費(fèi)希爾分布最大值分布的漸近展開

韋 杰，曾 萍

(貴州中醫(yī)藥大學(xué) 信息工程學(xué)院， 貴陽 550025)

(1)

其中G(x)為非退化分布函數(shù)。若上式在G(x)的連續(xù)點(diǎn)處成立，則稱F(x)屬于G(x)的吸引場，記作F∈Dl(G)，并且G(x)只能是3種經(jīng)典極值分布類型之一[1]。自極值理論提出后，學(xué)者們對其展開了深入的研究[2-8]。在抽樣分布中，費(fèi)希爾分布的概率密度函數(shù)[9]為

(2)

其中m、v表示自由度(m>0，v>0)，

本文主要研究在最優(yōu)規(guī)范化常數(shù)條件下，自由度為m、v的費(fèi)希爾分布隨機(jī)變量序列最大值分布的漸近展開，并得到最大值分布收斂到極值分布的逐點(diǎn)收斂速度。

1 相關(guān)引理

為了證明定理，需要一些輔助引理。首先給出費(fèi)希爾分布尾部表達(dá)式、Mills率和最優(yōu)規(guī)范條件下最大值的極值分布。

引理1設(shè)f(x)和F(x)分別為費(fèi)希爾分布概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，對于充分大的x>0，有

(3)

證明對于x>0，有

(4)

由洛必達(dá)法則得到

(5)

結(jié)合式(4)(5)，對于充分大的x可以得到式(3)，引理得證。

引理2當(dāng)x→∞時(shí)，有Mills率：

(6)

證明對于x>0，由引理1可得

綜上，當(dāng)x→∞時(shí)，引理得證。

其中，規(guī)范化常數(shù)

(7)

證明對于引理1，當(dāng)x>0時(shí)，有

根據(jù)引理1和文獻(xiàn)[1]的推論1.12得到F∈Dl(Φv/2)。存在tn，使得滿足n(1-F(tn))=1，因此結(jié)合式(6)，當(dāng)n→∞時(shí)，有

整理得到

1) 當(dāng)0

2) 當(dāng)v=1時(shí)，有

3) 當(dāng)1

4) 當(dāng)v=2時(shí)，有

an(anh(an;x)-κ(x))→ω(x)

其中，這幾種情況的κ(x)和ω(x)在定理1中給出。

證明令

(8)

(9)

(10)

(11)

下面討論0

類似可得

引理得證。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè){Xn,n≥1}為i.i.d.序列，F(xiàn)(x)為費(fèi)希爾分布的分布函數(shù)，規(guī)范常數(shù)an由式(7)給出，當(dāng)n→∞時(shí)，

1) 當(dāng)0

(12)

2) 當(dāng)v=1時(shí)，有

(13)

3) 當(dāng)1

(14)

4) 當(dāng)v=2時(shí)，有

(15)

其中：

(16)

(17)

證明由引理3可知，當(dāng)n→∞時(shí)，h(an;x)→0且

(18)

下面討論0

定理得證。

致謝：衷心感謝西南大學(xué)彭作祥教授在學(xué)術(shù)科研上的悉心指導(dǎo)。