基于有限元法的V型缺口平板應力集中系數研究

劉慶剛 魏青 韓偉信 于新奇 劉麟

摘要：針對雙邊V型缺口有限寬平板的應力集中問題，采用有限元軟件ANSYS對缺口尖端區域應力場進行了分析。采用數值積分方法對平均應力及不同開口角度2α、不同尖端半徑ρ條件下的應力集中系數進行了計算，并將有限元分析結果與Filippi缺口應力場方程的結果進行了對比驗證。結果表明，有限元分析方法得到的結果與Filippi方程的計算結果最大誤差為3.77%;在缺口尖端處存在明顯的應力集中，但隨著到缺口尖端距離的增加應力集中系數降低很快;缺口處最大應力集中系數隨缺口尖端半徑的增大而明顯減小，且減小速率逐漸降低;隨著缺口角度的增加，應力集中系數緩慢減小。因此，采用有限元方法可以有效開展含缺口結構的應力集中分析，研究方法對于其他復雜含缺口結構的安全分析具有一定的參考價值。

關鍵詞：斷裂力學; V型缺口; 應力集中系數; 有限元; Filippi缺口方程

中圖分類號：TH114文獻標志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2019yx04003

Abstract： Aiming at the stress concentration problem of bilateral V-notch finite width plates， the finite element software ANSYS is used to calculate the stresses at the V-notch， and the numerical integration method is used to calculate the average stress. The stress concentration factors at different opening angles 2α and different tip transition radius ρ are calculated according to the two numerical methods above. The factors obtained by the numerical method are compared with results by the Filippi notch stress field equation and it is proved that the maximum difference between the two methods is 3.77%. The results show that obvious stress concentration exists at the tip of the V-notch， but the concentration factor decreases fast with the increase of the distance away from the notch tip. The stress concentration factor decreases as the radius increases， but the decreasing rate reduces gradually with the increase of the radius. The concentration factor decreases slowly with the increase of the parameter 2α. Finite element method is reliable for the analysis of the stress concentration at the notch tip， and it is beneficial for the safety analysis of the notch at other complex structures.

Keywords：fracture mechanics; V-notch; stress concentration factor; finite element; Filippi notch equation

缺口會引起應力集中，因此缺口部位是各類航空器、機械裝置、建筑結構中的薄弱環節，其強度問題需要予以格外重視。因此，為了保障含缺口結構的安全性，自20世紀初期含缺口結構的應力、應變問題得到固體力學領域研究人員的重視，并逐漸形成了“缺口力學”這一固體力學的分支。

在缺口力學領域，國內外學者以V型缺口為研究對象做了大量研究。早期，研究人員的研究工作主要集中在含缺口結構應力場的解析解方面。人們采用不同的應力函數來表示缺口周邊應力場[1]，研究并解決了鈍裂紋問題[2]、尖銳V形缺口和包含尖端過渡圓弧的V形缺口應力場方程[3]，其中FILIPPI提出的計算公式影響最為廣泛。2002年，FILIPPI等[4]在前人研究基礎上，考慮平板有限尺寸對應力場的影響，給出更為精確的應力計算式，被后人稱為“Filippi缺口應力場方程”，奠定了缺口力學的理論基礎。對于尖銳缺口尖端應力場，研究中考慮了微觀約束效應[5-6]，引入虛擬缺口圓半徑，利用虛擬缺口圓邊界的平均應力作為尖銳型缺口尖端的應力值[7-9]。近年來，隨著計算機技術的發展，有限元方法（FEM）逐漸應用于缺口結構應力分析中[10-15]。工程問題中，如機械裝置、壓力容器等問題，由于裝置結構復雜難以獲得有效的解析解，試驗方法成本較高，實施困難。因此，有限元方法由于其方便快捷性，越來越受到人們的重視，在缺口結構應力分析中的應用越來越廣泛。

本文以雙邊V型缺口平板為研究對象，分別采用Filippi缺口方程和有限元方法分析了缺口尖端附近的應力場和應力集中系數，得到了應力集中系數KT與開口角度2α、缺口尖端過渡半徑ρ的關系，對于表征含缺口結構的應力狀態，保障結構安全具有一定的意義。

1缺口應力集中系數分析方法

1.1幾何模型

本文的研究對象為一長方形平板，尺寸為H×L，厚度為δ，板兩側有開口角度為2α，尖端半徑為ρ的V型缺口，板材彈性模量E=2×105 MPa，泊松比μ=0.3，在板的頂部和底部分別施加σnom的遠場拉應力，缺口模型示意如圖1所示。

圖1 a）中，a表示單側開口深度，h表示韌帶寬度;圖1 b）中，r0表示缺口尖端圓弧高度，q為確定r0和ρ之間關系的輔助參數;σθ，σr，τrθ分別表示極坐標條件下的應力。

1.2解析解

對于本文所述缺口類型，文獻＼[4＼]給出了Filippi缺口應力場方程。在平面拉伸應力場下，Filippi缺口應力場方程如式（1）所示。

根據最大應力和名義應力值，計算該V型缺口平板應力集中系數 KT。

對于開口角度為45°的V型缺口沿x方向σθ應力集中系數，采用有限元分析得到的結果和采用Filippi缺口應力場方程得到的結果如圖7所示。由圖7可知，有限元模擬結果得出的應力曲線與Filippi缺口應力場方程得到的結果具有很好的一致性，表明有限元法具有良好的可靠性。

2結果與討論

2.1缺口尖端附近應力場分析

通過有限元模擬，得到了沿著缺口中心線x， y， z 3個方向的應力分布，坐標系情況參見圖1 b）。根據圖1 b），x，y方向的應力分別為σr和σθ。將3個方向的應力繪制成曲線，如圖8所示。圖8中，橫坐標x/ρ為應力點到缺口弧頂距離與缺口半徑的比值。由圖8可知，y方向的應力遠遠大于其他2個方向的應力，表明σθ是對缺口強度影響最大的應力。σθ在缺口尖端取得最大值，隨著到缺口尖端距離的增加，σθ逐漸減小并接近平均應力值。

2.2開口角度對應力集中系數KT的影響

取缺口尖端過渡半徑ρ分別為0.5，1.25和2.5 mm，取不同的開口角度，通過上述有限元法和Filippi缺口應力場方程計算KT，結果如圖9所示。由圖9可知，有限元方法和Filippi缺口應力場方程得到的結果具有很好的一致性。3個過渡圓弧半徑條件下，缺口應力集中系數均隨著開口角度的增加而減小。

2.3缺口尖端過渡半徑對應力集中系數KT的影響

取缺口的開口角度分別為45°，90°，135°，同樣采用有限元法和Filippi缺口應力場方程計算KT，結果如圖10所示。由圖10可得，應力集中系數隨缺口尖端過渡半徑增大KT減小，且減小速率降低;3種角度條件下，當過渡半徑從05 mm增加到25 mm時，最大應力集系數分別下降了5027%，5062%和3753%。對比圖9和圖10可以發現過渡圓弧半徑對應力集中系數的影響大于開口角度的影響。

3結論

通過對雙邊V型缺口有限寬平板的有限元計算及Filippi缺口應力場驗證，得出以下結論。

1）利用有限元方法計算了不同參數下的缺口應力集中系數值，并與采用Filippi缺口方程的計算結果進行對比，兩者最大相差為3.77%，表明有限元方法具有良好的可靠性。

2）沿著缺口中心線方向，σθ的數值遠遠大于其他2個方向的應力，是決定缺口結構強度的主要因素;隨著到缺口尖端距離的增加，σθ值迅速減小，并逐漸接近平均應力。

3）V型缺口平板在缺口尖端處的應力集中程度較大，尖端過渡半徑ρ對應力集中系數KT的大小有顯著影響。當開口角度為45°時，尖端過渡圓弧半徑ρ從0.5 mm增加至1.25 mm，應力集中系數KT從7.59下降到4.86，降幅為35.97%;圓弧半徑ρ從1.25 mm增加至2.5 mm，應力集中系數KT從4.86下降到3.54，降幅為27.16%。由此可知，隨半徑的增大應力集中系數逐漸減小，且減小速率逐漸降低。

4）當開口角度為45°，90°，135°時，尖端過渡圓弧半徑ρ從0.5 mm增加至2.5 mm，對應的應力集中系數KT的降幅依次為50.27%，50.62%和3753%。因此，過渡圓弧半徑對應力集中系數的影響大于開口角度。

本文的分析結論是在固定板厚下得出的，沒有考慮到板厚對應力分布狀態的影響，有待進一步研究。另外，許多工程零部件，可能存在缺口尖端過度圓弧半徑為0的特殊結構即尖銳缺口問題，也需要進一步研究和探討。

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