基于復合評價值的小波去噪參數選定方法

焦志浩,呂迎春

(太原理工大學 電氣與動力工程學院， 太原 030024)

在處理非穩態噪聲信號時，考慮到小波變換相比于傅里葉變換在時域和頻域具有更好的刻畫能力和其本身的多分辨性的原因，小波變換成為了近幾年降噪領域的研究熱點。 含噪信號的小波閾值去噪，主要研究集中在小波基函數的選取與構造、分層數確定和閾值函數的改進[1-2]。對小波閾值函數的研究主要集中在提出或改進硬閾值函數、軟閾值函數、硬軟閾值折中和自適應閾值函數等方面[3-5]。對于小波基和分層數的研究，結合噪聲特征值提取算法、香農熵定理、分解系數比等方法，實現對小波基或者分層數的自適應選擇[6-9]。

以上研究都是從單一的某個方面選定小波去噪參數，無法一次性通過一種方法對小波去噪參數進行選定，這就導致在使用小波閾值去噪時，只能逐項選定某一項參數，致使選取過程過于零散，無法形成統一的選取過程。本文嘗試將小波基函數和分層數的選取統一到同一方法中，在確定某一個參數之后，再確定另一參數，使得參數的選擇過程簡化。因此，本文提出了一種基于復合評價值的小波去噪參數選擇方法，通過構建復合評價值來統一確定小波閾值去噪法中小波基和分層數。

1 優選評價指標構建復合評價值

1.1 小波去噪質量評價指標

傳統的評價指標一般包括均方根誤差(RMSE)、信噪比(SNR)、平滑度(r)。一般而言，均方根誤差(RMSE)是指去噪后信號與原信號的均方誤差，體現了信號的細節去噪情況，均方根誤差越小，表示去噪效果越好。信噪比(SNR)是指原始信號能量與噪聲能量的比值，體現了噪聲信號對于整體信息的影響，信噪比越高，去噪效果越好。平滑度(r)是指去噪后信號1階差分的方差根與原始信號1階差分的方差根之比，體現了信號的整體變異信息，平滑度越小，表明去噪效果越好。

1.2 構建復合評價值

信號在小波變換以后產生細節信息和逼近信息，細節信息代表信號的細節分量，逼近信息代表信號的整體特征。由于小波閾值去噪中，閾值處理主要是針對細節信息，可以選取均方根誤差作為評價指標。同時，平滑度作為衡量信號整體變異信息的指標，可以代表逼近信息的指標。因此，從信號進行小波分解后的細節信息和逼近信息的角度，選取均方根誤差和平滑度2個評價指標，來衡量小波閾值去噪效果。

根據朱建軍等[10]的融合方法，首先對均方根誤差和平滑度進行歸一化，再利用變異系數法[11]確定2個指標的權重，最后，將權重值與評價指標值線性組合，得到復合評價值。變異系數法是利用評價體系中的既有信息計算各指標的權重，反映被評價指標之間的差距，是一種客觀賦權的方法。在本文中，均方根誤差和平滑度作為2種不同性質的信息，在指標融合的過程中，需要分別確定其在復合評價指標中的權重。系數變異法作為一種客觀反映不同指標差距的方法，可以用來確定均方根誤差和平滑度在復合評價中的權重。通過計算均方根誤差和平滑度的標準差與均值的比，得到變異系數，再求取各變異系數在整體中的比值，即可得到兩者的權值，具體定權過程由式(1)～(4)所示。

由于2個指標融合以后，隨著分解層數的增加，勢必會出現一個極值[10]，而極值點代表細節信息和逼近信息的最佳重構點，也就是信號去噪效果的最優點，同時由于均方根誤差和平滑度的值越小去噪效果越好，因此，可以得出復合評價值越小，去噪效果越好。

融合的具體過程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

T=WPRMSE×PRMSE+WPr×Pr

(5)

式中：PRMSE和Pr表示均方根誤差和平滑度的歸一化值；CVPRMSE和CVPr表示均方根誤差和平滑度的變異系數；σPRMSE和σPr表示均方根誤差和平滑度的標準差；μPRMSE和μPr表示均方根誤差和平滑度的均值；WPRMSE和WPr表示均方根誤差和平滑度變異系數的權值；T表示復合評價指標值。

2 小波閾值法去噪

2.1 小波閾值去噪的基本原理

小波閾值去噪的基本原理是信號通過小波變換以后分成細節信息和逼近信息2個部分,然后根據設置的不同閾值函數，將關聯的小波系數給予保留或者按照某種規律進行收縮，最后利用小波逆變換將處理后的信號進行重構。

噪聲信號的數學模型可以使用加性噪聲信號來表示，其原理是在純凈信號中加上等信號長度的高斯噪聲信息。其公式如下：

f(t)=v(t)+n(t)

(6)

式中：f(t)是含噪信號；v(t)是純凈信號；n(t)為服從正態分布且方差為0的高斯噪聲信息。

去噪過程的數學公式描述如下：

(7)

在這個過程中，第1步選擇合適的小波基和分層數；第2步選擇合適的閾值函數和確定最佳閾值進行去噪；第3步利用小波逆變換，將處理以后的信號重構。

2.2 小波參數的選取

2.2.1小波基和分層數的初選

小波基函數決定了信號分解的描述類型，一般對于不同的信號采用的小波基函數也有所不同，為了使超聲含噪信號的去噪效果達到最優，盡可能在信號分解以后產生較多的小波系數。本文選用Symlet小波，Symlet小波是由Daubechies小波系改進而來，具有良好的正則性和對稱性，在小波重構時可以使重構信號具有更好的光滑性。

在小波閾值去噪法中分層數的選擇決定了信號分解的完整性，若分解層數過低，會導致原始信號與噪聲信號的匹配特征不明顯，若分解層數過大，重構后的信號失真性變大。因此，本文對于分層數的選取，借助經驗法[12]先選取分層數的大致范圍，同時為增加實驗的嚴謹性，選取了2～9層。

2.2.2小波閾值函數的選取

小波閾值去噪中最重要的環節是小波閾值函數的選取。在小波閾值去噪中，硬閾值(H)去噪方式具有最大保留高頻系數的特點，軟閾值(S)去噪方式具有保持信號的連續性的特點，可以使得去噪信號重構以后更加光滑。硬軟閾值是應用最早、最簡潔和最成熟的2種去噪方式，其他的閾值去噪方式大都是在其基礎上改進而來，去噪結果也都是對比軟硬閾值去噪方式的結果。本文重點在于構建符合評價值選取小波基和分層數，使用硬軟閾值去噪方式的意義在于增加實驗結果的可信性和可靠性，以此來與其他文獻做對比。因此，本文采用硬閾值(H)和軟閾值(S)二種方式來分別處理不同的含噪信號。

硬閾值和軟閾值函數表達式為：

(8)

式(8)中，上式為硬閾值函數，下式為軟閾值函數。硬閾值函數是指：小波系數的絕對值小于閾值時，小波系數置零；反之，保留原系數。軟閾值函數是指：小波系數的絕對值大于閾值時，將小波系數的絕對值與閾值做差；反之，小波系數置零。

閾值選擇的方法是采用基于史坦無偏似然估計(二次方差)原理的自適應閾值選擇。對于給定的一個閾值t，得到其似然估計，再將似然t最小化，就得到所選的閾值t。

3 參數統一選定方法設計及實驗結果分析

本文利用Matlab 2014b仿真平臺，采用自帶的通用blocks和bumps信號，超聲回波信號采用理想狀況下的雙指數模型[13]，模擬頻率為40 kHz，采樣頻率為1 000 kHz的T/R40系列的信號模型。

3.1 參數統一選定方法步驟

1) 初選小波參數。大致確定小波基的類型和分層數的范圍。

2) 小波閾值法去噪。使用硬軟閾值2種去噪方式，對含噪信號進行去噪。

3) 融合評價指標得到復合評價指標值。去噪以后得到均方根誤差和平滑度指標，融合得到復合評價值。

4) 確定分層數和小波基。根據得到的復合評價值，首先確定分層數，進而確定小波基。

3.2 實驗結果分析

理想狀態下的blocks、bumps信號如圖1所示。為模擬噪聲信息，在原始信號上加入10 dB的高斯白噪聲，其含噪信號如圖2所示。

圖3和圖4分別為blocks、bumps含噪信號在軟硬閾值去噪方式下的復合評價值的變化趨勢。分析可知，不同的小波基隨著小波分解層數的不斷增加，其復合評價值變化規律大致相同。小波變換分層數從2層到4層，復合評價值逐漸下降；從4層到9層，復合評價值逐漸增大。由此可見，復合評價值在4層取得極小值，根據復合評價值的意義，小波的最優分解層參數為4層。

圖1 原始信號

圖2 含噪信號

圖3 硬閾值(H)下不同信號的復合評價值變化趨勢

表1和表2分別為4層分解數下blocks、bumps含噪信號在軟硬閾值去噪方式下的復合評價值。分析可知，blocks含噪信號在選取sym7小波基時，復合評價值最小。根據復合評價值的意義，小波的最優小波基參數為sym7小波基；bumps含噪信號在選取sym6小波基時，復合評價值最小，根據復合評價值的意義，小波的最優小波基參數為sym6小波基。

表1 blocks信號復合評價值

表2 bumps信號復合評價值

由上述分析過程可知，對于blocks、bumps含噪信號使用小波閾值去噪方法，選擇硬軟閾值去噪方式。通過復合評價值的變化趨勢和尋找最小值點，可以將小波閾值去噪參數中的小波基函數和分層數的選取統一到一個方法中。所以，bumps含噪信號使用小波閾值去噪方法，選用 sym7小波基函數，4層分層數，取得了最好的去噪效果；bumps含噪信號使用小波閾值去噪方法，選用 sym6小波基，4層分層數，取得了最好的去噪效果。表3為本文方法取得的去噪結果，從信噪比和均方根誤差2個方面衡量了含噪信號的去噪效果。表4為文獻[14]取得的去噪效果，也從信噪比和均方根誤差2個方面衡量了去噪效果。將表3與表4相對比可知，本文方法的去噪效果優于文獻[14]的去噪效果,證明本文方法中統一選擇小波基和分層數的方法是合理且有效的。去噪效果圖如圖5和圖6所示。

表3 本文方法去噪結果

表4 文獻[14]去噪結果

圖5 硬閾值去噪效果

最后，將本文方法應用到超聲回波信號小波閾值去噪中，超聲回波信號和含噪如圖7所示。通過復合評價值的變化趨勢和尋找最小值點，確定了小波閾值去噪法選定參數為sym7小波基和4層分層數。去噪結果如表3所示，去噪的效果如圖8所示。

圖6 軟閾值去噪效果

4 結論

為了解決含噪信號在使用小波閾值去噪時的小波基和分層數的難以統一選定問題，將小波變換對信號分解的意義與傳統評價指標的意義相結合，融合得到復合評價值。在小波閾值去噪以后復合評價值的變化趨勢和極值點統一確定小波基和分層數，且將方法應用到超聲回波信號去噪中。本文可以歸納出以下結論：

1) 小波去噪質量評價指標均方根誤差和平滑度融合得到的復合評價值，其總體變化趨勢呈現先下降后上升，出現的極值點可作為選取小波閾值去噪參數的依據。

2) 存在極值點以后的復合評價值并不是都符合增大的趨勢。

3) 下一步工作在本文方法的基礎上，結合自適應閾值函數，研究如何達到更優的去噪效果。

圖7 超聲波信號

圖8 不同閾值下的去噪效果