伏安法測電阻的誤差分析

熊楊爽 茍熹

【摘? 要】安培表與伏特表內阻的存在，使得伏安法測電阻無論選擇內接法還是外接法，測量結果都會存在誤差。理論分析兩種電路誤差來源，根據誤差來源，因相對誤差更能反映測量的可信程度，結合相對誤差推倒出兩種測量方法的選擇依據。文章旨在引導學生分析內接與外接兩種電路系統誤差的來源，結合相對誤差定義進行分析，并根據被測電阻來選擇合適的電路進行測量，得到較準確的測量值。

【關鍵詞】外接法、內接法、的比較

伏安法測電阻有安培表內接和安培表外接兩種連接電路，如圖1和圖2所示。電壓表的電阻雖然非常大，但電壓表接入電路，并不是嚴格意義上的斷路，實際上有微弱的電流通過電壓表，這就是電壓表的分流作用;電流表的電阻很小，但它接入電路后也不是一段嚴格意義的導線，電流表兩端也有電壓，這就是電流表的分壓作用。正是由于電壓表的分流、電流表的分壓，導致伏安法測電阻時，無論采取哪種連接電路，都不可避免的會產生系統誤差。

在圖1所示的外接法測電阻的電路中，電壓表V有分流作用，設流過電壓表的電流為，流流過安培表的電流為，過的電流，與不相等，有：，（1）

電壓表所測電壓即為兩端的電壓，即：（2）

由歐姆定律有：（3），解（1）（2）（3）

有（4）

（4）式表明，安培表外接測電阻時測得的是電阻與電壓表的電阻兩者的并聯值，即：（5）

其測量的絕對誤差：（6）

我們用絕對誤差與測量值的比值來計算相對誤差，

有：（7）

（7）式表明，用安培表外接法測電阻時，在電壓表電阻一定的情況下，所測電阻越大，測量的相對誤差越大。

在圖2所示的內接法測電阻的電路中，流過安培表A的電流與流過的電流是相等的，即：（8）

由于安培表A有微小電阻，安培表兩端有電壓，使得電壓表測得的電壓與兩端的電壓不相等，即：（9）

由歐姆定律：，

有：（10）

（10）式表明，安培表內接測電阻時，測得的電阻是電阻與安培表的電阻的串聯值，

其測量的絕對誤差：（11）

我們用測量的絕對誤差與電阻的真實值的比值（注：兩種電路求相對誤差的方法略有不同，前者是絕對誤差與測量值的比值，此處是用絕對誤差與真實值的比值，這樣做的的好處是便于比較。）來計算相對誤差

有：（12）

（12）式表明，用安培表內接測電阻時，在所用安培表內阻一定時，所測電阻越小，測量的相誤差越大。

當兩種測量電路測得的相對誤差與相等時，由（7）、（12）

有：（13）即：（14）

（14）式表明，當時兩種測量電路測電阻時，測量的相對誤差相同。

由此，用伏安法測電阻時往往把測電阻的粗略值與先進行比較，做為選擇測量電路的依據：若則認為為大電阻，一般采用安培表內接法，，若則認為為小電阻，一般采用安培表外接法。

在用伏安法測電源的電動勢和內電阻的實驗中，由閉合電路的歐姆定律：，可得：（15）（注：當電壓表示數增大時，安培表的示數減小，即當即時、，的負值才是電源的內電阻）。

采用安培表外接的測量電路如圖3所示，電壓表測得的是電源兩端的路端電壓，

即：（16），

由于電壓表的分流作用，電流表的測量值小于流過電源的電流，即：（17）

解（15）（16）（17）得：（18）

即：（19）

（注：電壓表測量的電壓與流過電壓表的電流是同步變化的，即當時，，故，后面討論到安培表時也是如此）

（19）式表明在用伏安法測電源的內阻時，采用安培表外接，測得的是電源內電阻和電壓表電阻的并聯值。由（7）式可知，當電源內阻越小時，測量的相對誤差越小。

如采用如圖4所示安培表內接測電源的內電阻，其流過安培表的電流與流過電源的電流相等，即：（20）

但由于安培表的分壓作用，電壓表測得的電壓小于電源的路端電壓，

即：（21）

解（15）（20）（21）得：（22）

（22）式表明在用伏安法測電源的內阻時，采用安培表內接時，測得的是電源內阻和安培表電阻的串聯值。由（12）式可知，當安培表電阻一定時，電源的內阻越大，測量的相對誤差越小。

高中《物理選修3-1》第70頁，“測定電池的電動勢和內阻”一節，之所以采用安培表外接（課本圖2.10-1）來測量，正是因為電池（這里的電池指的是干電池）的內阻很小，測量的相對誤差較小。如果是測一個內阻較大的電池的電動勢和內阻，采用安培表內接更為合理。

結束語

伏安法測電阻無論內接還是外接，測量值與真實值之間都會有誤差，如何選擇電路一般根據相對誤差大小而定，讓學生知道相對誤差的概念并根據相對誤差的大小來選擇測量電路，借此可以提高學生的實驗能力。在教學中滲透相對誤差的思想并學會計算相對誤差，也能培養學生邏輯推理能力和數學運算能力。

參考文獻：

[1]崔勇.對伏安法測電阻中電流表內接外接法的探討[J].物理通 報，2016，10：85-88.

[2}《物理實驗》（高等學校教學用書）李長江主編