小學數學教學中模型思想的滲透

宋曉光

摘要：數學模型是用數學語言概括或近似地描述現實世界事物特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。數學模型思想就是通過對數學模型的研究來解決現實問題的一種數學思想方法。小學數學教學中，滲透模型思想的做法有：溝通新舊知識，建構數學模型;創設認知沖突，夯實數學模型;精練再生經驗，優化數學模型;貫通學習方法，重構數學模型。

關鍵詞：小學數學模型思想認知沖突再生經驗

數學模型是用數學語言概括或近似地描述現實世界事物特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。模型思想就是通過對數學模型的研究來解決現實問題的一種數學思想方法。小學數學中的數學模型主要有數的概念、計算法則、公式、性質、數量關系等。下面，結合一些具體的案例，談一談筆者對小學數學教學中模型思想的滲透的思考。

一、溝通新舊知識，建構數學模型

鄭毓信教授曾提出“基礎知識不應求全，而應求聯”的觀點。教學中，教師應力求溝通新舊知識的內在聯系，便于學生更加輕松地建構數學模型。

例如，特級教師嵇憲長教學《認識平均分》一課時，是這樣溝通新舊知識的——

師（板書：分）今天要學的內容，跟這個字有關。說起“分”，小朋友最熟悉的莫過于一年級學過的“數的組成”了。下面，就請跟著老師一起回憶一下這些數的組成，說一說4、6、8可以分成幾和幾。

（教師根據學生的回答出示如圖1所示的4、6、8的分解式。學生齊讀后，發現分法特別的三組：4可以分成2和2;6可以分成3和3;8可以分成4和4。）

師這一份是2，這一份也是2，分得——

生很整齊。

師很公平。數學上給它起個特別的名字，叫作“平均分”。那怎樣才是平均分呢？

生每份分得同樣多！

師那另外的分法為什么不是平均分？

生4可以分成1和3，不是平均分，因為一份是1，一份是3;4可以分成3和1，也不是平均分，因為一份是3，一份是1。

……

本片段中，教師充分溝通新舊知識，引導學生借用一年級學過的“數的組成”知識來認識平均分這種特殊的分法，直觀地凸顯了平均分的本質——每份同樣多，完成了“平均分”模型的初步建構。

二、引發認知沖突，夯實數學模型

鄭毓信教授同時也提出“基本技能不應求全，而應求變”的觀點。在學生形成技能的過程中，教師要通過變化來引發認知沖突，從而幫助學生在思辨中夯實數學模型。

仍以嵇老師的《認識平均分》一課為例。學生借助“數的組成”理解平均分成2份后，教師通過變式提問，引發學生的認知沖突：“如果老師給你一個‘3’，你能把它平均分嗎？”絕大部分學生認為不能，因為分成的一份是2個，一份是1個。教師追問：“能不能讓它每份分得同樣多呢？”有學生說：“能！再加1個。”教師強調條件：“不改變總數，如何分才能做到每份分得同樣多？”經過一段時間的思考，有學生說：“平均分成3份。”教師小結：“剛才同學們說不能，是不能平均分成2份。平均分成3份就能了。這說明，平均分的時候，可以根據需要把總數分成2份、3份、4份……”

本片段中，針對學生可能形成思維定式“平均分就是分成2份”的情況，教師引發了他們的認知沖突——將3平均分，讓學生在拓展“份數”的過程中深入理解平均分，從而夯實了“平均分”的數學模型。

三、精練再生經驗，優化數學模型

再生經驗是指在相同的活動情境下，學生根據前一次活動經驗照著模式套用，完成后一次活動情境中的數學任務，再生活動經驗。由于班級授課制的特殊性，教學中更多地借助學生的原初經驗，形成再生經驗，然后利用再生經驗解決學習中的大部分問題。精練學生的再生經驗，有利于學生發現自己應用數學模型解決現實問題的局限性，從而優化數學模型。

例如，特級教師徐長青教學《烙餅問題》一課時，是這樣精練學生的再生經驗的——

將餅分為能運用“資源數”的偶數張、奇數（不含1）張及不能運用“資源數”的1張。相比較而言，學生理解偶數張餅的情況要簡單一些，所以教學從這里開始。教師先讓學生默讀題干：每次只能烙2張餅，每面都要烙，每面3分鐘。然后引導學生理解“每次只能烙2張餅”的含義：3張行不行？1張行不行？為什么不行？學生很輕松地回答：3張不行，1張行，因為每次只能烙最多2張。接著，多媒體演示烙餅過程：2張餅一起烙，用時6分鐘。引導學生小結得到經驗：2張餅同時烙，最短的時間為6分鐘。處理4張餅的情況時，學生直接把2張餅的經驗進行了再生。教師歸納并板書：經驗+經驗=新經驗。處理6張餅的情況后，教師組織學生優化解決策略：將新問題轉化為老問題。

接著，處理奇數張餅的情況。對于烙3張餅的時間，學生出現了9分鐘和12分鐘兩種答案：計算時發現，3張餅，共6面，每次同時烙2張餅，6÷2=3（次），3×3=9（分鐘）;可演示時卻發現，2張餅烙6分鐘，1張餅也烙6分鐘，共12分鐘。教師及時點撥：9分鐘的時候，只放了1張餅，浪費了。怎么辦？學生豁然開朗：烙一次，拿走1張半熟的，再放1張生的上去;再烙一次，拿走1張全熟的，再放1張半熟的上去;再烙一次。教師小結：3張餅可以交替烙。至此，學生的再生經驗得到了精練，并初步建立了“同時烙+交替烙”的烙餅模型。運用這一模型，學生發現5張餅、7張餅……的情況都能順利處理。在此基礎上，學生發現：每增加1張餅，多3分鐘;每減少1張餅，少3分鐘。

教學順理成章地過渡到第三個層次——特殊的1張餅的情況。學生發現此時不符合奇數張餅的烙餅模型——只有1張餅，不能同時烙，也不能交替烙。教師順勢介紹“資源數”2，只有2張餅及以上才能充分利用資源，1張餅不能充分利用資源。那怎樣才能利用“資源數”呢？學生突發奇想：把鍋切成兩半！教師總結提升：所以，現在市場上也有了兩面同時烙的電餅鐺。改變環境與條件，同樣也是一種優化。

徐老師的課上，學生歷經了三次再生經驗的精練，數學模型也隨之逐漸優化：第一次，由2張餅的情況再生到偶數張餅的情況，建立同時烙的模型;第二次，再生到奇數張餅的情況，優化得到“同時烙+交替烙”的模型;第三次，再生到“資源數”，從根本上重建并優化出“改變環境與條件”的模型。

四、貫通學習方法，重構數學模型

數學模型的重構不是簡單的復原，而是更深刻的理解，是圍繞解決現實問題的重建。隨著學生認知活動的不斷深入，學生建構的數學模型有時會出現某些偏差，會對數學學習起負遷移作用。因此，就有必要引導學生在更高層次上不斷對已有模型進行重構，將其“擴建”成為一個更大的模型結構。這樣，學生思考問題會更深刻，對數學模型的理解會更透徹，更重要的是，思維會變得更加理性。

例如，教學蘇教版小學數學五年級上冊《小數加法和減法》一課，教師出示例1情境圖和問題（如圖2），讓學生嘗試用豎式計算。學生小組討論后，交流算法。有學生是這樣算的：4.75元是475分，3.4元是340分，5+0=5（分），7+4=11（角），留下1角，另外10角換成1元，和4元、3元加在一起，為8元，一共就是8元1角5分，所以列豎式時，末尾對齊相加。還有學生是這樣算的：4個“1”和3個“1”加，7個“110”和4個“110”加，5個“1100”跟自己（0）加，所以列豎式時，小數點對齊相加。這時，教師引導學生討論兩種算法的共同點，發現：都是同樣的計量或計數單位相加;表現在計算方法上，看似一個是末尾對齊相加，另一個是小數點對齊相加，但實質都是相同數位對齊相加。從而明確：改變計數單位，小數加法就可以變成整數加法。即4.75+3.4，可以看成是475個“1100”加340個“1100”，得815個“1100”，就是8.15。同理，小數減法也可以與整數減法的學習方法貫通。

（1） 小明和小麗一共要用多少元？

由于小數是整數的一次擴展認識，因此在很多方面與整數有著共通之處：十進制的計數法，相同數位對齊的算理，等等。在教學中貫通這些學習方法，可使學生發現不同數學模型的相同本質，重構更大的數學模型。

參考文獻：

[1] 司守奎，孫兆亮.數學建模算法與應用（第2版）[M].北京：國防工業出版社，2015.

[2] 楊凱，王真紅.學生學習內容疑難問題解析——小學數學[M].長春：東北師范大學出版社，2012.