用金剛石磨頭數控加工軸對稱非球面光學玻璃透鏡

曾 凱， 陳宏堃，沈劍云， 吳 賢， 魯 浪

(華僑大學 機電及自動化學院, 福建 廈門 361021)

在光學系統中應用非球面元件，可以增加光學設計自由度，修正像差，改善系統成像質量，極大減小光學系統的外形尺寸和質量[1]。基于此，非球面光學元件在中小型民用光學產品上應用越來越普及，如各種日用高品質照相機、刻錄機光頭、光學顯微鏡以及顯示投影儀等設備中都可見非球面鏡的身影[2-3]。

近年來，非球面光學元件的加工技術有了顯著的發展，其加工方法主要有：數控研磨拋光技術、單點金剛石車削技術、離子束加工、模壓成型等，不同的加工方法都有各自的優缺點[4-5]。使用數控研磨拋光技術加工非球面鏡時，通常會先加工出非球面光學元件最接近球面的一面，然后再按照該面磨削出球面，最后通過研磨和拋光加工出符合要求的非球面；但這種方法耗時太長，生產效率較低[6]。單點金剛石車削技術主要用于有色金屬材料如硬鋁、黃銅、無氧銅等的典型零件的切削，在切削過程中易發生刀具偏置，往往需要配上在線檢測設備才能獲得理想的非球面精度[7]。離子束加工雖然可以獲得精度較好的非球面，但加工設備和成本較高，且加工設備不具有通用性，因而限制了它的推廣使用[8-9]。模壓技術主要用來批量制備微小型的非球面透鏡，但該技術對金屬模具的精度要求很高[10-11]。因此，日用中小型非球面鏡的高效、低成本加工技術仍然在不斷的探索和研究之中。

目前，為了縮短非球面透鏡的加工周期，人們開始采用直接磨削的方法，即在磨削階段直接加工出符合非球面方程的非球面透鏡，該方法因加工效率高、經濟性好已經逐漸被廣泛使用[12]。為此，以K9光學玻璃為研究對象，結合工程實踐對K9高次軸對稱非球面進行快速磨削加工，探究不同加工路徑對非球面磨削加工的影響；檢測不同路徑下的K9非球面法向輪廓度誤差；根據法向輪廓度誤差相關規律，提出一種改變最大有效切削半徑的補償方法，以獲得更高精度的非球面表面輪廓。

1 軸對稱非球面理論描述

光學系統中，球面透鏡聚焦時存在球面像差，使光線無法聚焦于一點而影響成像。而非球面透鏡的面型由一系列函數控制，球面各點的曲率不同，因此可以修正球面像差，將光線聚集于一點。在光學系統中，通常用多個球面透鏡組合以消除球面像差，但使用非球面透鏡則可以替代多個球面透鏡，減少透鏡數量，簡化系統結構，而達到同樣的成像效果。

軸對稱非球面最常見的是以二次方程或高次方程曲線為母線，繞自身的對稱軸旋轉形成的回轉表面。軸對稱非球面方程的描述形式有多種，國際上通用的軸對稱非球面母線函數方程[13]為：

(1)

式中：z(x)表示入射光線在非球面上與頂點之間的高度；x表示對應的入射光線在非球面上與旋轉對稱軸Z的距離；c為非球面曲線頂點曲率；k為非球面曲線二次項系數(k=-e2，e表示離心率)；Ai為曲線高次項系數，xi表示曲線高次項，n為最高次項指數。簡單來說，e2<0時，非球面的面型是以短軸為對稱軸的橢圓球面；e2=1時,非球面為拋物面；e2=0時，非球面則為球面；當01時，非球面則為雙曲面。常見的二次曲面類型如圖1所示，圖1中的非球面的曲面性質隨著曲線二次項系數的變化而變化。

圖1 常見二次曲面類型

2 非球面加工實驗條件與方案

2.1 實驗條件

軸對稱非球面銑磨加工在三軸數控加工中心上進行，該機床加工精度可達1 μm，銑磨加工條件如表1所示。其加工原理是以銑磨頭代替銑刀，利用磨頭上的微細金剛石磨粒進行磨削加工，實驗用銑磨磨頭為市售電鍍金剛石磨頭。

表1 軸對稱非球面銑磨加工條件Tab. 1 Conditions of axisymmetric aspheric grinding

2.2 工件銑磨參數設定

在進行非球面快速成型銑磨時，應根據不同工序選擇不同的加工參數。一般地，加工工序不同磨頭選用的磨料粒度也不同，而加工工序又可分為粗磨和精磨2個階段。為使非球面達到更高精度，本實驗擬將銑磨工藝流程分為粗磨、半精磨、精磨3個階段。非球面粗磨是為了快速去除工件材料的加工余量，提高后續加工的效率，因而使用粒度代號80/100的平頭電鍍金剛石磨頭；半精磨和精磨則是依次修整粗磨后的非球面面型精度，分別使用粒度代號為170/200和325/400的半圓頭電鍍金剛石磨頭(表1所示)。非球面銑磨參數如表2所示。

表2 非球面銑磨工藝參數Tab. 2 Aspheric milling process parameters

2.3 工件加工軌跡確定

在本實驗實例中，所加工的非球面為φ48 mm的高次軸對稱非球面，其非球面曲線方程由工廠設計，具體參數為：c=0.048 30，k=-1，四次項系數A4=-1.361×10-6，六次項系數A6=-5.082×10-9，其余系數均為0。三軸數控銑床加工該非球面時，由于數控程序復雜，因此直接使用PowerMill軟件自動生成所需加工程序。建立好如圖2所示的非球面模型后，需要給表2的加工工藝參數設置刀具軌跡。其中，粗加工刀具路徑選擇為模型區域清除；半精加工刀具路徑選擇為平行精加工；同時為了更好地分析統計誤差，方便后續的補償實驗加工，綜合考慮之后，在精加工時選用平行精加工和等高精加工2種不同的精加工軌跡進行對比實驗，其生成的相應加工軌跡如圖3所示。

圖2 非球面模型

(a)平行精加工軌跡(b)等高精加工軌跡Parallel finishing trajectoryContour finishing trajectory圖3 精加工軌跡Fig. 3 Finishing trajectory

加工程序和軌跡確定后進行實際加工，銑磨加工實驗平臺如圖4所示。其中，測力儀的用途是輔助定心，并提高對刀精度。

圖4 軸對稱K9非球面銑磨工作圖

3 實驗結果及討論

3.1 非球面銑磨的法向輪廓度誤差

依照表2的工藝參數，在三軸數控加工中心上對K9光學玻璃進行非球面銑磨加工。在完成K9玻璃的粗磨和半精磨后，精磨選取圖3所示的2種不同方式。精加工完成后，2種精加工的非球面實物如圖5所示。

圖5 加工的非球面實物

精加工后的非球面需要進行面型精度檢測，其檢測方法分在線檢測和離線檢測2種，且兩者都是通過誤差補償來達到減小誤差的目的。由于非球面在線檢測成本較高，難度較大，因此采用型號為ridge-Global-Status-7.7的三坐標測量機(最大誤差2 μm)、按照ISO10360-2標準進行檢測。由于三坐標測量結果是非球面的理論坐標值和實際坐標值，以及與之對應的沿X、Y、Z方向的誤差，并不能反映非球面的真實法向輪廓度誤差，所以需要通過計算來獲取非球面不同接觸點的法向輪廓度誤差。

非球面三維示意圖及二維誤差放大圖如圖6所示。要計算非球面不同接觸點的法向輪廓度誤差，就是要計算圖6b中的T值(即圖6b中AC線段的長度)。

(a)非球面三維示意圖

(b)非球面二維誤差放大示意圖

以圖6a的測量點A為例來分析非球面的法向輪廓度誤差。假設測量點的坐標為A(x,y,z)，則同一高度下相應的理論坐標值為B(x1,y1,z1)，將A點坐標投影到XOY平面，則相應的A′O的實際和理論長度分別為：

(2)

圖6a中正視平面OA′A所在的坐標系為X′OZ，則在非球面坐標系中A點的橫坐標為圖6a中A′O的長度L，而圖6b中的A點和B點分別為三坐標測量的實際點和理論點，其相應的非球面半徑偏差為：

E=L實際-L理論

(3)

對非球面函數方程(1)進行一次求導，可以計算出非球面任意點處的切線斜率：

(4)

由于非球面的法向輪廓度誤差T的長度是微米級別的，因而可將圖6b的弧線BC近似看作直線，即是非球面理論曲線在C點的切線段，而AC為非球面實測曲線在C點的法線段，且AC⊥BC，則由三角形幾何關系可得：

(5)

于是有：

(6)

在本次實驗中，二次項系數k= -1，代入式(6)，進一步化簡可得：

(7)

而圖6b中，非球面各點的法向輪廓度誤差T有：

T=E×sinα

(8)

因此，通過三坐標測量機可以測量非球面任意點的坐標值，進而通過式(3)得到任意點的E值，再通過式(7)計算出任意點的α值，最后由式(8)計算出任意點的法向輪廓度誤差T。

圖6b中的高度H為非球面任意點在Z軸方向上與頂點的距離。在計算出精加工后非球面的法向輪廓度誤差后，整理數據可得不同高度H下對應的非球面法向輪廓度誤差，如圖7所示。

圖7 不同高度下的非球面輪廓度誤差

通過圖7數據發現：2種精加工方式下，高度H增加，非球面的法向輪廓度誤差T都會逐漸增加；相較于平行精加工，等高精加工條件下的上升趨勢更明顯，即平行精加工條件下加工的非球面法向輪廓度誤差比等高精加工條件下的要低。在檢測中，評定非球面面型精度的參數有2個：一是最大輪廓度偏差PV，定義為法向輪廓度誤差T最大值和最小值的差值；二是誤差平均值RMS，定義為輪廓度誤差T的平均值。將數據進一步整理，可得平行精加工條件下的非球面最大輪廓度偏差PV為54.48 μm，誤差平均值RMS為22.88 μm；等高精加工條件下的PV為98.46 μm，RMS為28.88 μm。這一結果與圖7的結論相符，即平行精加工條件下的非球面面型精度要比等高精加工條件下的非球面面型精度更高。

3.2 非球面加工中不同接觸點的切削線速度

如前所述，選取的精加工路徑不同，都會出現輪廓度偏差T隨高度H增大而增大的規律。這是由于用表2的參數銑磨加工非球面，雖然每次刀具的下切深度ap、主軸轉速n及進給速度vw均保持恒定，但加工過程中工件的不同接觸點的有效切削半徑不同，其對應的線速度不同造成的。已有的研究表明[11]：在微切削加工非球面光學玻璃中，隨著砂輪相對線速度的增大，非球面切削的表面質量降低，且在相對線速度增大的位置，產生大量的脆性崩碎。因此，由于加工中不同接觸點的切削線速度不同，有效切削半徑不同，可能使三軸數控加工的自由曲面產生誤差。

如圖6b所示：當刀具加工至刀觸點C時，此時的刀位點為O′，兩點的連線與刀具主軸軸線的夾角為θ，CD與刀具主軸軸線垂直于點D，O′D的長度等于刀觸點C與刀位點O′的軸向距離，將其定義為刀位。若球磨頭的半徑O′C=r，有效切削半徑CD=r1，刀位O′D=h，接觸點C的有效切削線速度為vc，則加工過程中任意接觸點的刀具有效切削半徑r1、刀位h、線速度vc與夾角θ的函數關系如下：

r1=r×sinθ

(9)

h=r1×cotθ

(10)

vc=2πr1n=2πrn×sinθ

(11)

由于圖6b中AB與CD平行，所以ΔABC與ΔCO′D相似，α與θ值相等。因此，由式(7)和(11)得到不同接觸點的線速度為：

(12)

由式(12)明顯看出：在球磨頭半徑r一定的情況下，加工過程中接觸點的有效切削線速度隨接觸點有效切削半徑增大而增大，且隨x的增大而增大。

根據非球面母線函數方程(1)和式(12)，可以求得距離非球面頂點高度H的原始接觸點的有效切削線速度vc，結果如表3所示。表3表明：有效切削線速度隨高度H的增大而逐漸增大；且加工非球面工件底部(H=12.0 μm)時的線速度比加工非球面頂端(H=0.3 μm)時的增大約3.76 m/s。

表3 原始接觸點的線速度Tab. 3 Linear velocity of original contact point

3.3 非球面加工中磨頭的輪廓優化

如前所述，磨頭的有效切削半徑改變可以對非球面輪廓度誤差產生影響。因此，通過優化磨頭輪廓，對磨頭接觸點的有效切削半徑進行補償，可以改變非球面的輪廓度誤差。優化磨頭輪廓的步驟如下：首先確定標準磨頭的有效切削半徑r1與非球面輪廓度誤差T的函數關系，再將該結果應用于磨頭輪廓的優化補償。

圖8為非球面輪廓度誤差與有效切削半徑之間的關系。如圖8所示，從三坐標測量得到的非球面數據提取標準磨頭有效切削半徑r1與非球面輪廓度誤差T數據，離散處理后的線性擬合曲線為：

圖8 非球面輪廓度誤差與有效切削半徑之間的關系 Fig. 8 Relation of profile error of aspheric surface varied with effective cutting radii

(13)

擬合曲線(13)的相關系數R2=0.9828，表明該曲線擬合良好。對式(13)求導，得到：

(14)

式(14)中的導數反映了非球面輪廓度誤差隨銑磨刀具有效切削半徑變化的變化率大小，即曲線變化幅度的大小。

在補償磨頭有效切削半徑之前，首先應確立一個合適的最大切削半徑。如圖8所示：曲線從有效切削半徑1.2～1.5 mm處開始快速上升，說明其非球面輪廓度誤差隨有效切削半徑變化的幅度逐漸增大。對非球面三坐標測量數據進行整理，可以得到刀具的有效切削半徑為1.2、1.3、1.4、1.5和1.6 mm條件下的非球面輪廓度誤差，如圖9所示。

圖9 不同有效切削半徑下的非球面輪廓度誤差

由圖8和圖9可以看出：當有效切削半徑大于1.6 mm時，非球面輪廓度誤差明顯大幅度上升，同時非球面輪廓度誤差隨有效切削半徑變化的幅度快速增大。因此，為減小非球面的輪廓度誤差，磨頭的最大有效切削半徑宜控制在1.6 mm以下。

根據非球面輪廓度誤差隨銑磨刀具有效切削半徑變化率的大小，相應確定銑磨刀具不同位置所對應的有效切削半徑，建立以刀位點為原點，有效切削半徑r1為橫坐標，刀位h為縱坐標的坐標系，通過擬合得到優化設計的球磨頭輪廓圖10。圖10給出了最大有效切削半徑分別為1.2、1.3、1.4和1.5 mm時的球型磨頭以及半徑為3.0 mm的標準球型磨頭輪廓曲線。

圖10 不同有效切削半徑的球磨頭輪廓曲線

由圖10可以看出：當最大有效切削半徑小于1.5 mm時，刀具輪廓出現了向內凹陷的褶皺現象，如圖10中的放大部分顯示了最大有效切削半徑1.3 mm時的球型磨頭輪廓曲線褶皺部分，當刀觸點在褶皺的凹陷處時，刀具對工件的切削由外切轉變為內切，在加工時會出現過切現象。因此，磨頭實際的最大有效切削半徑最終考慮選擇為1.5 mm，擬合的磨頭輪廓曲線方程為：

(15)

3.4 非球面加工中磨頭有效切削半徑補償實驗

對銑磨刀具進行相應的有效半徑補償優化，制備最大有效切削半徑為1.5 mm的金剛石磨頭；使用優化的磨頭、按表2的精磨工藝參數對半精磨加工后的非球面工件用平行精加工路徑進行精加工，使用三坐標測量非球面的坐標點，并計算出非球面的輪廓度誤差。

將實驗測量數據整理可得：選用優化后最大切削半徑為1.5 mm的金剛石磨頭對K9光學玻璃進行非球面精加工，刀具路徑選用平行精加工，用三坐標測量并計算得出玻璃加工后的最大輪廓度誤差PV為44.52 μm，均方根RMS值為7.37 μm；而用半徑3.0 mm的標準圓頭金剛石磨頭平行精加工K9光學玻璃非球面,其最大輪廓度偏差PV值為54 .48 μm，均方根RMS值為22.88 μm。因此，前者加工后的非球面面形精度較后者加工的精度顯著改善，證明磨頭有效半徑補償優化可以有效提高其加工面型精度。

4 結論

研究了軸對稱非球面K9光學玻璃的銑磨補償加工，用PowerMill軟件控制三軸數控銑床，分別選用平行精加工和等高精加工2種刀具路徑完成非球面的精加工，通過三坐標檢測值計算求得非球面的法向輪廓度誤差，得出如下結論：

(1)平行精加工路徑和等高精加工路徑的非球面最大輪廓度偏差PV分別為54.48 μm和98.46 μm，誤差平均值RMS分別為22.88 μm和28.88 μm，即平行精加工條件下加工的非球面面型精度比等高精加工條件下加工的高；且隨著加工過程中金剛石磨頭與工件的接觸點變化，非球面的輪廓度誤差隨非球面的高度呈現規律性的變化。

(2)對磨頭輪廓度誤差變化規律提出一種優化其有效切削半徑的誤差補償方式。用優化后最大切削半徑1.5 mm的磨頭平行精加工K9光學玻璃非球面，其最大輪廓度誤差PV為44.52 μm、均方根RMS值為7.37 μm，較切削半徑3.0 mm的標準圓頭磨頭的平行精加工PV值54.48 μm下降了18.28%，RMS值22.88 μm下降了67.79%。因此，在三軸數控銑磨加工非球面過程中，選用有效切削半徑補償優化的磨頭進行平行精加工軸對稱非球面，可以有效減小其誤差并提高其面型精度。