葉的計(jì)算時(shí)期，主要代表有法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡、費(fèi)馬及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯，帕斯卡與費(fèi)馬解決著名的“分賭本”問(wèn)題，惠更斯對(duì)他們的工作加以推廣，并出版了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，該著作被認(rèn)為是最早的概率論著作;17世紀(jì)中葉至18世紀(jì)后葉應(yīng)用的擴(kuò)大時(shí)期，主要代表是瑞士的貝努利家族，主要著作是雅各布貝努利的《猜度術(shù)》，該書(shū)是概率論歷史上的經(jīng)典著作之一，這一時(shí)期，繼雅各布貝努利之后，棣莫佛，蒲豐，高斯，泊松等為概率論的發(fā)展也做出了突出貢獻(xiàn);18世紀(jì)中后葉至19世紀(jì)初葉的全面總結(jié)與形成時(shí)期，代表人物是拉普拉斯，代表著作《概率的分析理論》，給出了古典概率的一般定義和概率計(jì)算的一般原理和應(yīng)用，成為現(xiàn)在概率教科書(shū)中古典概率部分的核心內(nèi)容。

二、古典概率的計(jì)算

概率論通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)最基本的不能再分解的試驗(yàn)結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn)，試驗(yàn)的所削羊本點(diǎn)構(gòu)成的集合就是試驗(yàn)的樣本空間Q。如擲一顆均勻的骰子，擲出1點(diǎn)就是試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，試驗(yàn)的樣本空間包含了1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)六個(gè)樣本點(diǎn)。

（一）古典概率的計(jì)算公式

古典概率解決的是古典型隨機(jī)試驗(yàn)中事件發(fā)生概率的計(jì)算問(wèn)題。古典型試驗(yàn)需要滿足兩個(gè)特點(diǎn)：有限性、等可能性。有限性指的是樣本空間包含有限多個(gè)樣本點(diǎn)，等可能性指的是各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。如上述的擲骰子試驗(yàn)。

設(shè)古典型隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω有n個(gè)樣本點(diǎn)，如果事件A是由其中的m個(gè)樣本點(diǎn)組成，則事件A發(fā)生的概率[3]

P（A）=m/n（1）

其中樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)總數(shù)n，也就是試驗(yàn)包含試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)，確定n的取值就可轉(zhuǎn)化為確定完成試驗(yàn)的方法種數(shù);事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m，即事件A包含的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)，確定m的取值就可轉(zhuǎn)化為確定完成事件A的方法種數(shù)。計(jì)算事件A發(fā)生的概率主要是確定n和m的值。

（二）古典概率的計(jì)算過(guò)程

（1）判斷試驗(yàn)是否滿足古典型隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)要求：有限性、等可能性;

（2）明確試驗(yàn)是“做什么”，確定“如何完成”，即完成試驗(yàn)的方法步驟;

（3）計(jì)算完成試驗(yàn)的方法種數(shù)n;

（4）明確事件A是“做什么”，確定“如何完成”，即完成事件A的方法步驟;

（5）計(jì)算完成事件A的方法種數(shù)m;

（6）代人公式（1）計(jì)算。

確定n和m取值時(shí)，通常要用到排列組合的相關(guān)知識(shí)。

三、古典概率的應(yīng)用解析

應(yīng)用古典概率計(jì)算公式解決具體問(wèn)題時(shí)，容易忽略的是古典型隨機(jī)試驗(yàn)等可能性要求。

如擲兩顆均勻的骰子，則擲出點(diǎn)數(shù)之和為6點(diǎn)的概率是多少？

設(shè)事件A=“擲出點(diǎn)數(shù)之和為6點(diǎn)”。

常見(jiàn)錯(cuò)誤的解法：把擲出點(diǎn)數(shù)之和作為試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，認(rèn)為樣本空間包含2點(diǎn)至12點(diǎn)11個(gè)樣本點(diǎn)，n=11;事件A包含6點(diǎn)1個(gè)樣本點(diǎn)，m=1，所以P（A）=m/n=1/11。

上述解法的錯(cuò)誤在于忽略了等可能性的要求。上述的2點(diǎn)實(shí)際上指的試驗(yàn)結(jié)果是第一顆1點(diǎn)，第二顆也是1點(diǎn)，可表示成（1，1），而3點(diǎn)則包含了（1，2）和（2，1）兩個(gè)結(jié)果，上述樣本空間的劃分違反了古典型試驗(yàn)等可能性的要求。正確的解法如下：

該試驗(yàn)是擲兩顆均勻的骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，第一顆可能出現(xiàn)的結(jié)果有1點(diǎn)至6點(diǎn)6種，第二顆也是1點(diǎn)至6點(diǎn)6種可能結(jié)果，利用乘法原理知總共6×6=36種結(jié)果，即樣本點(diǎn)（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，6），n=36;事件A包含了樣本點(diǎn)（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），m=5，所以P（A）=m/n=5/36。

古典概率計(jì)算步驟中最主要的就是明確“做什么”和確定“如何完成”的過(guò)程。因?yàn)橐_定n和m的值，就是計(jì)算完成試驗(yàn)和事件A的方法種數(shù)，只有知道試驗(yàn)和事件A是“做什么”的，進(jìn)而思考“如何完成”的方法步驟，才能利用排列組合的相關(guān)知識(shí)計(jì)算完成試驗(yàn)和事件A的方法種數(shù)，即n和m的值。具體試驗(yàn)、事件復(fù)雜程度的不同決定完成的難易程度，同一問(wèn)題完成的方式有多種，判斷“做什么”和確定“如何完成”的過(guò)程也是鍛煉分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的過(guò)程。

如甲、乙、丙、丁、戊5人按次序排成一列，則甲、乙不相鄰的概率是多少？

該試驗(yàn)是5個(gè)人按一定次序排成一列，屬于5個(gè)元素的全排列問(wèn)題，共有A=5！種不同的排列方法，即n=5！。

設(shè)事件A=“甲、乙不相鄰”，則完成事件A的方法有多種，下面介紹三種常用方法：

方法一（枚舉法）：如圖1 2 3 4 55個(gè)位置，先排甲、乙，由于甲、乙不相鄰，所以甲、乙可排在1、3位置，1、4位置，1、5位置，2、4位置，2、5位置，3、5位置。每種情況下甲、乙都可交換位置，總共12類(lèi)不同的選擇。每類(lèi)情況下，5人的排列方法有A=3！種（甲、乙固定，只需排丙、丁、戊，即3個(gè)元素的全排列），由加法原理知，完成事件A共有12A種方法，即m=12X3！=72。

方法二（剔除法）：基本思想是總的排列方法個(gè)數(shù)去掉甲、乙相鄰的排列方法個(gè)數(shù)。確定甲、乙相鄰方法種數(shù)可以采用捆綁法，由于甲、乙相鄰，所以可以將甲、乙捆綁在一起看成一個(gè)整體，然后與丙、丁、戊3人進(jìn)行排列，即4個(gè)元素的全排列，有A=4！種不同的排列方法，而甲、乙的捆綁方法有甲、乙和乙、甲兩種，所以甲、乙相鄰的排列方法共有2A種，利用剔除法得，甲、乙不相鄰的排列方法有A-2A種，m=5！-2·4！=72。

方法三（插空法）：如圖○□○□○□○，先在3個(gè)方塊位置對(duì)丙、丁、戊3人進(jìn)行排列，即3個(gè)元素的全排列，有A種不同排列方法，然后排甲、乙，甲、乙不相鄰，可以排在4個(gè)圓圈位置中任意兩個(gè)，也即是從4個(gè)位置中任取2個(gè)，甲、乙兩人按次序排列，有A種不同的方法，利用乘法原理，甲、乙不相鄰的排列方法有A·A種，即m=A·A=72。

由公式（1）MP（A）=m/n=72/5！=3/5。

古典概率作為概率論最初發(fā)展階段的理論，是概率論中最基本最重要的內(nèi)容之一。古典概率的計(jì)算主要是公式（1）中n和m取值的確定，確定n和m的取值，首先要明確試驗(yàn)和事件具體是“做什么”，需要具有良好的對(duì)事物的抽象概括能力，然后要思考怎么完成，方法可能多種多樣，無(wú)形中鍛煉了思維能力和解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，古典概率中大多數(shù)問(wèn)題都與實(shí)際聯(lián)系緊密，而且趣味性的問(wèn)題很多，所以古典概率學(xué)習(xí)的過(guò)程，在鍛煉各方面能力的同時(shí)，還能激發(fā)學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程的興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊靜.概率論思想的歷史演變[D].河北師范大學(xué)，2003，6（2）：1.

[2]舒愛(ài)蓮.古典概率思想的發(fā)展過(guò)程及要義[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，6，20（2）：77-81.

[3]姚孟臣.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2016，6：9.