兩部件冷備系統可靠度的Bayes估計

李 玲 鮑志暉

（黃山學院 數學與統計學院，安徽 黃山 245041）

貯備系統有熱貯備 （貯備部件處于工作狀態）、溫貯備（貯備部件在貯備期間可能失效）和冷貯備（貯備部件在貯備期間不失效）之分，由于熱貯備系統中的部件均處于工作狀態，部件發生故障的可能性較溫貯備和冷貯備要高，故溫貯備和冷貯備能更有效地提高復雜系統的可靠性[1]。

文獻[2]針對冷貯備系統（以下簡稱冷備系統）的元件壽命均服從指數分布的情形進行了討論，給出了冷備系統的可靠度計算公式，但其假設指數分布中的失效率λ是已知的，而實際應用中λ通常是未知的，故需對λ進行估計，從而得到冷備系統可靠度的估計。

對于指數分布中失效率λ的估計方法較多，其中比較常用的是Bayes估計，通常需給出λ的先驗分布，然后通過截尾試驗數據修正后得出其后驗分布，此即Bayes方法[3]。由冷備系統的可靠度公式及λ的后驗分布，可得冷備系統可靠度的Bayes估計。

但是，在失效率λ的先驗分布中又往往存在著超參數，當超參數的值未知時，則需對該超參數進行估計。針對該問題，文獻[4]利用定時截尾試驗的失效數得出了超參數的矩估計，從而進一步得到冷備系統可靠度的經驗Bayes估計。但是對于超參數的矩估計有一個基本要求，即相合性，而相合性要求試驗的次數較多，故對于小樣本而言，該方法的精度相對較低。作為改進，文獻[5]針對超參數提出了極大似然估計的方法，由此得到的冷備系統可靠度的經驗Bayes估計在精度上較文獻[4]的估計量有所提高。

在參數估計理論中，當樣本量趨于無窮時，極大似然估計和Bayes估計的結果是趨于一致的，但是當樣本量有限時，Bayes估計的誤差比極大似然估計要小。有鑒于此，對于文獻[5]中超參數的極大似然估計，考慮將其改為再次利用Bayes估計。此時對于失效率λ以及λ的先驗分布中的超參數均考慮了采用Bayes估計，此即多層Bayes估計方法[6]。以下應用該方法來解決冷備系統可靠度的估計問題。

文中所研究的兩部件冷備系統可靠度的Bayes估計及多層Bayes估計是在如下三個假定下進行的：

A1工作元件的壽命T1和貯備元件的壽命T2相互獨立，且均服從指數分布Exp（λ），此時可靠度均為 R0（t）=e-λt。

A2由于是冷備系統，故貯備元件在貯備期的失效率為零，即在貯備期內不發生失效。

A3工作元件和貯備元件間有一個轉換開關，轉換開關是完全可靠的，并且轉換是瞬間完成的，此時冷備系統的系統壽命T=T1+T2。

1 系統可靠度的Bayes估計

在上述假定下，該兩部件冷備系統的可靠度為：

設 λ 的先驗分布為 Exp（μ），即 π（λ）=μe-μλ，λ＞0。

設從分布為Exp（λ）的總體中抽取n個樣品進行定時截尾壽命試驗，截尾時間為t，試驗數據為 x1≤x2≤…xr≤t，記，x=（x1，x2，…，xr），則

即 λ 的后驗分布為：λ|x～Γ（r+1,μ+Δ）。

以下求系統可靠度R（t）的Bayes估計。

由 R（t）=（1+λt）e-λt及 λ 的后驗分布可得：

2 系統可靠度的多層Bayes估計

在前面的Bayes分析中，λ的先驗分布π（λ）=μe-μλ，λ＞0 中含有一個超參數 μ，有時無法根據經驗給出一個較為精確的μ，若給出的μ值與其真值出入較大，會使估計發生比較大的系統偏差。針對此種情況，采用多層Bayes估計方法，即先對超參數μ再設一個先驗分布。

對于超參數μ的無信息先驗分布，以下采用Bayes假設和Jeffreys先驗兩種方法分別予以討論。

2.1 Bayes假設

若可給出μ的一個范圍α＜μ＜β，除此之外無其他信息，則可假定μ服從區間（α，β）上的均勻分布 U（α，β），即，則 μ 的后驗分布為：

據全概率公式，有

則

2.2 Jeffreys先驗

利用Fisher信息陣可給出超參數μ的Jeffreys先驗分布[7]。

μ的似然函數為：

其對數似然函數為：

所對應的Fisher信息陣為：

從而可得μ的后驗分布為：

在平方損失函數下，μ的Bayes估計為：

3 數例分析

以下用模擬數據對上述討論的Bayes估計、多層Bayes估計進行演算，并對它們的精度進行比較。

設工作元件和貯備元件的壽命均服從指數分布 Exp（2×10-5），產生 100 個服從該分布的隨機數，模擬數據如下：

表1 指數分布模擬數據

根據公式（5）（11）（16）（1）分別計算冷備系統在不同時刻t的可靠度的Bayes估計、兩種不同先驗分布下的多層Bayes估計及相應的可靠度精確值，結果如表2所示，其中Bayes估計中取μ=3×104，取μ=3×105。

表2 系統可靠度估計值比較

表中選取了7個不同的截尾時間，據數值計算的結果，將冷備系統可靠度的Bayes估計、多層Bayes估計與相應的可靠度精確值作比較，可以得出如下結論。

結論1：對冷備系統的可靠度作Bayes估計，需給出超參數μ的值，此時估計的精度受超參數μ的取值影響較大。例如在本數例中，當分別取μ=3×104和μ=3×105時，從表2 的數值計算結果可以看出，所得冷備系統可靠度的Bayes估計值絕對誤差的差異較大，因此μ值的確定至關重要。而實際應用中很難根據經驗或主觀概率給出μ值，故需要對超參數μ作出估計。

結論2：對超參數μ也考慮采用Bayes估計，即得到冷備系統可靠度的多層Bayes估計。從數例的計算結果中可以看出，不論μ的先驗分布是Bayes假設還是Jeffreys先驗，多層Bayes估計的絕對誤差都比較穩定，其系統偏差相對也較小，整體來說多層Bayes估計在精度和穩定性上要優于Bayes估計。

結論3：在多層Bayes估計中，對超參數μ的先驗分布考慮了兩種方法，即Bayes假設和Jeffreys先驗，從表2中兩者絕對誤差的比較可以看出，當 r=6，14，26 時，的絕對誤差大于的絕對誤差，而當 r=35，50，61，65 時則相反，說明當產品的失效數較少時，采用Jeffreys先驗的多層Bayes估計在精度上要略高于采用Bayes假設（即以均勻分布作為超參數先驗分布）的多層Bayes估計；而當產品的失效數較多時，后者的精度反而要略高于前者。

4 結語

通過上述的理論推導和數例分析，說明建立在冷備系統可靠度的Bayes估計基礎上的多層Bayes估計具有一定的合理性和可操作性。究其原因：一方面，如果僅僅采用一層先驗，把握性往往不大，其導致的估計量的偏差有可能較大，而采用兩層先驗，可以降低估計的風險，因此采用多層Bayes估計是合理的。需要說明的是,理論上多層Bayes估計可以到三層或更多層，而實際應用中多于兩層先驗是很少見的。另一方面,在冷備系統可靠度的多層Bayes估計中，由于超參數往往沒有什么信息，而且難以觀察，因此欲用歷史經驗數據或者主觀概率來確定超參數是很困難的，此時對超參數采用無信息先驗作為第二層的先驗是合理的，并且即使第二層的先驗有一些偏差，其導致的最終估計量的偏差 （或者說錯誤結果的危害）也相對較小。

文中討論的是冷備系統中兩部件壽命均服從指數分布的情形，對于部件的壽命服從威布爾分布、對數正態分布等其他分布的情形，只需根據系統結構求出相應的系統可靠度表達式，然后對于其中的參數以及超參數給出先驗分布，即可計算出相應冷備系統可靠度的Bayes估計以及多層Bayes估計。但若參數較多，可能在積分運算上會較為繁瑣。目前來說，針對冷備系統可靠度的估計還有文獻提出了WCF方法[8]和Fiducial方法[9]，文中所討論的方法與這兩種估計方法的優劣比較以及適用場合還有待作進一步的探討。