基于擬連續(xù)高階滑模方法的AGC系統(tǒng)控制

楊玉杰 范其明 呂書豪

1(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院 天津 300222)2(天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)智能制造學(xué)院 天津 300350)3(河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院 天津 300131)

0 引 言

厚度精度作為重要的質(zhì)量指標(biāo)，在冶金行業(yè)，板帶厚度控制技術(shù)已成為國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)。AGC系統(tǒng)是板帶厚度控制系統(tǒng)的重要組成部分，在保持板帶出口厚度精度方面起著重要作用。在AGC系統(tǒng)中，出口厚度的閉環(huán)控制采用安裝在出口處的測厚儀來實(shí)現(xiàn)，AGC系統(tǒng)的最終目標(biāo)是使期望厚度跟隨目標(biāo)值。

但AGC系統(tǒng)存在不確定因素、外界干擾及板帶軋機(jī)結(jié)構(gòu)的損耗等問題，這可能導(dǎo)致AGC系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能下降，同時魯棒性也會更差[1]。為此，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了一系列的研究工作[2]。研究發(fā)現(xiàn)滑模控制具有優(yōu)良的魯棒性，它可以基于當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)改變控制器的結(jié)構(gòu)[3]。在航天、化工和冶金工業(yè)中，滑模控制取得了良好的效果。在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，系統(tǒng)的滯后問題是被忽略的。如果滑模變結(jié)構(gòu)控制用于滯后系統(tǒng)中，那么振蕩現(xiàn)象將在系統(tǒng)中發(fā)生[4]。

本文從工程角度出發(fā)，將采用擬連續(xù)高階滑模變結(jié)構(gòu)控制進(jìn)行AGC系統(tǒng)控制，該方法可以在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的同時，極大地削弱抖振，實(shí)現(xiàn)任意階控制，具有強(qiáng)魯棒性。

1 AGC控制系統(tǒng)模型描述

板帶厚度控制系統(tǒng)是雙閉環(huán)系統(tǒng)，其中內(nèi)環(huán)為液壓伺服位置系統(tǒng)，它主要由位置控制器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)和軋機(jī)輥系構(gòu)成，執(zhí)行機(jī)構(gòu)主要包括電液伺服閥和液壓缸部分，軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)是軋機(jī)厚度控制的核心部分，它可以通過比較給定和實(shí)際位置的偏差，計算其壓下位置，調(diào)整工作輥的輥縫。外環(huán)為AGC系統(tǒng)，它主要由厚度控制器和遲滯環(huán)節(jié)構(gòu)成。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。hr為期望厚度值(m)，h為厚度實(shí)際值(m)，eh為厚度誤差值(m)，ug為AGC系統(tǒng)中擬連續(xù)高階滑模控制器輸出(V)，xp為位置實(shí)際值(m)，e為位置誤差值(m)，up為液壓伺服位置控制輸出(V)。

1.1 電液伺服閥

在軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)中，核心電控元件最廣泛的是電液伺服閥，根據(jù)電液伺服閥原理可知，伺服閥輸入是電流信號，輸出是流量。假設(shè)伺服閥結(jié)構(gòu)和工作節(jié)流口是匹配且對稱的，也就是Ps=P1+P2(P1和P2是液壓缸兩腔的壓力(MPa)。

(1)

(2)

考慮到研究中使用的伺服閥的響應(yīng)特性比執(zhí)行器的運(yùn)行頻帶高得多，伺服閥的閥芯位移和控制器輸出的關(guān)系可以表示為：

xv=kxvup

(3)

式中:kxv是伺服閥增益(m/V)，up是控制器輸出(V)。

Q1=γR1up

(4)

Q2=γR2up

(5)

1.2 液壓缸流量連續(xù)性方程

液壓缸是液壓伺服位置系統(tǒng)的執(zhí)行部件，通過電液伺服閥調(diào)節(jié)出的流量流入液壓缸內(nèi)，驅(qū)動活塞運(yùn)動，進(jìn)而把液體的壓力能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能[5]。

當(dāng)液壓缸發(fā)生移動時，其液壓缸內(nèi)無桿腔體積與有桿腔體積可以表示為：

V1(t)=V10+A1xp

(6)

V2(t)=V20-A2xp

(7)

式中:A1為液壓缸無桿腔的有效面積(m2)，A2為液壓缸有桿腔的有效面積(m2)，xp為活塞移動的距離(增/減相對應(yīng)于軋機(jī)輥縫的減/增)(m)，V1(t)活塞無桿腔的總控制體積(m3)，V2(t)是活塞有桿腔的總控制體積(m3)，V10和V20是兩腔的初始控制體積(m3)。

由于液壓缸存在內(nèi)外泄漏情況，則液壓缸流量方程可以表示為：

(8)

(9)

式中:βe表示有效彈性模量(MPa)，Q1和Q2分別是流入無桿腔和流出有桿腔的流量(m3)，Ct是執(zhí)行器的內(nèi)部泄漏系數(shù)(m5/(N·S))，Cte是執(zhí)行器的外部泄漏系數(shù)(m5/(N·S))。

1.3 軋機(jī)輥系

在軋制過程中，下輥系可以認(rèn)為是固定不動的，液壓缸驅(qū)動上輥系移動，完成輥縫的調(diào)節(jié)[6]。不考慮庫倫摩擦等非線性負(fù)載和油液本身質(zhì)量，由牛頓第二定律得液壓缸力平衡方程：

(10)

1.4 AGC系統(tǒng)被控對象模型

(11)

2 控制器設(shè)計

當(dāng)控制系統(tǒng)存在不確定因素及干擾的情況下，在基于軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)上，對軋機(jī)進(jìn)行厚度控制。本節(jié)所研究的被控對象的相對階是4，故將擬連續(xù)高階滑模控制的方法應(yīng)用在軋機(jī)AGC系統(tǒng)上。控制系統(tǒng)的設(shè)計流程將分為以下幾個步驟進(jìn)行：AGC系統(tǒng)控制方法、策略分析、控制器設(shè)計和穩(wěn)定性證明。

2.1 擬連續(xù)高階滑模控制

Levant在傳統(tǒng)滑模和高階滑模的基礎(chǔ)上，提出了在一定時間內(nèi)收斂的控制方法，該方法可以實(shí)現(xiàn)任意階控制，并首次提出了擬連續(xù)高階滑模控制(Quasi-continuous High Order Sliding Mode，QCHOSM)。DCHOSM是一種隨著時間而收斂的控制器，可以實(shí)現(xiàn)任意相對階的控制系統(tǒng)，具有強(qiáng)魯棒性和收斂時間快等特點(diǎn)。

2.1.1問題描述

對于單輸入系統(tǒng)，滑模面s(t,x)=0的相對階為r，它的控制目標(biāo)是在一定的時間內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)可以收斂到滑模面附近，也就是s(t,x)=0。并且系統(tǒng)在有限的時間到達(dá)滑模集：

(12)

(13)

設(shè)已知系統(tǒng)的相對階是r，則：

s(r)=h(t,x)+g(t,x)u

(14)

(15)

s(r)∈[-C,C]+[Km,KM]u

(16)

因此，r階滑模控制的含義為：利用滑模面s，設(shè)計出滑模控制器，控制器輸出量可以保證系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定在滑模集s(r)上。

2.1.2有限時間收斂任意階滑模控制算法

Levant提出有限時間內(nèi)收斂任意階滑模控制算法，對于系統(tǒng)(12)相對階是r，并且滿足式(15)。對于任意階Lebesgue可測有界控制，如果系統(tǒng)(12)的運(yùn)行軌跡在時間上無限擴(kuò)展，參數(shù)β1,β2,…,βr-1為正數(shù)，k取合適的值時，系統(tǒng)控制律可以表示為：

(17)

式(17)可以保證系統(tǒng)可以在有限的時間內(nèi)收斂到r階滑模，其響應(yīng)的時間是初始條件的局部有界函數(shù)。

2.2 AGC系統(tǒng)控制策略分析

AGC系統(tǒng)控制器是軋機(jī)厚度控制的外環(huán)，當(dāng)軋機(jī)剛啟動時，AGC系統(tǒng)控制器處于飽和狀態(tài)，此時主要是液壓伺服系統(tǒng)起作用。當(dāng)軋機(jī)運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)時，液壓伺服系統(tǒng)就變成了跟隨系統(tǒng)，也就是作為AGC系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在，故采用厚度跟蹤策略：根據(jù)給定厚度的變化，調(diào)整液壓伺服位置系統(tǒng)的輥縫量，在一定的時間內(nèi)，使負(fù)載準(zhǔn)確地跟蹤給定的厚度，獲得最高的利用率，從而提高軋機(jī)AGC系統(tǒng)的性能。AGC系統(tǒng)控制方案如圖2所示。

圖2 AGC系統(tǒng)控制方案

圖2中，hr為厚度期望值(m)，h為厚度實(shí)際值(m)，eh為厚度誤差值(m)，ug為AGC系統(tǒng)中擬連續(xù)高階滑模控制器輸出(V)。

2.3 基于擬連續(xù)四階滑模方法的穩(wěn)定控制器設(shè)計

軋機(jī)的AGC控制問題可以描述是設(shè)計外環(huán)控制器ug，使模型式(11)在參數(shù)不確定及干擾的情況下，可以讓板帶出口厚度h能夠在有限的時間內(nèi)穩(wěn)定地跟蹤給定厚度hr，跟蹤誤差可以表示為eh=hr-h。

在eh=hr-h跟蹤誤差的基礎(chǔ)上，設(shè)計滑模面，通過設(shè)計含有積分環(huán)節(jié)的滑模面來消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，積分滑模面的表達(dá)式可以表示為：

(18)

式中:n表示系統(tǒng)的相對階，α為正整數(shù)。

根據(jù)式(18)可知，系統(tǒng)相對階為2的滑模面可以表示為：

(19)

(20)

然后對式(19)求導(dǎo)，可以得到滑模面的一階至四階導(dǎo)數(shù)：

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(21)代入式(24)：

(25)

式中:Ω可以表示為：

設(shè)計四階滑模面為：

(26)

式中：α1、β1、γ1和η1都是常數(shù),并且α1>0、β1>0、γ1>0、η1>0。對式(26)滑模面求導(dǎo)后，然后將式(25)代入可得：

A3ug+Δ

(27)

通過引入虛擬控制U，減小滑模控制產(chǎn)生的抖振問題，使U=A3ug，對于軋機(jī)AGC系統(tǒng)中存在不確定因素及擾動的情況下，滑模控制律等于等效控制律和切換控制律之和，控制律可以表示為:

U=Ueq+US

(28)

式中:Ueq為滑模等效控制率，US為滑模切換控制率。

系統(tǒng)在該控制率的作用下，式(27)和式(28)中的滑模面以及它的導(dǎo)數(shù)會在有限的時間內(nèi)收斂到ε的鄰域范圍內(nèi)，其中ε可以任意小。另外，s和S的各階導(dǎo)數(shù)及eh均以指數(shù)形式收斂。

式(28)中，等效控制率Ueq可以表示為：

(29)

切換控制率US為四階擬連續(xù)滑模控制器，對系統(tǒng)不確定性因素及干擾進(jìn)行魯棒控制，它可以表示為[9]：

(30)

式中：k為切換控制器的比例系數(shù)。當(dāng)參數(shù)ε1=0時，滑模集可以表示為：

綜上所述，可得到軋機(jī)AGC的擬連續(xù)四階滑模控制器為：

(31)

3 穩(wěn)定性證明

(32)

(33)

假如系統(tǒng)不確定性及干擾是處于一個范圍內(nèi)的，即Δ有界，且滿足0<‖Δ‖

(34)

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所給出方案的有效性，本文采用MATLAB/SIMULINK對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，以某軋機(jī)AGC系統(tǒng)為例。仿真中的主要物理參數(shù)已在表1給出。

表1 軋機(jī)液壓伺服位置系統(tǒng)主要物理參數(shù)

在仿真過程中，控制器參數(shù)由仿真獲得：k=1，ε1=0.1，α=21，α1=0.5，β1=0.01，γ1=0.09和η1=0.5。由文獻(xiàn)[11]可知，傳統(tǒng)滑模控制器ug1可設(shè)計為：

(35)

式中：α3=710，β3=0.7，η3=2，η4=2.5，η5=0.1。

基于以上數(shù)據(jù)，對軋機(jī)AGC系統(tǒng)仿真，利用設(shè)計的擬連續(xù)四階滑模AGC控制器進(jìn)行驗(yàn)證，并將結(jié)果與傳統(tǒng)滑模控制器獲得的結(jié)果進(jìn)行比較。

假設(shè)板帶厚度期望值為1.2,單位是mm，初始條件,eh(0)=[1.2 0 0]T。仿真結(jié)果如圖3-圖4所示。

圖3 四階滑模和傳統(tǒng)滑模控制下板帶出口厚度誤差

由圖3可知，所設(shè)計的四階滑模AGC控制器能夠保證在一定的時間內(nèi)收斂到零的附近，實(shí)現(xiàn)精確的跟蹤期望厚度，并且可以克服干擾對系統(tǒng)的影響，具有強(qiáng)魯棒性。而傳統(tǒng)的傳統(tǒng)滑模不能有效減弱系統(tǒng)外界干擾對系統(tǒng)本身的影響，故傳統(tǒng)滑模的魯棒性弱于四階滑模控制。

圖4 四階滑模和傳統(tǒng)滑模控制下AGC控制器輸出

由圖4可以得出，傳統(tǒng)滑模控制器的輸出具有較大的振幅，這將對執(zhí)行器有著巨大的機(jī)械壓力。而四階滑模控制明顯減小了振幅，并且四階滑模控制器的輸出均方根明顯小于傳統(tǒng)滑模控制的輸出，可以在較短時間內(nèi)收斂。

通過對比圖3-圖4可知，當(dāng)期望信號為定值1.2 mm時，四階滑模控制下超調(diào)量為1.1%，調(diào)節(jié)時間為110 ms。在同樣的條件下，傳統(tǒng)滑模控制下超調(diào)量為7%，調(diào)節(jié)時間為700 ms。

為了更好地驗(yàn)證所設(shè)計控制器的性能，在500 ms時加入0.2 mm的階躍信號，其他條件不變，仿真結(jié)果如圖5-圖6所示。

圖5 階躍信號對板帶出口厚度誤差的影響

由圖5可知，考慮到階躍信號的存在，所設(shè)計的四階滑模AGC控制器依然能夠快速響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)精確的跟蹤期望厚度，可以克服階躍信號對系統(tǒng)的影響，具有強(qiáng)魯棒性。而傳統(tǒng)滑模不能有效減弱階躍信號對系統(tǒng)的影響，其動態(tài)性能與四階滑模相比有較大差距。

圖6 階躍信號對AGC控制器輸出的影響

由圖6可以得出，傳統(tǒng)滑模控制器會受到階躍信號和干擾信號的影響產(chǎn)生很大的抖振幅度，這將對執(zhí)行器有著巨大的機(jī)械壓力。而四階滑模控制明顯減小了振幅，可以在較短時間內(nèi)收斂，其動態(tài)性能更好。

通過對比圖5-圖6可知，在階躍信號影響下，四階滑模控制下超調(diào)量為1.2%，調(diào)節(jié)時間為100 ms。在同樣的條件下，傳統(tǒng)滑模控制下超調(diào)量為6%，調(diào)節(jié)時間為750 ms。

5 結(jié) 語

針對系統(tǒng)存在外部干擾的魯棒穩(wěn)定性問題，本文設(shè)計了基于擬連續(xù)高階滑模控制方法的厚度控制器，并對該控制器進(jìn)行了穩(wěn)定性證明。通過仿真驗(yàn)證，對于期望的厚度值，四階滑模控制器具有很強(qiáng)的魯棒性，并且易于控制，能夠減弱抖振。同時，軋機(jī)AGC系統(tǒng)可以更快、更好地跟蹤期望厚度，滿足現(xiàn)場對AGC系統(tǒng)的要求，具有一定的工程意義。