基于性質(zhì)，融合知識，歸于運算

彭曉霞

[摘 ?要] 平面幾何是高中數(shù)學(xué)較為重要的內(nèi)容，高考對于平面幾何的考查，不局限于簡單的證明，而傾向于從知識融合的角度開展.幾何最值問題是其中較為典型的代表，因融合了幾何與代數(shù)的特性使得問題的解法也呈現(xiàn)多樣性，文章將以一道高考題為例對其進(jìn)行多解探究，并探討解法上的學(xué)習(xí)啟示.

[關(guān)鍵詞] 幾何;最值;代數(shù);多解;不等式定理

考題呈現(xiàn)與分析

1. 考題呈現(xiàn)

（2018年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第13題）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，其中∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為__________.

2. 考題分析

（1）信息解讀

本題的最值構(gòu)建是依托基本的△ABC，其中AB，AC，BC分別用字母c，b，a來表示，∠ABD=∠DBC=60°，即BD是∠ABC的角平分線，以此為基礎(chǔ)來構(gòu)建幾何模型，如圖1所示，則問題求解需要以線段AB，BC的長為基礎(chǔ)來求解.

（2）本質(zhì)分析

本題目表面上屬于平面幾何問題，但考慮到問題要求4a+c的最小值，實際上屬于基本不等式的最值問題. 求解本問題需要利用幾何性質(zhì)和相關(guān)定理來構(gòu)造含有“4a+c”的不等式關(guān)系，然后采用不等式的“拆解、拼合、湊成”等技巧，構(gòu)造出具有“正”“定”“等”特點的不等式，即不等式的字母均為正數(shù)，不等式符號的其中一邊為定值，且等號取得的條件可以滿足.

（3）解法思考

本問題從內(nèi)容形式來看屬于幾何中的代數(shù)問題，在數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域，幾何與代數(shù)之間是交叉融合、不可分割的，可以借助數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，對于幾何代數(shù)問題的求解同樣可以從幾何、代數(shù)兩個層面進(jìn)行，可以采用數(shù)形結(jié)……