圓錐曲線切線問題中的一類角度關系

楊軍君

[摘? 要] 文章從一道高三質量檢測題出發，對試題進行推廣、類比，借用圓錐曲線的光學性質，探究圓錐曲線切線問題中的一類角度之間的關系.

[關鍵詞] 圓錐曲線;切線;光學性質

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，是高中數學的重點、難點，是高考命題的熱點之一. 很多圓錐曲線試題源于圓錐曲線的某些幾何性質，具有一定的幾何背景，內涵豐富，其結論可以推廣、類比拓展，為研究性學習提供較好的素材，能激活探究思維，激發探究熱情. 本文將從一道高三質量檢測題出發，對試題進行推廣、類比拓展，探求圓錐曲線切線問題中的一類角度關系，供大家參考.

試題（2019屆質量檢測16題）如圖1，F1，F2為橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點，直線l過F1且交橢圓C于A，B，過A，B分別作橢圓C的切線并相交于點P. 若∠APB=65°，則∠AF2B=________.

本題以橢圓的切線為背景，考查與焦點三角形相關的角度關系，可以從解析、幾何不同的方向解決問題.試題結構新穎，考查內容豐富，解答入手點多，能有效考查學生的數學抽象、邏輯推理以及直觀想象等核心素養.

[?]背景探究

高考數學試題多數源于教材，而又高于教材，這道試題取材源自人教版選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》章末的一份閱讀與思考材料，是橢圓的光學性質的簡單應用.

橢圓的光學性質為：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上，也即是以下命題：

命題：如圖2，F1，F2為橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點，點P在橢圓C上. 過P作橢圓C的切線l，則l……