基于分形理論的齒輪結(jié)合面法向接觸剛度研究

趙林林，黃小平，周忠旺

(1.南京林業(yè)大學 機械電子工程學院， 南京 210037；2.江蘇財經(jīng)職業(yè)技術(shù)學院 機械電子與信息工程學院， 江蘇 淮安 223003)

機械結(jié)合面參數(shù)會影響整機設(shè)備的性能，而齒輪接觸是最常見的一種接觸，廣泛應用于大型機械中，因此研究齒輪接觸性能將有利于提高大型機械設(shè)備的加工性能。

齒輪的嚙合面屬于運動結(jié)合面，當受到動載荷時，齒輪結(jié)合面間會產(chǎn)生微小的相對位移或角位移，使得結(jié)合面間既存儲能量，又消耗能量，表現(xiàn)出既有彈性又有阻尼，即存在接觸剛度和接觸阻尼，這種動態(tài)特性將對齒輪輪齒的動態(tài)特性產(chǎn)生很大的影響[1]。

雖然可以采用有限元法來實現(xiàn)齒輪的動態(tài)特性的仿真，其接觸單元為齒輪結(jié)合面的計算提供了一種方法，但是剛度、阻尼等物理參數(shù)的確定對結(jié)合面來說很困難，造成了結(jié)合面的精確計算是齒輪性能預估的瓶頸。

齒輪結(jié)合面的切向接觸剛度是機械結(jié)構(gòu)整體剛度的重要組成部分，甚至稱為整體剛度的薄弱環(huán)節(jié)，因此需要對齒輪結(jié)合面的接觸剛度進行研究，而齒輪結(jié)合面的接觸剛度包含法向接觸剛度和切向接觸剛度。本課題組在文獻[2]中，已對齒輪結(jié)合面的接觸剛度進行過分析研究，本文重點對齒輪結(jié)合面的法向接觸剛度進行研究。

以前齒輪結(jié)合面的法向接觸模型[3-5]相對簡單，本文則考慮了域擴展因子Ψ的影響，并引入了微接觸截面積a′，研究齒輪的齒面形貌對齒輪法向接觸剛度的影響。

1 齒輪粗糙表面的分形模擬

齒輪的接觸表面大多數(shù)是通過各種機加工的方法來實現(xiàn)的，機加工的表面質(zhì)量對齒輪結(jié)合面的接觸行為影響很大。文獻[6]給出了45碳鋼不同加工精度的磨削表面輪廓曲線。

利用W-M函數(shù)可以描述各向同性均勻粗糙表面[7-8]，其表達式為：

(11)

(1)

式中：D為分形維數(shù)，G為表面特征長度尺度參數(shù)，γn決定表面粗糙度的頻譜。其中，最低頻率與取樣長度有關(guān)，即γn=1/L，L為取樣長度，γ=1.5,能夠適應高頻譜密度和相位的隨機性[6,8]。在模擬齒輪粗糙表面時，利用Matlab軟件實現(xiàn)，n的取值為1～100。x為采樣長度(mm)，z(x)為輪廓高度(μm)。

2 齒輪粗糙表面微接觸點大小分布函數(shù)

Wang等[9]引入了微接觸截面積a′，并考慮了域擴展因子Ψ，得到粗糙表面的接觸點的大小分布函數(shù)，此分布函數(shù)假設(shè)為一個粗糙表面和一個光滑平面的接觸，而齒輪嚙合是曲面與曲面的接觸，因此引入表面接觸系數(shù)λ[3]，構(gòu)造齒輪粗糙表面微接觸點的大小分布函數(shù)為

(2)

式中λ為表面接觸系數(shù)，

λ=λ0P′C2x

其中λ0為兩嚙合齒輪初始接觸時的表面接觸系數(shù)，

P′為兩曲面間的法向載荷;x為綜合曲率系數(shù)，

E為綜合彈性模量;B為兩齒輪嚙合時的有效接觸長度;R1、R2為兩齒輪在接觸齒廓處的曲率半徑無側(cè)隙安裝時即為分度圓半徑，+為外嚙合，-為內(nèi)嚙合，C2為常數(shù)，C2=0.5，Ψ為微接觸大小分布的域擴展因子，與分形維數(shù)有關(guān)，滿足下列超越方程，其物理意義和取值可查閱文獻[6]，

Ar為結(jié)合面的真實接觸面積[10-11]。

圖1 齒輪副接觸模型[10，12]

3 齒輪結(jié)合面法向載荷與真實接觸面積的關(guān)系

在計算齒面接觸強度時，僅考慮在節(jié)點處嚙合。根據(jù)文獻[5]中提出的齒輪表面接觸系數(shù)來分析齒輪結(jié)合面的接觸問題。

(3)

式中：Pc為相互嚙合的兩齒輪的法向載荷；P為兩粗糙平面相互接觸時的法向載荷。

(4)

(D=1.5)

(5)

式中H為較軟材料的硬度，

k=H/σy

分別對式(4)(5)進行量綱為一化，得到：

(6)

(7)

(8)

4 齒輪結(jié)合面的法向接觸剛度分形模型

由文獻[13]可知，引入了微凸體的截面接觸面積，使得接觸模型更加接近于實際。在機械結(jié)合面上，單個微凸體的法向接觸剛度為：

(9)

根據(jù)齒輪粗糙表面微接觸點的大小分布函數(shù)，構(gòu)造齒輪結(jié)合面彈性接觸區(qū)產(chǎn)生的法向接觸剛度為：

(10)

此模型構(gòu)成了齒輪結(jié)合面法向接觸剛度的理論預估模型。對其進行量綱為一化得到：

(11)

5 仿真結(jié)果

參數(shù)取值分別為：材料特性參數(shù)φ=1，0.1，0.01；k=1；表面特征尺度參數(shù)G*=10-9，10-10，10-11；分形維數(shù)D=[1.1，1.9]；名義接觸面積Aa=1 mm2， 大齒輪分度圓的直徑R1=100 mm，小齒輪的分度圓直徑R2=20，50，100 mm；接觸寬度B=20 mm；綜合彈性模量E=130 GPa。

由式(3)(7)(8)和式(11)建立齒輪結(jié)合面的法向載荷與法向接觸剛度的關(guān)系式，通過模擬仿真分析，得法向接觸載荷與法向接觸剛度的關(guān)系，如圖2所示，并與文獻[7]和文獻[3]中的模型進行比較，分析得出，同樣的載荷下，文獻[7]模型得出的法向剛度最大，文獻[3]模型得出的法向剛度最小，這是因為文獻[7]模型假設(shè)為一個粗糙平面和一個光滑平面的接觸，而齒輪嚙合面的接觸為曲面接觸，因此文獻[7]模型得出的結(jié)果要高于其他兩個模型的結(jié)果。而文獻[3]提出的圓柱體結(jié)合面法向接觸模型，雖然已經(jīng)考慮了曲面接觸，但是未考慮域擴展因子，在建立模型時將最大接觸面積與粗糙表面的接觸面積之比近似為1，得到的模型精度不高，因此得出的法向剛度低于本文提出的模型結(jié)果。而本文提出的齒輪結(jié)合面分形模型，既考慮了齒輪嚙合的曲面接觸，又考慮了域擴展因子的影響，并引入了微接觸截面積，使得模型更加準確。

5.1 分形維數(shù)D對齒輪結(jié)合面法向接觸剛度的影響

改變分形維數(shù)D，其余參數(shù)不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系，如圖3所示。可以看出：分形維數(shù)較低時，法向載荷與法向剛度之間近似呈線性關(guān)系，且隨分形維數(shù)的增加，法向剛度也隨之增加；而分形維數(shù)較高時，法向載荷與法向剛度之間呈線性關(guān)系。分形維數(shù)存在一個臨界值，當分形維數(shù)D>1.7時，法向剛度隨分形維數(shù)的增加而減??；當D<1.7時，法向剛度隨分形維數(shù)的增加而增加。同時可以看出，增加法向載荷有利于提高法向接觸剛度。

圖3 不同分形維數(shù)D的法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系(G*=10-10，φ=1，R1=100 mm，R2=50 mm)

5.2 表面特征長度尺度系數(shù)對齒輪結(jié)合面法向接觸剛度的影響

改變表面特征長度尺度系數(shù)G*，其余參數(shù)不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系，如圖4所示。通過圖4可以看出：法向接觸剛度隨著表面特征長度尺度系數(shù)的增加而減小，說明表面特征長度尺度系數(shù)越大，接觸的兩表面越粗糙，結(jié)合面的法向接觸剛度就越小，即可以通過減小齒輪結(jié)合面的粗糙度，提高齒輪結(jié)合面的法向接觸剛度。

圖4 不同表面特征長度系數(shù)的法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系

5.3 材料特性參數(shù)對齒輪結(jié)合面法向接觸剛度的影響

改變材料特性參數(shù)φ，其余參數(shù)不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系，如圖5所示。通過圖5可以看到：法向接觸剛度隨著材料特性參數(shù)的增大而增大，因為φ=σy/E，可以通過提高材料的屈服強度或減小彈性模量，來提高齒輪結(jié)合面的法向接觸剛度。

5.4 齒輪分度圓半徑對齒輪結(jié)合面法向接觸剛度的影響

改變小齒輪的分度圓直徑R2，其余參數(shù)不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系，如圖6所示。可以看出，增加齒輪的分度圓半徑，可以提高結(jié)合面的法向接觸剛度，根據(jù)d=mz，可以通過增加齒輪的齒數(shù)或是增加齒輪的模數(shù)來提高齒輪結(jié)合面的法向接觸剛度。

圖5 不同材料特性參數(shù)的法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系

圖6 不同齒輪分度圓半徑的法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系

6 結(jié)論

提出了一種新的齒輪結(jié)合面法向接觸剛度預估模型，考慮了域擴展因子的影響，并引入了微接觸截面積，使得模型更加準確。

仿真分析得出：分形維數(shù)比較小時，法向載荷與法向剛度之間近似呈線性關(guān)系，且隨分形維數(shù)的增加，法向剛度也隨之增加；而分形維數(shù)較高時，法向載荷與法向剛度之間呈線性關(guān)系。分形維數(shù)存在一個臨界值，當分形維數(shù)D>1.7時，法向剛度隨分形維數(shù)的增加而減小，當D<1.7時，法向剛度隨分形維數(shù)的增加而增加；增加法向載荷有利于提高法向接觸剛度。法向接觸剛度隨著表面特征長度尺度系數(shù)的增加而減??；法向接觸剛度隨著材料特性參數(shù)的增大而增大；增加齒輪的分度圓半徑，可以提高結(jié)合面的法向接觸剛度。

以上結(jié)論對于指導齒輪設(shè)計具有重要的實踐意義，在確定齒輪表面的參數(shù)時，需要根據(jù)齒輪實際的受載和工況，計算表面粗糙度的最優(yōu)值；通過選取齒輪材料(提高屈服強度或減小彈性模量)；增加齒輪的模數(shù)或齒數(shù)，都能夠提高齒輪結(jié)合面的法向接觸剛度，在一定程度上能夠?qū)X輪結(jié)合面接觸特性進行理論預測，從而有效降低齒輪成本。