基于ALK解法的輸流管道防共振可靠性分析

郭 慶, 劉永壽, 白雅潔, 陳翔宇

(西北工業大學 力學與土木建筑學院， 西安 710129)

輸流管道廣泛應用于航空、航天、航海等領域的大型機械設備之中，工作環境十分復雜。由于流固耦合的作用，管內液體的流速、壓力的脈沖都會影響輸流管道的固有頻率。同時，在管道設計、加工、裝配、測量等過程中的不確定性因素導致的幾何尺寸、物理參數等的不確定，也會引起輸流管道固有頻率的不確定性。而一旦輸流管道的固有頻率與激振力頻率相互接近時，將會引發嚴重的共振失效。此外，航空航天領域的激振力頻率通常具有寬頻特性，這對于防共振設計也提出了更高的要求。所以，對輸流管道進行防共振可靠性分析是十分必要的。

近年來，許多研究人員對輸流管道的振動和防共振可靠性進行了大量的研究。Li等[1]把變分迭代方法應用于輸流管道的自由振動分析，得到了輸流管道在不同邊界條件下的臨界流速和頻率，并且得到了懸壁管在不同流速下的模態形狀。韓濤等[2]針對航空復雜液壓管路提出了一種直曲組集算法實現了高效建模和模態分析，并且得到了管路布局對“Z”形管固有頻率影響的經驗公式。翟紅波等[3]采用七點估計法計算了均勻流輸流管道和非均勻流輸流管道的共振可靠度。何新黨等[4]分析了考慮狀態模糊性時的笛形管在不同水平截集下的結構共振失效概率。張屹尚等[5]通過Kriging代理模型研究了充液管道流固耦合作用下的非概率共振可靠性分析。王忠民等[6]采用Fourior級數展開和微分求積法對彈性地基上輸流管道控制方程進行處理得到了時變系統狀態方程，通過最優控制原則有效地控制了主參數共振問題。Ritto等[7]提出了考慮建模誤差的流體-結構相互作用的概率模型，將輸流管道的微分方程通過有限元方法離散化后得到降階模型，并以得到的隨機特征值分析了系統的顫動和發散不穩定模式。Alizadeh等[8]將蒙特卡洛模擬與有限元相結合，應用于輸流管道的概率自激振動和穩定性分析，對系統中流體參數隨機性效應與管道結構參數的隨機性效應進行了比較。張瑞軍等[9]采用攝動法分析高速電梯轎廂隨機參數對固有頻率的影響，通過共振可靠性靈敏度分析評估了各參數對轎廂系統共振可靠性的影響程度的大小。

本文采用近幾年來新發展的十分精確高效的主動學習Kriging方法(ALK)[10]進行防共振可靠度的計算，該方法基于Kriging代理模型，通過學習方程“主動”地選擇對失效概率影響最大的點加入到實驗設計中更新Kriging模型，通過不斷迭代直至滿足收斂條件。該方法廣泛適用于隱式功能函數或有限元等工程問題，對小失效概率、強非線性功能函數、多最可能失效點功能函數等問題也有很好的效果。此外，ALK方法還可以應用于非概率可靠性分析和混合可靠性分析之中。將ALK方法應用于防共振可靠性的突出優點，即在于其篩選出的點均位于激振力頻率的上下界附近，在極大提高計算效率的同時，保證了很好的計算精度。

本文將Galerkin加權余量法與ALK方法相結合，通過前者進行輸流管道固有頻率的計算，再經由ALK方法分析多個不確定性參數影響下的防共振可靠性，并分別計算多個流速下防共振可靠性失效概率的大小，分析管道內液體流速對防共振可靠性的影響，為輸流管道的防共振設計應用提供一種新的途徑。

1 輸流管道模態

本文考慮一長為l的兩端簡支等直輸流管道，假定管內流體無粘且不可壓縮，即管內流體均勻流速。根據小變形假設下的Euler- Bernoulli梁模型，我們可以得到輸流管道的橫向振動控制方程[11-12]

(1)

式中，m0是單位長度管道內流體質量，m是單位長度管道質量，v是管道內的流體流速，EI是抗彎剛度，y是管道橫向位移，x是管道軸向位移，t表示時間。控制方程中的各項從左依次表示為彈性恢復力、離心力、科氏力和慣性力。需要指出的是，科氏力是由于考慮了流體的相對流動而出現的，其本質為負阻尼機制，即反對稱螺旋阻尼，此時特征值中包含一對共軛復數。

顯然，式(1)為高階微分方程，難以直接求得其解析解，此時可以考慮引入變分法中的Galerkin加權余量法求出其近似解。為了消除時間t的影響，降低求解難度，且管道橫向位移為軸向位移x和時間t的函數，不妨假設

y(x,t)=u(x)eiωt

(2)

將y的函數代入式(1)，此時可以消去eiωt，可以得到

(m+m0)ω2u(x)=0

(3)

兩端簡支輸流管道的邊界條件為

(4)

取滿足式(4)的試函數為φj(x)=sinβjx,(j=1,2,…,N)，此時的近似解函數為

(5)

將近似解函數(5)代入式(3)，可得

根據Galerkin法規定，權函數與試函數相等，即

Wk(x)=φk(x)=sinβkx,(k=1,2,…,N)

(7)

為了消除余量，作余量與權函數的內積，并令其正交，即

(8)

將式(6)和(7)代入式(8)，可得

(9)

其中，g1(j,k)和g2(j,k)分別為

當j=k時，

(10)

(11)

當j≠k時，

(12)

(13)

我們把式(9)稱為Galerkin方程組，可以將其寫為如下矩陣形式

(j=1,2,…,N；k=1,2,…,N)

(14)

式中，C是Galerkin系數矩陣，屬于關于ω的函數。此外

2m0v·iωβjg2(j,k)-(m+m0)ω2g1(j,k)

(15)

顯然，式(14)能夠取得非零解的充要條件為系數矩陣行列式為零，即

det|C(ω)|=0

(16)

由式(16)可以求出2N個ω，又因為式(15)中含有虛數項，且復特征值共軛出現，再略去實部為負的特征值，可以得到N個ω，其實部為固有頻率，虛部為衰減頻率。

2 功能函數建立

假設固有頻率為IF，激振力頻率為S，根據傳統振動設計規范要求，當1-k1

(17)

式中，mm是管道固有頻率所取的階數，在可靠性中表示失效模式的個數，zjj表示第jj個失效模式，x是隨機輸入變量向量，IFjj是第jj階固有頻率。

防共振可靠度可以寫為

(18)

式中，fx是輸入變量x的聯合概率密度函數，θx是x的隨機分布參數。

式(18)的解析解是很難求得的，通常采用數值仿真或近似解法取得其近似解，最常用的是Monte-Carlo仿真方法，雖然該方法精度很高，但在實際應用中面臨計算成本過高，計算效率低這一突出問題。本文采用近年來新發展的主動學習Kriging方法進行防共振可靠性的求解。

3 防共振可靠性分析

本文采用ALK方法求解，下面介紹其相關理論和計算流程。

3.1 Kriging插值模型

Kriging模型由兩部分組成，前半部分為全局近似，后半部分為局部偏差[13]，具體形式如下

G(x)=F(x,β)+z(x)=f(x)β+z(x)

(19)

式中，G(x)表示待擬合的目標響應函數，f(x)表示變量x的多項式，β表示f(x)的系數，z(x)表示待擬合函數的隨機分布部分。

已知模型(19)里面，F(x,β)代表了全局模型近似，即Kriging模型的均值，也是變量x的多項式函數，一般用f(x)β表示，而在實際中，多項式的形式對于擬合精度的影響幾乎可以忽略，所以可簡化為常數β。而z(x)代表了局部模型偏差，其統計特征期望為E(z(x))=0，方差為Var(z(x))=σ2，協方差代表了與全局模型的局部偏差的程度，具體形式如下

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R([R(xi,xj)])

(20)

式中，R([R(xi,xj)])是樣本點xi和xj之間的相關函數，Kriging模型中使用高斯相關函數，所以又被稱為高斯過程模型，其具體形式如下

(21)

Kriging模型需要有DoE(Design of Experiment)來求解其相關統計參數，進而才能對目標點進行預測。給定DoE：{x(1),x(2),…,x(n)}(x(j)表示第j個訓練點)以及g=[G(x(1)),G(x(2)),…,G(x(n))]T(G(x(j))表示第j個響應)，在未知點x處，G(x)的預測值為

(22)

(23)

σ2rT(x)R-1r(x)

(24)

式中，f是n維單位列向量，即1=f=[1,1,…,1]，y是n維列向量，含有每個設計點的目標響應值，rT(x)是n維列向量，式(23)和(24)中各參數可由以下各式得到

rT(x)=[R(x,x1),R(x,x2),…,R(x,xn)]

(25)

(26)

(27)

(28)

還有就是相關參數θk的值通過最大似然估計求解得到，那么當相關函數是高斯相關函數時，則可轉化為下面的優化問題

(29)

相關參數θk的優化可以通過全局優化策略的DIRECT優化算法[14]得到。

3.2 ERF學習方程

基于Kriging模型的傳統加點方法都是通過隨機抽樣得到樣本點，進而得到代理模型，那么得到的模型精度必然與所加樣本點密切相關，然而盲目地毫無目的性的過多或過少的抽取樣本點加入DoE中，都無法保證模型精度。Bichon[15-16]提出了主動學習的方法來選擇性地往DoE中添加樣本點達到改進模型的作用。Echard等[17]通過結合MC方法提出了主動學習的AK-MCS方法。Yang等提出了一種適用于主客觀混合可靠性分析的主動學習Kriging模型。這里采用YANG所提出的ALK方法。

首先考慮預測值是負值，即μG(x)<0，那么此時存在著真實值G(x)>0的風險，定義如下指標來衡量這個風險

R(x)=max[(G(x)-0),0]

(30)

R(x)表示了μG(x)<0時，G(x)>0的程度，R(x)越大，G(x)越可能被預測錯誤。此外，已知G(x)是隨機變量，那么相應的R(x)也是隨機變量。將R(x)進行概率平均，即可得到μG(x)<0時，G(x)的符號預測錯誤的風險期望

E(R(x))=E[max((G(x)-0),0)]=

(31)

式中，μG(x)和σG(x)分別是x點處預測值的均值和方差。φ()是標準正態分布的概率密度函數，Φ()是標準正態分布的累積分布函數。

當預測值是正值，即μG(x)>0，同理，定義μG(x)>0時的風險度量指標為

R(x)=max[(0-G(x)),0]

(32)

對應的風險期望為

E(R(x))=E[max((0-G(x)),0)]=

(33)

式(31)和(33)可以寫成統一形式，即

E(R(x))=

(34)

式(34)即為風險期望方程(ERF)，或者稱為學習方程。ERF表示了G(x)的預測值與真實值間符號不同的可能性的大小，即ERF值越大，在該點處G(x)的真實值由正變負或由負變正的可能性就越大。此外，ERF值比較大的點一般都是在極限狀態曲面附近的點和Kriging方差很大的點，所以，我們應該將這些ERF值最大點選出來加入到DoE中，從而提高Kriging模型的擬合精度。

3.3 ALK方法的基本步驟

步驟1在各隨機變量組成的不確定性域中隨機抽取Xt=(X1,t,X2,t,…,Xn,t)(t=1,2,…,N)個初始樣本點，計算功能函數值，構建初始Kriging模型，此處N=20。

步驟2隨機產生大量候選樣本點，為ERF方程選點做準備，為使候選樣本點充滿不確定性域，取候選點數量為m=105。

步驟3在候選點中計算Kriging模型的預測值μG(X)和ERF值，將ERF值最大的點記為X*。

步驟4若ERF最大值滿足收斂條件的閾值，則轉入步驟6，本文閾值大小為10-3。

步驟5若步驟4中的收斂條件無法滿足，將X*加入DoE中，并計算X*處的功能函數值更新Kriging模型，返回到步驟3。

步驟6基于已建立的Kriging模型，代入Monte-Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算 例

本文以兩端簡支輸流管道為模型進行計算驗證，如圖1所示。管道長度l=2.0 m，外直徑D=0.1 m，壁厚δ=0.002 m，管道所用材料彈性模量E=68.6 GPa，密度pd=2 800 kg/m3，泊松比ρ=0.3，管道內液體密度fd=1 000 kg/m3。

圖1 兩端簡支輸流管道模型

根據Galerkin加權余量法計算求得的輸流管道在不同流速下的前四階固有頻率如表1所示，可以發現隨著管道內液體流速的增加，各階固有頻率均逐漸下降，其中，一階固有頻率下降最多。該現象主要因為隨著液體流速的增大，使管道剛度不斷下降，進而引起固有頻率的不斷減小。

表1 輸流管道的前四階固有頻率

然后，根據ALK方法計算防共振可靠性。為考慮流速對防共振可靠性的影響，分為四種工況進行計算，分別為：① 流速的隨機分布類型為正態分布，變異系數為0.05，后面三種工況的分布類型與參數與工況1相同，流速大小均值為0；② 流速大小均值為10；③ 流速大小均值為20；④ 流速大小均值為30。影響防共振可靠性的各隨機變量如表2所示。

防共振可靠性計算結果如表3所示。由結果可以知道，隨著液體流速的增大，一階固有頻率共振失效概率不斷減小，而與此相反的是，二階固有頻率共振失效概率不斷增大。根據李占營等[18]的結論，流速增大會導致剛度減小，進而導致固有頻率降低，在此表現為一階固有頻率不斷遠離外激勵頻率，而二階固有頻率不斷靠近外激勵頻率。此外，如圖2所示，經ALK方法選出的訓練點的外激勵頻率的上限和下限分別分布在640 Hz和220 Hz左右，有利于提高防共振可靠性失效

表2 輸入變量的隨機分布類型及參數

概率的計算精度。ALK方法除20個初始樣本點外，通過ERF方程主動選點的收斂速度是十分快的，以工況2的一階固有頻率防共振可靠性計算為例，共篩選出81個功能函數正負號預測錯誤風險最大的訓練點，且大部分訓練點都位于極限狀態附近，提升了對目標功能函數的預測精度，同時也極大地提高了計算效率，如圖3所示。所以，相對于其它傳統可靠性求解方法，如Monte-Carlo法、點估計法和響應面法等[19-20]，ALK方法能夠在保證共振可靠性計算精度的前提下，極大地減少功能函數的調用次數，提高失效概率的計算效率。但需要注意的事，ALK方法對于初始樣本點的依賴較高，需選用均勻性很好的抽樣方法。此外，ALK方法對于高維問題求解尚存在困難。

表3 不同工況下防共振可靠性分析結果

圖2 工況2下ALK方法所取訓練點外激勵頻率分布

Fig.2 The external excitation frequency distribution of training points obtained with ALK solution under condition 2

圖3 工況2下ALK方法得到的DoE

5 結 論

本文考慮輸流管道在流固耦合作用下，聯合Galerkin加權余量法和ALK方法，建立了一種新的輸流管道防共振可靠性分析方法，并以兩端簡支輸流管道為例進行了計算驗證分析。首先，固有頻率計算結果證明輸流管道內液體流速的增大會影響管道固有頻率不斷下降。同時，防共振可靠性分析結果證明管道液體流速的增大會不斷影響管道一階固有頻率不斷遠離外激勵頻率范圍，二階固有頻率不斷靠近外激勵頻率范圍。本文中共振可靠性功能函數為隱式、非線性的，算例證明了所提方法能夠有效地處理含隱式、非線性功能函數的復雜工程問題，為輸流管道的防共振可靠性分析提供了參考。