向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究

周運(yùn)龍

摘 要：向量是聯(lián)系代數(shù)、幾何等多方面數(shù)學(xué)知識(shí)的重要工具，也是高中數(shù)學(xué)重要的解題方法，研究向量在高中數(shù)學(xué)中的解題運(yùn)用，對(duì)提升學(xué)生解題能力和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要價(jià)值。要運(yùn)用向量解題，需要熟練掌握向量解題的方法，重視利用向量解題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能發(fā)揮向量的教學(xué)價(jià)值。

關(guān)鍵詞：向量;數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用方法

向量是具有“數(shù)”與“形”雙重特點(diǎn)的重要解題工具，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)向量知識(shí)在解題中的運(yùn)用教學(xué)，對(duì)提高學(xué)生解題能力和解題效率具有重要意義，同時(shí)向量解題方法的運(yùn)用對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要作用，因此應(yīng)加強(qiáng)向量在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用研究。

一、向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值

向量知識(shí)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用有如下價(jià)值：一是能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系。向量在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，在衛(wèi)星定位、機(jī)器人設(shè)計(jì)與控制中有著重要運(yùn)用，它是描述與研究物理學(xué)科中的力、位移、加速度等重要工具，對(duì)向量的運(yùn)用能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值;二是能更好地理解數(shù)形結(jié)合思想方法。

二、向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

（一）掌握向量法解題的方法

要運(yùn)用向量法解題，必須熟悉向量解題的基本方法，掌握了方法才能靈活運(yùn)用向量進(jìn)行解題。筆者在教學(xué)中，總結(jié)了向量法解題的兩種基本方法：一是運(yùn)用向量坐標(biāo)法解題。運(yùn)用該方法解題時(shí)，要注重依據(jù)圖形特點(diǎn)來(lái)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后依據(jù)建立的坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)量問(wèn)題的計(jì)算，就能使問(wèn)題容易解決;二是運(yùn)用向量幾何法解題。

例1：在圖1中，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=4，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求：對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度是多少？

分析：通過(guò)對(duì)本題的分析可知，該題目既可用坐標(biāo)法解題，也可用幾何法解題。

（1）向量坐標(biāo)法解題

可以選擇底面AC和BD的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，以O(shè)A為x軸、OB為y軸，以垂直于底面向上的直線為z軸建立空間坐標(biāo)系，從已知條件知底面ABCD是菱形，容易求出坐標(biāo)A（，0，0），由余弦定量可求出，可得出C1 點(diǎn)坐標(biāo)是，因此容易計(jì)算出

（2）向量幾何法解題

根據(jù)向量加法運(yùn)算可得出，， ∴對(duì)角線AC1的長(zhǎng)就是向量的模，∴，代入數(shù)值可得出，∴對(duì)角線AC1的長(zhǎng)是9。

（二）利用向量知識(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

運(yùn)用向量解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，使復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題可用直觀的幾何方法解決，同時(shí)也使抽象的幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)運(yùn)算輕松解決，增強(qiáng)了解題的方法的多樣性與創(chuàng)新性，有效地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式從“知識(shí)理解”向“知識(shí)遷移”的過(guò)渡，進(jìn)而能夠提升學(xué)生的“應(yīng)用創(chuàng)新”能力，而且在向量解題中能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理、形象思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算等多方面的能力，能較好地實(shí)現(xiàn)了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。因此在向量知識(shí)教學(xué)中應(yīng)注重把向量解題與核心素養(yǎng)培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)。

向量在高中數(shù)學(xué)教材中分為平面向量和空間向量，向量解題的應(yīng)用范圍涵蓋了代數(shù)問(wèn)題（包括不等式、函數(shù)、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列）、平面幾何、立體幾何、解析幾何等多個(gè)方面。而且運(yùn)用向量解題非常簡(jiǎn)潔、方便、高效，具有清晰的解題思路和獨(dú)特的解題優(yōu)勢(shì)，有效降低了數(shù)學(xué)解題的難度，提升了數(shù)學(xué)解題效率。

例2：已知橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B，且長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)與焦距相同，為橢圓的右準(zhǔn)線。

求：（1）橢圓方程;（2）假設(shè)M點(diǎn)是右準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)（不含（4，0）點(diǎn)），如果AM、BM兩條直線和橢圓相交在P、Q兩點(diǎn)（不含A、B兩點(diǎn)），證明B點(diǎn)在以PQ為直徑的圓內(nèi)。

分析：（1）橢圓方程用代數(shù)知識(shí)容易求出為;

（2）在本小題中如果運(yùn)用代數(shù)的方法進(jìn)行證明，比較繁瑣，而如果運(yùn)用向量的方法就容易解決。可假設(shè)， ∵P 在橢圓上，∴， ∵P點(diǎn)不包含在A、B兩點(diǎn)，∴，∵A、P、M三點(diǎn)共線，∴，∴，，∴，∵，∴，由此得出∠PBM是銳角，∴∠PBQ是鈍角，∴B點(diǎn)在以PQ為直徑的圓內(nèi)。

在本題中要證明點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓內(nèi)，也就是證明點(diǎn)B與圓的關(guān)系，關(guān)鍵是要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明∠PBQ是鈍角（或∠PBM是銳角）的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，然后根據(jù)不共線的三點(diǎn)A、B、C的向量數(shù)量積與角度之間的關(guān)系來(lái)判斷角度大小。即根據(jù) ←→ ∠ACB是直角， ←→ ∠ACB是銳角， ←→ ∠ACB是鈍角。本題的求解還較好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)上述向量解題方法的運(yùn)用，對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要作用。

三、結(jié)束語(yǔ)

總之，向量作為高中數(shù)學(xué)解題的重要工具，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要價(jià)值，因此教師要加強(qiáng)對(duì)向量解題方法的教學(xué)，注重利用向量解題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的多種能力，才能更好地發(fā)揮向量知識(shí)的教學(xué)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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