淺談數學中的數學美

彭世界

摘 要：數學本質上說，是客觀世界的真實反映，只不過是高度濃縮的、極度概括的抽象反映而已，它具有美感，表現為“統一美，對稱美，簡單美，辨證美”等。

關鍵詞：淺談；數學；數學美

數學，無論是簡單的代數幾何，還是深奧的解析幾何、線性代數、微積分以及用于微觀研究的復雜數學，好像遠離現實世界，極度抽象，與人們生活遠之又遠。其實不然，所有的數學都有現實世界的模型作為基底，而不只是數學天才憑空奇想出來的符號、公式、圖形的演繹。數學是透過抽象化和邏輯推理的使用，在計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理，數學具有美感，我們稱之為數學美！

數學美主要表現為：主要有：統一美，對稱美，簡單美，辨證美等。

一.統一美

統一美，反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性，它能給人一種整體和諧的美感。數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一，數學理論的統一，數學和其它科學的統一。

1.數學理論的統一。在數學發現的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢。數學理論的統一性主要表現在它的整體性趨勢。布爾基學派的《數學原本》，用結構的思想和語言來重新整理各個數學分支，在本質上揭示數學的內在聯系，使之成為一個有機整體，在數學的高度統一性上給人一美的啟迪。

2.數學概念、規律、方法的統一。一切客觀事物都是相互聯系的，因而，作為反映客觀事物的數學概念、數學定理、數學公式、數學法則也是互相聯系的，在一定條件下可處于一個統一體之中。例如，運算、變換、函數分別是代數、幾何、分析這三個數學分支中的重要概念，在集合論中，便可統一于映射的概念。又如代數中的算術平均——幾何平均定理、加權平均定理、冪平均定理、加權冪平均定理等著名不等式，都可以統一于一元凹、凸函數的琴森不等式。

3.數學和其它科學的統一。數學和其它科學的相互滲透，導致了科學數學化。力學的數學化使牛頓建立了經典力學體系。科學的數學化使物理學與數學趨于統一。建立在相對論和量子論兩大基礎理論上的物理學，其各個分支都離不開數學方法的應用，它們的理論表述也采用了數學的形式。化學的數學化加速了化學這門實驗性很強的學科向理論科學和精確科學過渡。生物數學化使生物學日益擺脫對生命過程進行現象描述的階段，從定性研究轉向定量研究，這個數學化的方向，必將同物理學、化學的數學化方向一樣，把人類對生命世界的認識提高到一個嶄新的水平。不僅自然科學普遍數學化了，而且數學方法也進入了經濟學、法學、人口學、人種學、史學、考古學、語言學等社會科學領域，日益顯示出它的效用。

二.簡單美

簡單、明快才能給人以和諧之感，繁雜晦澀就談不上和諧一 致。因此，簡單性既是和諧性的一種表現，又是和諧性的基礎。數學美的簡單性，并非指數學對象本身簡單、淺顯，而是指數學對象由盡可能少的要素通過盡可能簡捷、經濟的方式組成，并且蘊含著豐富和深刻的內容。數學的簡單美，主要表現在數學的邏輯結構、數學方法和表達形式的簡單性。

1.數學結構的簡單美。簡單性是數學結構美的基本內容。就數學理論的邏輯結構而論，它的簡單性一般包括兩個方面的內容：一是理論前提的簡單性，獨立的概念簡單明確，以最少的公理來建立理論；二是理論表述的簡單性，以最簡單的方式抓住現象的本質，定理和公式簡單明晰。著名的皮亞諾算術公理系統，就是邏輯結構簡單美的一個典范。

2.數學方法的簡單美。簡單性是數學方法美的重要標志。一個美的數學方法或數學證明，一般都包含著簡單性的涵義。如希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法就是數學方法簡單美的一個范例。正是由于希爾伯特的方法簡單而深刻，才使它能進一步應用到抽象代數中去，并把群、環、域的抽象理論提高到顯著的地位。

3.數學形式的簡單美。簡單性也是數學形態美的主要特征。數學形態美，是數學美的外部表現形態，是數學定理和數學公式（或表達式）的外在結構中呈現出來的美。形態美的主要特征，在于它的簡單性。例如，牛頓用F=ma概括了力、質量、加速度之間的定量關系；中國著名數學家張景中院士認為，“周氏猜測”以非常簡潔、優美的形式揭示了數學之美。

三.對稱美

對稱美，反映的是審美對象形態或結構的均衡性、勻稱性或變化的周期性、節律性。數學的對稱美，實質上是自然物的和諧性在量和量的關系上最直觀的表現。

從數學美來講，對稱包括狹義對稱、常義對稱與泛對稱等，內容十分豐富。狹義對稱可分為代數對稱（共軛根式、共軛復數、對稱多項式、輪換對稱多項式、線性方程組的克萊姆法則、對稱矩陣、反對稱矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣等）與幾何對稱（軸對稱、中心對稱、平面對稱等），常義對稱包括同構、同態、映射、反演、互補、互逆、相似、全等等，泛對稱包括數學對象的系統性、守恒性、不變性、周期性、對偶性、等價性和勻稱等。

四.辨證美

數學充滿著相對數量、概念和性質，是辯證的對立統一，是真正的辯證法。如果說各門科學都包含著豐富的辯證思想，那么，數學則有自己特殊的表現方式，即用數學的符號語言以及簡明的數學公式能明確地表達出各種辯證的關系和轉化。例如：初等數學中：點與坐標的對應；曲線與方程之間的關系；概率論和數理統計所揭示出的事物的必然性與偶然性的內在聯系等。

總之，數學中的美是千姿百態、豐富多彩的，如美的形式符號、美的公式、美的曲線、美的曲面、美的證明、美的方法、美的理論等。從內容來說，數學美可分為結構美、語言美與方法美；就形式而論，數學美可分為外在的形態美和內在的理性美。把內容和形式結合起來考察，數學美就具有和諧美，和諧是數學美的最基本、最普遍的一個特征。數學美也是藝術美和人們審美的重要依據和尺度。

參考文獻

[1] 《高等數學》，傅延欣，韓偉，王德，電子工業出版社，2009年。《數學美拾趣》，易南軒，電子掃描版。

[2] 《數學的美與理》（普通高等教育“十五”規劃教材），張順燕，北京大學出版社，2004-07.

[3] 《美麗數學》，（日）安野光雅，中國城市出版社，2011-07-01.

[4] 《數學之美》，吳軍，人民郵電出版社，2014-11-01.