數形結合思想在高考真題解題教學中的實踐

毛正燕

我國大數學家華羅庚先生曾說：“數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。”此言一針見血地點出了“數形結合”的重要性，也簡明而深刻地闡釋了“數”與“形”的內在關系。作為高中數學中最基本的數學思想之一，數形結合在很多高考真題中有著重要應用。本文擬先對高中階段數學結合思想作簡要概述，而后結合2018貴州省考卷（即2018全國卷3）中的典型題例探討數學結合思想的具體應用，希望對相關教學工作者有所啟示。

一、 高中數學數形結合思想簡述

所謂數形結合，概括來說即為按照數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來順利解決問題，其作用和優勢主要是在于通過“以形助數，以數解形”簡化較為復雜的思維量和運算量較大的問題，從而大大提高解題效率和正確率。通常來說，在高中數學解題中涉及數形結合的情形主要包括：包含實數與數軸上的點的對應關系；包含函數與圖像的對應關系；包含曲線與方程的對應關系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念如復數、三角函數等；所給的等式或代數式的結構含有明顯意義。在日常教學中，教師要注重培養學生靈活應用數形結合思想的能力，在解題過程中做到“胸中有圖，見數想圖”，最終順利而高效地得到正確答案。以下我們結合高考題例對此進行較為具體的探討。

二、例談數形結合思想高考真題解題中的應用

例1：函數f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零點個數為（ ）。

該題為2018理科全國卷3中的第15題，難度不大，但較具典型性，主要考察三角函數圖像性質與函數零點問題的結合。在不同的解法中，除了數形結合思想外，也體現了方程思想、換元轉化思想、方程思想。我們先來看該題的三種基本解法：

解法一：取點作圖，畫出函數f（x）=cos（3x+π/6）的圖像然后觀察和分析[0，π]的零點個數，該解法突出體現數形結合思想，也是最容易想到的方法。根據下圖可以很容易得出[0，π]的零點個數為3個。

解法二：先換元，設3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通過y=cost的圖像易知，當t=π/2，3π/2，5π/2時，cost=0，即f（x）有三個零點。該解法通過換元轉化的方式利用了基本三角函數y=cost的圖像，思路上有一定的技巧性，運算量與解法一中的取點作圖相比大致相當。

解法三：根據題意，可由cos（3x+π/6）=0得到3x+π/6=π/2+kπ（k∈Z）。故x=π/9+kπ/3（k∈Z），當k=0時，x=π/9；當k=1時，x=4π/9；當k=2時，x=7π/9，均滿足題意，故函數f（x）在[0，π]上的有三個零點。該解法運用了方程思想，直接求出函數在定義域內的零點，而后在[0，π]上確定零點的個數。

縱觀上述三種解法，解法一和解法二均是以數形結合思想為基礎，解法三更側重于方程思想和數據運算，但從根本上仍不脫數形結合之藩籬，這是題目本身的特征決定的。綜合來說，三種解法都屬于較有代表性的解法，在講解該題時，教師要注重剖析數形結合思想在解題中所起的關鍵性作用，并強調相關的易錯點，即取點作圖技能掌握不到位，不能正確畫出函數的圖像；對基本余弦函數的圖像及性質掌握不熟悉。不知道如何確定其零點。

此外，要注意函數零點問題的總結。函數零點是溝通函數、方程、圖像的常見媒介，以其交匯點的問題往往需要合理地應用數形結合思想才能順利解答，再有就是正余弦函數及y=Asin（ωx+ψ）+k的圖像及性質，要求學生熟練掌握，這是在相關題目中運用數形結合思想的基礎條件。

題例2：設函數f（x）=|2x+1|+|x-1|.

（1）畫出y=f（x）的圖像；

（2）當x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。

該題是選考題中的第二道題即23題，實際上難度較小屬于中檔題，該題第二問的解答是基于第一問中畫出的圖像，較為突出體現了數形結合思想的運用。值得一提的是，第一問運用了基本的分類討論思想（對定義域進行分類討論），其設計實際上降低了該題的綜合難度，因為該問構成解答第二問的基礎，相當于一個明確的指引。這也啟示我們，在解答類似題目時，即使題目的設問沒有明確的指引，亦應當首先根據題意深入分析，若有需要即畫出函數的圖像，事實上，這也是運用數形結合的必要和常用手段之一。該題的具體解答過程如下：

解答：（1）f（x）=|2x+1|+|x-1|可變形為：f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1）。其圖像如右圖所示。

（2）根據第一問可知，y=f（x）的圖像與y軸交點的縱坐標為2，且各段圖像所在直線的斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5。

三、結語

本文首先簡要介紹了高中數學數形結合思想，而后結合高考典型題例探討了其具體應用。鑒于數形結合思想在高中數學解題中的重要應用，教師應給予其足夠重視，并在日常教學中有意識地培養學生靈活運用該思想解題的能力，在使學生切實掌握其內涵和運用方式的基礎上多引入一些較為典型的高考真題，使學生在有效的練習過程中獲得感悟，實現質的升華。當然，數形結合思想在高考真題解題教學中的研究與實踐是一個兼具深度和廣度的課題，需要一線教師在教學實踐中不斷積極探索和總結，本文拋磚引玉，尚盼方家指教。

注：本文為安順市教育科學規劃一般課題“農村高中校本課程的開發與實踐研究——以安順市西秀區高級中學‘高中數形結合’為例”（課題編號：AS2017B017）成果。

（責編 孟 飛）