單元教學模式的嘗試與思考

孫莉萍

開始備課時，我認為兩種畫法是兩個獨立的存在，對于學生為什么學習了度量法還要學習尺規作圖，查閱了相關資料給出的解釋是：在用量角器畫已知角的過程中，我們在讀數每位同學的近似方法不一樣，實際上畫出的角是會有誤差的，這里有主觀因素在其中。古希臘數學家最信任的尺規作圖，所以我們作出一個角等于已知角。在備課組活動說課時，備課組老師建議用線段和角畫法的類比學習會使知識脈絡更清晰，更符合單元設計的要求，也就是現在復習引入中我們類比了畫線段等于已知線段的方法后，讓學生接著思考畫一個角等于已知角的方法會有哪些來引出我們今天要研究的兩種畫法。

本課重難點就是探究尺規作圖畫相等的角的依據和過程，本以為探究只是公開課的一個形式，當時由于時間關系，準備給學生一分鐘自己畫，結果試講時收到了“兩邊分別平行的角”、“對頂角”，“SAS”、“HL”甚至還有把圓規兩個角當做角的兩邊，直接移動得到的（如圖一）。通過這一環節也讓我感受到六年級學生學習幾何更多的憑借直觀和直覺，他們需要通過猜想和動手操作去獲得知識。

于是在備課中，我用幾何畫板讓學生通過觀察發現，猜想歸納。

在自主探究后，師生共同探究尺規作圖的依據和過程，我一共做了三個嘗試：

1.把畫相等的角這個新問題轉化為畫相等的線段：GE、GF、EF，利用我們已學過的知識來解決未知問題，難點是如何確定G點。（如圖二）

分析：①G點在以點E為圓心，長度為EG的這條弧線上;

②G點同時也在以點F為圓心，長度為FG的這條弧線上.

這兩條弧線的交點就是E點.

這種方法作出的角一定和原來的角相等.它的原理我們在以后會學到，有興趣的同學可以提前研究一下。這種方法作出的角一定和原來的角相等.它的原理我們在以后會學到，有興趣的同學可以提前研究一下.但是要畫三條長度不同的線段比較麻煩，我們在作圖時可以取GE=EF，簡化作圖過程。老師在黑板上尺規作圖，并口述作法。

這個說法看上去在講道理，其實講的道理學生較難理解。再反觀學生的動手操作過程，他們更喜歡用直尺，而不知道圓規可以干嘛，角是有公共頂點的兩條射線，那他們怎么會想到用圓規在角上畫弧呢。備課組又經過討論，覺得畫弧就是角的始邊上一個點繞著頂點旋轉走過的路徑，我反復旋轉著發現這樣就像量角器的半圓弧，想到用類比量角器畫角。

2.我們從角的動態概念來看，角是一條射線繞著它的端點旋轉到另一個位置所成的圖形。始邊在零刻度數的點E繞著頂點旋轉到終邊上的刻度數點F，在旋轉過程中，形成以頂點為圓心，GE為半徑的弧，這個圓弧就像我們量角時第一次擺放的對中，對邊的量角器。在畫角的時候這條弧上的的刻度數處描出點N，就可以畫出相等的角。那么在沒有刻度的情況下，我們如何找到點N呢？學生通過幾何畫板動態演示，可以直觀感受到隨著∠α大小的變化，弧EF的長度也隨之變化。可以用圓規量取EF，以M為圓心EF為半徑作弧，就可以找到點N的位置。聯結EF，可以通過EF的長度來確定角的大小，因此我們把畫相等的角轉化為畫相等的線段。（如圖三）

這個說法把量角器為什么是個半圓弧都解釋清楚了，看似沒有問題，可是從頭到尾，就是老師一個在演示和講，學生除了能感覺出EF的大小和角度有關系之外，沒有感覺到量角器畫和尺規畫法的類比關系，會畫的孩子不到1/3。

3.隨著備課的深入，再次回到孩子的年齡特征和認知水平上來，把問題拋給孩子，而且需要層層遞進，從“特殊”到“一般”。用量角器畫角的時候在這條弧上的的刻度數處描出點N，就可以能確定OB的位置了。（如圖四）

問題：1：如果量角器上沒有刻度怎么來解決問題？

問題2：那現在量角器也沒有了，那怎么辦？

學生會馬上想到沒有刻度我就在弧上做個標記，弧也沒有了我就造個弧，就能做標記了。

問題3：點怎么找，如何保證兩個角的大小一樣？用什么工具？

這時用幾何畫板讓他們感受下EF之間的距離與∠α的大小有關，而截取EF就是之前的畫線段的方法。因此我們用圓規作圓弧代替量角器，用圓規度量兩點間的距離，保證了兩個角的大小一樣。

拋出這三個問題后，我突然又想到，畫相等的線段的度量法和尺規畫法不也可以這樣講嗎？相等的線段怎么畫？先畫一條射線，再用刻度尺度量，然后在射線上截取。刻度尺沒有刻度怎么辦，在尺的一邊上標點，再射線上找到另一個端點。那不用尺可以嗎？我們可以用什么工具來代替找到端點呢？提出這樣的問題，不是讓學生在學習畫圖方法的過程中，也學會解決問題的方法了嗎？（如圖五）另外，在角的兩種畫法學習中，逐步使學生學會口頭表達，不斷規范幾何語言，在練習中滲透分類討論思想，也是為下一節角的和差倍做鋪墊。

從剛開始備課認為2種畫角的方法是割裂開的，在通過不斷的磨課，不斷反思中發現在這個單元教學的內容中，線段和角的各種類比，概念、大小比較、畫法、和差倍分，甚至還能夠把度量法與尺規作圖做類比學習，有利于以后在設計時對這些碎片化的知識更系統整體的教學。還發現明確這個單元的教學目標，對于知識點怎么講，講到什么程度會更明確，有利于在每一階段的學習更有層次性。

（作者單位：同濟大學附屬七一中學）