泰勒展開及其應用

王思鰻

摘 要：本篇論文首先介紹了泰勒公式的發展進程，再利用柯西中值定理對其進行驗證，最后結合實際對其進行應用（如：近似估算函數值并估計誤差，求待定式的極限，牛頓迭代法）

關鍵詞：泰勒公式；柯西中值定理；牛頓迭代法；極限；函數

利用陌生的公式解答熟悉的題目，這是在數學中常見的現象。出于對簡便的追求，人們發明各式各樣的公式以更完美地解決疑難，泰勒公式則是為簡化求極限、逼近函數應時而生的。那么這個偉大的公式是如何被發明、完善并且運用到實際的呢？

一、泰勒公式的發展

泰勒公式得名于英國數學家布魯克·泰勒。早在1671年，詹姆斯·格雷高便發現它的特例——麥克勞林級數；1717年，泰勒以泰勒定理求解了數值方程；而后拉格朗日在1797年前最先提出帶有余項的泰勒定理。

泰勒公式利用函數在某點信息來描述其附近的取值，即在函數平滑和已知某點的各階導數值的條件下，用這些導數值構造多項式來近似表示函數在某點的鄰域中的值，并能估算它與實際值的偏差。

二、泰勒公式的證明

定理：若函數 在包含 的某個閉區間 上具有 階導數，且在開區間 上具有 階導數，則對閉區間 上任意一點 ，成立下式：

，其中，等號后的多項式稱為函數 在 處的泰勒展開式，剩余的 是泰勒公式的余項，其中 是 與 之間的某個值。

證明泰勒公式需要利用柯西中值定理，我們先對柯西中值定理進行說明并對其進行證明。

柯西微分中值定理是指若函數 和 在 上連續，在 內可導，且對于任意 都有 ，則在 內至少存在一點 ，使得 成立。

證明：令 。對 進行求導可以得到 。那么就有 。根據羅爾中值定理，也就是說在閉區間內，連續函數存在極值可以得到存在一點 使得 。整理式子可以得到 。即柯西中值定理得證。下面我們再來證明泰勒公式：

令 ]

則有 為泰勒公式的余項。

對t求導可得 。

再令 ， 。

又由柯西中值定理：

因此有

。

即 。自此泰勒定理得證。

事實上，我們可以看出來泰勒公式是對函數用多項式進行逼近。而對于數學而言，多項式的性質要比函數更容易探求，而通過泰勒開展之后，能夠較好地用多項式擬合函數，從而獲取一些函數的性質。

三、泰勒公式的應用

泰勒公式的應用主要有以下三種：

1.計算近似值并估計誤差

在高中，我們學過自然對數e，但e的精確值是多少呢？人們又是如何得到的呢？眾所周知，e是一個無限不循環小數，自然它的精確值無法求出，但我們可以運用泰勒公式無限逼近以得出它的估算值。

先對 進行泰勒展開 ，當 時 即 。

任意取一個n值，如取 時， ，

則誤差 = ≈ 。

2.計算極限

對函數中的非線性函數進行泰勒展開，再代入自變量，即可逼近最值： 。

若使用洛必達法則： 。

當 時， 。

對比來看，后者求導次數多，運算較為復雜，并且每次需要確定洛必達法則的使用條件，雖說結果相同，但簡易程度有目共睹。因此可以說，泰勒公式簡化了極限的求法。

3.牛頓迭代法

牛頓迭代法是由牛頓提出的一種近似求解方程的方法，多數方程求精確根非常復雜，因此求近似根就顯得極為重要。

而用牛頓迭代法解非線性方程，是把方程 線性化的方法。把 在 的某鄰域內展開成泰勒級數，取其線性部分（泰勒展開前兩項），令其等于0即 ，以此作為 的近似方程，解得 ，則可推出 。

四、總結

本文探究了泰勒公式，由代數學家精密推算，由種種公式原理嚴格推導，而由它衍生出的應用也不勝枚舉。這使我明白：在數學里，每一次定律的發現都能帶來飛躍般的發展，但每一項成果的取得都來之不易，這需要探索精神、理性思維和網技術手段的結合。因此，在生活中保持一顆善于觀察、勇于探索、敢于堅持的心是至關重要的。

參考文獻：

[1] 伍勝健. 北京大學數學教學系列叢書：數學分析（第一冊）[M]. 北京大學出版社，2015.