函數思想在數列中的應用舉例

夏婧

摘 ? 要：在數列教學中滲透函數思想對于教學和實際生活應用意義重大，對函數思想在數列中的應用進行舉例，方便學生加深對數列的理解和認識。

關鍵詞：數列;函數思想;相互關系

數列是按一定次序排列的一列數，在函數意義下，數列是定義域為自然數集N（或它的有限子集{1， 2…， n}）的函數f（n），當自變量n從1開始依次取自然數時，所對應的一列函數值f（1）， f（2），…，f（n）通常用an代替f（n）。于是數列的一般形式如a1， a2…，an，簡記為{an}。其中an是數列{an}的第n項，也叫通項。因此數列是一種特殊的函數，我們經常求的數列的通項公式實際上即求數列{an}的第n項與項數n之間的函數關系式。

1 ? ?函數思想在等差數列中的應用

在等差數列中，已知任意兩項，就可確定任何一項，例如已知a3=5，a5=9，求a10，最常用的方法就是解方程組，求出a1和d。這是因為等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）是關于n的一個不超過一次的函數。當d≠0時，an是關于n的一次函數，而一次函數，只需兩個系數就可以確定，當d=0時，an=a1，an是關于n的一個常函數。另一方面，如果an=cn+d，則{an}一定是等差數列，因此等差數列是一系列分布在一條直線上的離散的點。等差數列的前n項和Sn=na1+=n，當d≠0時，此式可看作二次項系數為，常數項為0的二次函數，其圖像為拋物線y=上離散的點，因此，由二次函數的性質可以求出Sn最大值（或最小值）。

2 ? ?函數思想在等比數列中的應用

等比數列的通項公式是an =aqn-1，由于它可以變形為，而中各項所表示的點離散地分布在第一象限或第四象限，當q>0時，這些點在曲線上，（即y=cqx，這里為不等于0的常數）。等比數列的前n項和，當q>0且q≠1時，{Sn}所表示的點在曲線y=b-bqn（這里為不等于0的常數）上，具有類似指數函數式的結構特征，很快能夠得出：若一個數列{an}的前n項和Sn=b（1-qn），則{an}一定為等比數列。

3 ? ?函數思想在求數列最大、最小項中的應用

在數列{an}中，不等式an>an+1的解集是使數列{an}單調遞減的n的取值范圍，不等式an≥an-1的解集是使數列{an}單調遞增的n的取值范圍，因此an≥an+1且an≥an-1的解集是使an取最大值時n的值，因此，求數列的最大項或最小項通常利用函數單調性去求解。例3：已知數列{an}的通項公式，求此數列的最值。

4 ? ?函數思想在數列間相互關系中的體現

在研究某些數列的相互關系時，也經常用到函數的觀點，尤其是將非等差、等比數列轉化為等差、等比數列。

5 ? ?結語

函數思想在數列中有著廣泛的應用，在平常教學中不斷滲透函數思想，不僅使學生對數列本質有深刻的認識，也能進一步加深對函數的理解。