基于離散時(shí)間觀測(cè)帶有馬爾可夫切換的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的反饋控制

葉志勇，王澤權(quán)，唐朝君，匡 艷

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

隨著網(wǎng)絡(luò)通信、控制和計(jì)算技術(shù)之間的相互滲透和發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域之中。作為科學(xué)和工程控制領(lǐng)域的新興學(xué)科，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)一直受到廣大研究者的關(guān)注，并且網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)等也有著廣泛的應(yīng)用[1-7]。

近20年來(lái)，學(xué)者們對(duì)隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性的控制問(wèn)題已進(jìn)行了廣泛深入的研究，取得了很多優(yōu)秀的成果[8-12]。文獻(xiàn)[13]指出：如果給定的隨機(jī)微分方程是不穩(wěn)定的，則可以通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制μ(x(t),r(t),t)使其達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。然而這種有規(guī)律的反饋控制要求在所有的時(shí)間上對(duì)狀態(tài)進(jìn)行連續(xù)觀測(cè)，在經(jīng)濟(jì)上這種方法是非常昂貴的，實(shí)際上連續(xù)情況的觀測(cè)也可能無(wú)法實(shí)現(xiàn)。所以毛學(xué)容等[14]提出了基于離散時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)的隨機(jī)微分方程的反饋控制問(wèn)題，即在離散時(shí)間觀測(cè)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制μ(x([t/τ]τ),r(t),t)，使其控制更加合理和實(shí)用。毛學(xué)榮等[14]設(shè)計(jì)了幾類重要的隨機(jī)微分方程基于離散時(shí)間觀測(cè)的反饋控制器。

在實(shí)際中，網(wǎng)絡(luò)本身在某個(gè)時(shí)刻會(huì)受到不可預(yù)料的外部或者內(nèi)部擾動(dòng)，這是無(wú)法避免的。所以，本文討論的是帶有馬爾可夫切換的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)基于離散時(shí)間觀測(cè)的一致性問(wèn)題，通過(guò)使用普希茨條件，直接研究基于離散時(shí)間觀測(cè)的反饋控制系統(tǒng)本身，對(duì)τ建立一個(gè)更好的上界，得到了帶有馬爾可夫切換的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件，使網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步。

1 基礎(chǔ)知識(shí)和模型建立

1.1 符號(hào)說(shuō)明

1.2 模型描述

考慮帶有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可表示為如下系統(tǒng)：

dxi(t)=f(xi(t),r(t),t)dt+

g(xi(t),r(t),t)dB(t)

(1)

其中初始值x(0)=x0∈Rn，r(0)=r0∈S，xi(t)∈Rn(i=1,2,…,N)，f∶Rn×S×R+→Rn，g∶Rn×S×R+→Rn×m。r(t)是t≥0時(shí)概率空間上右連續(xù)的馬爾科夫鏈，取值為有限的狀態(tài)空間S={1,2，…，N}，生成元為Γ=(γij)N×N。當(dāng)θ>0時(shí)，從時(shí)間t在模態(tài)i到時(shí)間t+θ在模態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率為：

P{r(t+θ)=j|r(t)=i}=

現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)基于離散時(shí)間狀態(tài)的反饋控制μi(x([t/τ]τ),r(t),t)，使各個(gè)節(jié)點(diǎn)在方程(2)下趨于同步。方程(2)如下：

dxi(t)=(f(xi(t),r(t),t)+

μi(x([t/τ]τ),r(t),t))dt+

g(xi(t),r(t),t)dB(t)

(2)

令ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)T是Laplacian矩陣L的左特征向量，特征值為0，ξT1=1。因?yàn)棣蜹L=0,所以有

(3)

同時(shí)，令

(4)

為了方便討論，接下來(lái)引入一些假設(shè)、定義及引理。

定義1(伊藤(It)公式)[15]首先考慮一個(gè)隨機(jī)微分方程：

dx(t)=f(t)dt+g(t)dB(t)

其中：t≥0，f(t)∈L1(R+,Rn)，g(t)∈L2(R+,Rn×m)，V(x,t)∈D2,1(Rn×R+,R)。定義在Rn×R+→R上的極小生成元LV：

LV=Vt(x,t,i)+Vx(x,t,i)f(t)+

(5)

其中：

(6)

2 主要結(jié)論

為了解決方程(2)的穩(wěn)定性問(wèn)題，將反饋控制設(shè)置成：

(7)

其中xi, j(t)=xi(t)-xj(t)，i,j∈V，μ∈R。

隨機(jī)微分方程(2)通過(guò)式(4)和(7)寫成如下：

(8)

接下來(lái)是證明方程(8)穩(wěn)定性的主要理論。

引理1當(dāng)τ>0，令

(9)

如果τ(τ≥0)足夠小并且滿足2K(τ)<1，則隨機(jī)微分方程(8)中的xi(t)的解滿足

(10)

證明存在一個(gè)整數(shù)v≥0，t∈[vτ,(v+1)τ)，令δ(t)=vτ，根據(jù)方程(8)可得

得到

然后利用格朗沃爾不等式得：

所以當(dāng)t∈[vτ,(v+1)τ)時(shí)方程(10)成立。

定理1如果滿足下面的不等式：

(11)

ξmax=max{ξ1,ξ2,…,ξn}

語(yǔ)言中的絕大多數(shù)詞都擁有多個(gè)意義。傳統(tǒng)的語(yǔ)義研究沒(méi)有認(rèn)識(shí)到多義詞各個(gè)義項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，沒(méi)有對(duì)語(yǔ)義擴(kuò)展的機(jī)制做出合理的解釋。認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)揭示了多義現(xiàn)象的本質(zhì)，認(rèn)為詞的多個(gè)意義中除了基本義之外，其他意義是通過(guò)隱喻和轉(zhuǎn)喻的方式由基本義擴(kuò)展而來(lái)的。雷可夫指出，一詞多義起源于不同認(rèn)知域之間以及同一認(rèn)知域中不同元素之間的關(guān)系。詞的基本義與擴(kuò)展義之間有直接的認(rèn)知性關(guān)系。詞的各義項(xiàng)之間存在著理?yè)?jù)性關(guān)系是因?yàn)樵~義的擴(kuò)展從主觀上來(lái)說(shuō)主要是通過(guò)隱喻和轉(zhuǎn)喻思維來(lái)實(shí)現(xiàn)的。詞義擴(kuò)展的方式主要有兩種:基于與中心義的相似性關(guān)系派生新義為詞義的隱喻性擴(kuò)展，基于與中心義的鄰近關(guān)系派生新義為詞義的轉(zhuǎn)喻性擴(kuò)展。

λ1=max{(LTL)?In}

λ2={(ξL)?In}

則基于離散時(shí)間觀測(cè)帶有馬爾可夫切換的隨機(jī)微分方程(8)是穩(wěn)定的。

證明首先建立一個(gè)適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函方程

(12)

利用伊藤公式得到隨機(jī)微分方程(8)的極小生成元如下:

(13)

通過(guò)方程(13)得：

(14)

同理：

(15)

將方程(9)(15)代入到方程(13)得：

(16)

(17)

同時(shí)，通過(guò)伊藤公式[18]得:

(18)

將式(17)代入到式(18)得：

(19)

由式(19)得Ω<0，所以方程(11)是穩(wěn)定的。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本文考慮的是一個(gè)隨機(jī)混雜系統(tǒng)

dx(t)=[A(r(t))x(t)+C(r(t))G(r(t))x(δ(t))]dt+

B(r(t))x(t)dB(t)

根據(jù)定理1，借助Matlab求得可行的解為：

G1=(1,0)，G2=(0,1)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果，利用Matlab繪制隨機(jī)切換和狀態(tài)響應(yīng)圖，見圖1～3。

圖1 隨機(jī)切換

圖2 狀態(tài)響應(yīng)1

圖3 狀態(tài)響應(yīng)2

圖1表示在r(0)=1的馬爾可夫鏈切換的一種可能狀態(tài)，圖2、圖3顯示的是在給定的初始值x1(0)=-2和x2(0)=1以及離散時(shí)間τ=10-3條件下的響應(yīng)狀態(tài)，可以看出所考慮的系統(tǒng)在相應(yīng)的條件下最終可以達(dá)到穩(wěn)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究的是基于離散時(shí)間觀察并帶有馬爾可夫切換的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型，通過(guò)建立李雅普諾夫泛函方程，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的極小生成元，得到基于離散時(shí)間觀測(cè)穩(wěn)定性的充分條件，把系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式的問(wèn)題。同時(shí)可以將本文方法應(yīng)用到多智能體系統(tǒng)中，討論在離散時(shí)間狀態(tài)下的多智能體分布式反饋控制。最后，對(duì)本文的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了結(jié)果的正確性和有效性。