合理布置數學課外作業的策略研究

【摘 要】 數學學科知識本身高度抽象性的特點，使部分學生對某個具體數學知識點的理解，很難在課堂的有限時間內一次性達到相應的目標，需要利用課外時間加以理解與鞏固。因此，數學教學一般都特別重視學生的課外作業訓練。教師可以采用循序漸進、個性指導、分層要求、分類提示、留有余地、課內課外相結合等策略，進一步發揮數學課外作業的價值。

【關鍵詞】 數學課堂教學；數學課外作業；布置作業策略

【作者簡介】 張昆，中學高級教師，現供職于淮北師范大學數學科學學院，安徽省淮北市第一中學（兼職），主要研究方向為數學教學論、數學課程論、數學教育哲學、數學史等。

一、問題的提出

學生在學習數學時，及時地、恰當地做一定量的數學課外作業是必不可少的環節。這是因為：第一，有的學生在寶貴的、有限的課內時間，鞏固剛剛學習的數學知識點及解決具體問題，對知識點的某些關鍵性特征、本質結構，難以做到準確熟練地把握。第二，在課堂上，有的學生不容易及時地將新知識納入已有的知識結構，形成新的知識結構體系，從而內化為自己數學學習的經驗，需要在課后有一個醞釀、消化、吸收與積累的過程。第三，完善學生的認知結構。學生的認知結構是在數學認識活動過程中實現的，它能夠促使學生學習與思考數學材料，這對學生產生新的數學認知結構起著非常重要的輔助作用。這三點都需要教師通過科學地布置數學課外作業來解決。

在教學實際中，數學教育工作者、學校領導、家長與學生都從各自的視角出發，認為數學課外作業是數學教學活動整體結構中不可或缺的組成環節。教師在上課時，一般都會依據教學要求向學生布置一定數量的數學課外作業。筆者研讀了數篇有關布置數學課外作業的教學論文發現，這些論文的主旨有兩個方面：其一，介紹教師布置數學課外作業的經驗[1]；其二，重在研究布置作業與提高學生學習成績（主要體現在考試分數上）之間的關系[2]。有的數學教師認為，布置數學課外作業是學生學習數學的一個必要的環節。他們著重從經驗的視角，闡述科學合理布置數學課外作業與提高學生的學習成績正相關的結論。然而，筆者通過大量觀察教師布置數學課外作業的現象，深入思考這些相關的結論后發現，有幾個要素能說明這些研究不足以為我們的以下結論提供依據。

第一，數學教師在課堂上傳授新數學知識（新授課），在促進學生鞏固新數學知識后，其所布置的數學課外作業，可能影響學生對數學課外作業教學價值的評價與衡量。如果教師認為布置數學課外作業是課堂教學的一種形式化程序的需要，數學課外作業內容的質與量不能恰當地促進學生對所學習的數學知識點的理解、掌握與鞏固，不能針對學生學習具體的數學知識的心理特點，那么，數學課外作業對學生學習具體數學知識點的有效性就會幫助甚微，甚至有可能浪費了學生的課外學習時間，干擾學生正常理解這個具體的知識點。如此，教師布置數學課外作業是沒有多大意義的。

第二，教師、家長與學生對待數學課外作業的態度也會影響他們對數學課外作業價值的評價與衡量。如果學生認為布置數學課外作業沒有多大意義，特別是對于提高自己的學習成績（考試的分數）沒有幫助，那么，教師布置數學課外作業對學生學習數學知識也不會產生較好的效果。同樣，如果教師沒有充分認識到數學課外作業在促進學生理解數學知識結構方面的價值，不以認真的態度對待所要布置的數學課外作業，并且不認真批閱學生的作業，對學生的作業完成情況不加以收集、整理、評價、進行個別指導或集體訂正，那么，這也會潛移默化地影響學生及家長對待課外作業的態度，使學生或家長對待課外作業敷衍塞責、馬虎了事。

第三，教師要求學生在規定的時間內以某種方式完成數學課外作業，而學生通過何種途徑完成這些數學課外作業是教師無法直接掌控的。此時，數學課外作業的價值可以發揮的程度對于教師來說是無法確定的，教師必須思考如何促使學生在有限的時間內有效地完成所布置的課外作業。這就要求數學教師合理安排課外作業，形成計劃性，通過間接手段適當地引導學生完成課外作業。

這些情形都有可能對課外作業所能實現的教學價值產生負面影響。那么，從前述的分析結論中，我們可以提出這樣的問題：在數學教學活動過程中，教師應該通過什么方法，才能科學合理地布置數學課外作業，從而發揮數學課外作業的教學價值？這里首先從合理布置數學課外作業的意義說起。

二、合理布置數學課外作業的意義

為了探討合理布置數學課外作業的意義與作用，我們先設定合理布置數學課外作業對于學生學習數學知識的效率與效果是一項有價值的、有意義的活動（將它看作一個不證自明的公理），并且數學教師能夠采用幾種有效的手段，促使數學課外作業對學生學習數學知識產生良好的效果，從而能比較好地發揮數學課外作業的教學價值。

第一，數學教師應該將要布置的數學課外作業的任務納入教學計劃，在備課時就要同其他的教學環節與要素結合在一起進行整體考慮，統一安排，而不是上完一節教授新知識點的課后，臨時抱佛腳地布置當天的課外作業。一旦將布置數學課外作業的任務納入教學計劃之中，數學教師就會將其作為教學計劃活動與事后評價反思活動的一個組成部分，并且會自覺地依據某個數學知識點的教學目的，對數學課外作業的內容層次與數量進行選擇與決定。如此，教師通過布置數學課外作業，在大多數情況下能有效達成教學任務與教學目標。

第二，有的數學教師認為，學習數學技能、技巧的最佳途徑是實踐。學生對某個具體數學知識點的認識，在課堂上會花去一定的時間，但是，它也是教師實施課堂教學的重頭戲，如此就剝奪了學生在課堂上練習數學技能所必需的時間。因此，要提高學生的認知、理解、掌握與應用數學知識的技能和水平，一種有效的手段就是布置學生能完成的數學課外作業，促使學生達到提高數學技能的目的。學生完成教師合理布置的數學課外作業，可以加強對這些數學技能的記憶與運用，通過分析、綜合、評價數學概念與數學原理的練習，積累學習數學等多方面的經驗。在教師為學生準備的隨堂小測驗、平時考試與某些關鍵性考試（如中考、高考）中，有的教師認為，數學課外作業是保證學生數學復習的一種有效途徑。數學課外作業還能為組織課前預習，使學生對下一次數學課堂上教師將要講授的學習內容做好鋪墊。

第三，就數學課外作業的內容與形式來說，作業未必是千篇一律的書面作業。由于數學教師在課堂上施教的時間主要用于講授新知識與解答學生在課堂學習中遇到的問題，因而很少能夠在課堂上找到額外的時間開展以學生活動為主體的數學實驗活動。而許多數學實驗活動是非常有價值的，比如能夠提高學生的數學學習興趣、發現某些有價值的數學結論等。這些實驗活動往往對素材與學習用具的要求不高，可以就地取材，只需要紙張、筆、計算器、普通玩具等就可以實現。有時候，教師可以鼓勵學生制作某些抽象的數學概念或數學原理的具體表現物，這些都可以通過教師布置數學課外作業的方式來完成。

第四，數學課外作業的一個非常重要的功能，是診斷學生數學學習效果的工具與窗口。當前的課堂，數學教師往往要同時管理四五十名學生的數學學習活動，沒有多少時間可以用來對某個學生進行單獨考查與幫助。教師布置課外作業，要求學生使用剛學習的數學知識去完成，然后通過評閱，就能了解與掌握每個學生的學習狀況，判斷每個學生在學習具體的數學知識時所面臨的困難，從而考慮個性化的補救措施。因此，在日常教學活動中，許多數學教師都將數學課外作業作為評價與衡量學生完成數學任務情況的主要方法。教師在課后抽出時間評閱、批改學生的數學課外作業，可以寫評語，還可以單獨找個別學生交流，學生獲得教師的個別幫助并從中受益，教師也可以從中受益，這正是教學相長的具體體現，這些在課堂上也是不容易實現的。

總之，合理布置數學課外作業是課堂教學活動非常重要的一環，它能幫助學生真正理解、鞏固與掌握數學知識結構，形成獨立學習數學的能力，培養解決數學問題的技能，從而更好地完善教師的施教行為與學生的學習行為，最終決定課堂上教師的教與學生的學的效果。因此，數學教師應該對布置數學課外作業保持足夠的重視，以發揮數學課外作業的教學價值。

三、合理布置數學課外作業對教師的技術要求

數學教師在課堂上向學生布置數學課外作業的方法，具有正誤之分與優劣之別，這就對教師布置數學課外作業提出了相應的技術性要求。例如，有些教師在布置數學課堂作業時沒有經過備課的計劃性安排，他們有時直到一節課的下課鈴響起，才匆忙地翻教科書，尋找教科書上的習題，眼睛一瞥，就不假思索地說“做某頁的單號題”。這種布置課外作業的行為不利于發揮數學課外作業的教學價值。如果教師對于自己向學生布置數學課外作業都如此輕率，就會與要求學生重視自己布置的課外作業的愿望背道而馳。如果教師在備課時有充分的計劃與準備，通過仔細地思考與選擇，合理布置數學課外作業，并且認真地評閱與批改，隨著時間的推移，學生就會潛移默化地體會到數學課外作業對數學學習的重要性，重視與尊重教師所布置的數學課外作業，在完成數學課外作業任務的過程中，始終保持認真與敬畏的態度，這對發揮數學課外作業的教學價值大有裨益。

因此，合理布置數學課外作業對教師提出了幾項教學技術性較高的要求：第一，教師要精心選擇作業題，最好對教科書所提供的每一道題都親自動手解答，從而針對學生剛剛學習過的知識點與難易程度，相應地在布置數學課外作業的題型選擇與數量方面，做到心中有數。經驗表明，成績一般的學生在完成某道作業題上所花費的時間是教師的三倍。第二，教師在布置數學課外作業之前，基于解答數學作業題的經歷與經驗，需要適當的、具有針對性的鋪墊、渲染，以及恰到好處的提示，以此引發學生對課外作業的高度關注。第三，應盡可能地陳述清楚這節課布置這些數學課外作業的緣由（題目的類型與數量）。第四，對于成績一般的學生來說，比較難的作業題，教師應該從功能上專門加以提示，解釋如何完成本次課外作業。第五，必要時，教師應要求學生何時完成本次作業，以什么形式或格式來完成本次作業。第六，在備課時，教師要在課堂上留有時間，用以回答學生就本次數學課外作業在課堂上向教師提出的問題，并且教師應力求對學生的問題進行恰當說明，必要時，需要做出適當的調整與修正。

要使數學課外作業利于達成相應的教育與教學目的，以上這些技術性要求是必不可少的。教師要認真分析與思考這六個要求，將它們關聯與整合起來，使自己布置的數學課外作業科學而合理。此外，教師需要處理好教科書的作業題量、學生學習某個具體知識點的情況、學生可能抽出的完成數學課外作業的時間量、學生對數學課外作業價值的認識所形成的態度等要素之間的關系，從而將這些要素整合起來，并且思考這些整合起來的要素，找到它們之間的某種程度上的平衡，確定向學生布置的具體作業題，如此才能最大限度地發揮數學課外作業的教學價值。

四、合理布置數學課外作業的實踐策略

筆者從長期的數學教學實踐中認識到，要發揮數學課外作業的教學價值，實現合理布置數學課外作業的目的，教師就應該考慮布置數學課外作業的某些專門方法與事項。這些專門的方法與事項構成了布置數學課外作業的實踐策略。有些策略可能對教師每一次數學課外作業的布置都適用，另外的一些策略可能只是針對某些具體類型的數學課外作業有效。筆者在實踐中總結了布置數學課外作業的主要策略，具體如下。

第一，循序漸進的策略。教師每次布置數學課外作業時，除了自己通過做每一道作業題獲得具體的解題過程，還可以基于此，在布置作業前安排每個學生能完成的具體題目，題目的排序最好從易到難。原因是，如果某個學生不能在有限的時間內順利地完成排列在前面的作業題，那么對于后面的作業題，學生可能就會失去繼續做下去的意愿與心理內驅力，繼而不想再認真地做下去。對于循序漸進的策略，有一點需要教師特別注意，就是同種類型的題目不要重復三次，以免浪費學生完成課外作業的寶貴時間。

第二，個性指導的策略。教師應該有意識地在課堂上抽出時間，有針對性地鼓勵某些學生在課堂上開始做由教師指定的某些作業題。如此，教師就有可能了解某些學生在課外完成數學作業時可能出現的困難，因而能夠在布置作業時進行個性化的、具有針對性的提示與指導，從而避免學生在課外獨立完成這些作業時遇到克服不了的困難，而這樣的困難是學生產生厭學情緒的重要因素。

第三，分層要求的策略。教師應該依據自己的觀察或經驗，掌握學生以前在學習某個具體數學知識點時的不同能力與水平，甚至不同的興趣與動機水平，掌握分層布置數學課外作業的方法。比如基礎題要求每個學生都必須做，而對于在基礎題上附加的選擇性作業題，學生可選做。如此可以達到以下幾個目的：首先，保證學生通過完成課外作業，鞏固課堂上所學習的數學知識點；其次，使學有余力的學生通過完成附加題的作業，鞏固與完善自己的數學認知結構；最后，利用學生的競爭意識，促使即使是成績一般的學生，也渴望力所能及地完成附加題，從而獲得情感的滿足。

第四，分類提示的策略。在備課時，教師通過提前做要布置的數學課外作業題，體悟學生在有限課外時間里可能面臨的具體難度，對所布置的數學課外作業分類采取恰當的提示和建議，對某些類型的作業題可以給出答案，以便學生對自己得到的結果進行核對，從而通過重新思考、反思而自行修正，獲得更大的教益。

第五，留有余地的策略。教師應布置一些不固定的數學課外作業（或者是沒有固定標準答案的開放型作業題），使每個學生根據自己的時間，基于自己的不同興趣、動機與不同的數學技能、能力水平，自主解答課外作業。如此，可以保證學生對同一道作業題都做而有得，不會被作業所困住，從而失去學習數學的興趣與動機。

第六，課內課外相結合的策略。教師在備課時，要能夠針對具體學生的不同情況做出相應的教學計劃，將課內作業與課外作業進行整體考慮與衡量，使這兩者在作業內容、題型與做作業的時間上相輔相成、相得益彰，形成合力，從而通過完成作業最大限度地鞏固所學習的數學內容，實現課上課下的教與學的有效結合。

要注意的是，在實際教學活動中，對于布置數學課外作業的策略，教師必須關聯性地使用。當然，也不排除某些策略特別適合學生學習某些具有特定結構的數學知識。因此，在課堂教學中，教師可以以某一策略為主，而輔之以其他策略。

策略只是手段而非目的，因此，教師選擇布置課外作業的策略，需要考慮具體數學知識所蘊含的教學價值，由此生成教學目的，而不是布置任何一次數學課外作業都要使用這里列出來的所有策略。

五、結語

由于數學學科知識本身具有高度抽象性的特點，學生真正對某個具體數學知識點的理解很難在課堂上的有限時間內達到一次到位的程度，必須利用課外時間加以理解與鞏固。因此，數學教學一般都特別重視學生的課外作業訓練。課外作業訓練在數學教學中占據了大量的時間，耗費了師生的很多精力，但實際效果并不十分理想[3]。可以說，數學課外作業有效性的問題，在數學教學中表現得最為突出和典型。如此，數學教師合理布置數學課外作業的技術性要求與策略，對于發揮數學課外作業的價值，將被置于突出的位置。

參考文獻：

[1]劉習洪. 科學合理地布置數學作業要做到“四性”[J]. 生活教育，2015（20）：52-53.

[2]鄧貢書. 科學合理布置初中數學作業[J]. 廣西教育，2016（17）：104.

[3]許曉蓮. 高中數學作業有效性問題研究[D]. 武漢：華中師范大學， 2015.