壓-剪試件在動態(tài)加載下的力學響應分析

徐 磊，李林濤，王志華

(太原理工大學 a.機械與運載工程學院，b.應用力學研究所，c.材料強度與結構沖擊山西省重點實驗室，太原 030024)

TC4(Ti6Al4V)鈦合金是一種(α+β型)兩相鈦合金，既有較高的強度，又有足夠的塑性，且能長期在高溫下工作，因而在航空、航天、船舶、化工以及兵器領域得到非常廣泛的應用[1-2]。由TC4材料制作的構件在使用過程中經常會受到強動載荷作用，因此對TC4鈦合金在動態(tài)壓縮下的力學性能研究非常重要。

在實際應用中，材料受載乃至破壞的過程一般是處于復雜應力狀態(tài)下，同時受到法向和切向的作用[3]。在復雜應力作用下，材料的變形和破壞模式等都表現出明顯不同于理想加載情況的行為特征[4]。很大程度上，剪切對材料的破壞起了主要的作用[5]。研究壓-剪復合加載下材料的力學性能，對正確和全面認識材料的本構行為、理解材料破壞機理更具有現實意義。目前對于材料在復雜應力狀態(tài)下力學行為的研究主要通過改變試樣的形狀以及引入特定的加載裝置來實現。鄭文等[6]在SHPB 實驗裝置的基礎上添加了一個具有對稱傾斜端面的墊塊來實現壓-剪復合加載。ZHOU et al[7]通過設計具有一定傾斜角度的壓頭，由套筒固定進行試驗，得到壓縮-剪切復合應力關系。JIN et al[8-9]通過測試引入斜截面的圓柱形試樣得到了其在壓剪應力空間下的屈服軌跡。上述的方法都是通過摩擦力來提供切向力，當傾斜角度達到一定程度時會出現滑動，切向力的位移計算就不再成立，此外還需要設計特定的加載裝置。

本文主要基于RITTEL et al[10]設計的一種剪切壓縮試件(SCS)進行數值模擬分析，討論試件幾何尺寸(長徑比、根角半徑、厚度)對SHPB實驗結果的影響，以優(yōu)化試件的幾何尺寸參數；對試件內部應力狀態(tài)的變化進行分析，并探討運用SCS試件獲得材料屈服面的可行性。

1 有限元模型的建立

1.1 幾何模型

有限元模擬采用ABAQUS軟件的Dynamic Explicit模塊，建立分離式Hopkinson壓桿(SHPB)裝置的有限元模型，模型包括入射桿、透射桿和試件3個部分。其中：入射桿的半徑r=6 mm，長度L=1 200 mm；透射桿的半徑r=6 mm，長度L=1 100 mm；試件的幾何模型如圖1(a)所示。由于TC4鈦合金金屬在動態(tài)絕熱剪切狀態(tài)下會發(fā)生大變形和破壞[11]，數值模擬過程中需盡量采用小的有限元單元尺寸，故對SCS傾斜段的單元進行局部細化加密，控制單元類型采用C3D8R八節(jié)點線性六面體單元。

由于撞擊桿僅僅起到在入射桿中產生沖擊應力波的作用，為了簡化模型、提高計算效率、減少計算時間，此在SHPB有限元模型中省掉了撞擊桿，直接在入射桿的一端施加沿桿截面均勻分布的應力波。入射桿端部輸入的應力波脈沖通過實驗測得，如圖2所示。

w=Slot width，t=Gage thickness，D=Diameter，L=Length，r=Root corner radius圖1 SCS幾何模型Fig.1 SCS geometric model

圖2 入射應力波Fig.2 Incident stress wave

1.2 材料模型

有限元模擬過程中采用了兩種材料模型：

1) 各向同性彈性模型。用于模擬入射桿和透射桿的材料為高碳鋼，其材料參數為密度ρ=7 890 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3.

2) Johnson-cook本構模型和失效模型。Johnson-cook模型能夠反映應變硬化、應變率硬化和溫度軟化效應，故采用本構模型描述TC4鈦合金的應力-應變特性，失效模型描述該材料的損傷失效行為。其中TC4鈦合金材料本構參數采用文獻[12]結果，失效參數采用文獻[13]的結果，具體參數如表1所示。

表1 TC4鈦合金的材料參數Table 1 Material parameters of TC4

2 數值模擬結果與分析

運用SHPB系統(tǒng)進行分析需要滿足兩個基本假設：1) 一維應力波假設；2) 應力均勻性假設。只有在滿足兩個基本假設的前提下，獲得的實驗數據才具有可靠性。為保證兩個基本假設滿足，需要對試件兩端的接觸力進行動態(tài)力平衡驗證[14]，即任意時刻試件都處于左右兩側受力平衡的狀態(tài)。動態(tài)力平衡公式如下：

Finput(t)=Foutput(t) .

(1)

式中：Finput和Foutput分別為試件左、右兩個界面上的力。

為了選取滿足SHPB動態(tài)測試兩個基本假設的壓剪試件，分別對不同長徑比、根角半徑、厚度的試件進行數值模擬分析。

2.1 試件長徑比對兩個基本假設的影響

對金屬材料進行SHPB動態(tài)力學性能測試，為了減小慣性和摩擦力對試件在動態(tài)下應力測量的影響，DAVIES et al[15]提出了SHPB試樣的最佳長徑比為L/D=(3v)1/2/2，其中υ為泊松比。然而考慮到SCS試件開槽的影響，試件的長徑比受到限制，故分別選取3種不同長徑比(2∶1，3∶1，4∶1)的試件如圖1(b)，SCS的幾何參數為：長度L=12，18，24 mm；直徑D=6 mm；θ=45°；寬度b=3 mm；厚度d=1.5 mm；根圓半徑r1=0.3 mm.進行Hopkinson-bar動態(tài)數值模擬分析，通過是否滿足動態(tài)力平衡來驗證壓剪試件尺寸選取的合理性。不同長徑比下試件和入(透)射桿桿端的接觸力-時間變化曲線圖如圖3所示。

圖3 不同長徑比的接觸力-時間變化曲線Fig.3 Contact force-time curves under different aspect ratios

通過對試件端面和入(透)射桿端面接觸力-時間變化曲線分析可知，隨著長徑比的增加試件兩端的接觸力-時間變化曲線重合度越來越低，即保持動態(tài)力平衡能力較差，獲得實驗結果的可靠性降低。為了使壓剪動態(tài)測試的實驗結果更具可靠性，應該適當減小試件的長徑比。綜上可知，在3種長徑比的壓剪試件中長徑比為2∶1試件的接觸力-時間變化曲線重合度最高，故選取該長徑比試件進行SHPB動態(tài)測試獲得的實驗數據更具可靠性。

2.2 試件根角半徑、厚度對兩個基本假設的影響

基于上文中提到更加符合動態(tài)力平衡的試件(長徑比2∶1)，接下來討論不同根角半徑、厚度的試件是否滿足兩個基本假設。分別加工3種厚度d(1.5，2.0，2.5 mm)及3種根角半徑r2(0.3，0.9，1.5 mm)共計9種不同規(guī)格的壓剪試件進行Hopkinson-bar動態(tài)數值模擬分析，通過是否滿足動態(tài)力平衡來驗證壓剪試件根角半徑和厚度選取的合理性。試件和入(透)射桿桿端的接觸力-時間變化曲線如圖4所示。

圖4為不同根角半徑、厚度的試件端面和入(透)射桿端面接觸力-時間變化曲線，通過對入射端和透射端接觸力-時間曲線的重合度來驗證是否滿足動態(tài)力平衡條件。考慮到SHPB數值模擬的過程相比實驗過程更加理想化，對入射端和透射端接觸力-時間曲線的重合度要求較高。為了更加直觀了解不同厚度d和根角半徑r2的試件對動態(tài)力平衡條件滿足情況，對圖4中滿足動態(tài)力平衡結果進行分類，如表2所示。

由表2可知，當試件根角半徑r2=0.3 mm時，3種厚度的試件進行動態(tài)測試時試件兩端接觸力都能保持平衡，均滿足動態(tài)力平衡的條件。當試件根角半徑r2=0.9 mm時，厚度d=2 mm的試件滿足動態(tài)力平衡的條件；而厚度d=1.5，2.5 mm的試件不滿足動態(tài)力平衡條件。當試件根角半徑r2=1.5 mm時，厚度d=2.5 mm的試件滿足動態(tài)力平衡的條件，厚度d=1.5，2.0 mm的試件均不滿足動態(tài)力平衡的條件。通過上述數值模擬結果可知，試件傾斜段根角半徑、厚度的選取對Hopkinson-bar動態(tài)測試的兩個基本假設均有很大影響。因此，在設計試件尺寸時需要考慮試件傾斜段根角半徑、厚度的參數。通過對動態(tài)力平衡驗證結果分析可知，傾斜段根角半徑r2=0.3 mm的試件不受厚度變化的影響且均滿足動態(tài)力平衡，故該根角半徑的選取更具普適性和合理性。

圖4 不同根角半徑、厚度下的接觸力-時間曲線Fig.4 Contact force-time curves under different root angles and thicknesses

表2 動態(tài)力平衡結果Table 2 Results of dynamic force balance

2.3 試件內部的應力狀態(tài)分析

在滿足SHPB動態(tài)測試兩個基本假設的前提下，對試件傾斜段的應力狀態(tài)進行進一步分析。分別沿兩個根角邊緣和中部3個路徑等間距取點，取點示意圖如圖5所示。各點Mises應力-時間變化曲線及Hopkinson-bar和試件的應變-時間變化曲線見圖6和圖7；試件整體的Mises應力、等效塑性應變云圖見圖8.

圖5 試件取點示意圖Fig.5 The points of SCS

圖6 試件取點的Mises應力-時間變化曲線Fig.6 Mises stress-time curves with the points of SCS

圖7 Hopkinson-bar和試件的應變-時間變化曲線Fig.7 Strain-time curves of Hopkinson-bar and SCS

由圖5試件取點示意圖及圖6各點Mises應力-時間變化曲線可知，在彈性變形OA段，選取的9個點的應力隨時間變化基本一致；當進入塑性變形AB段后，選取的點的應力發(fā)生變化，在根角點B1、C3位置處的應力隨時間變化曲線最高，而B3、C1位置處的應力隨時間變化曲線最小，其余各點的Mises應力強度和變化基本保持一致，且強度值介于兩根角點強度值之間。因為在壓縮-剪切復合應力下具有一定傾斜角試件的短對角上會出現應力集中[16]，所以在根角線上會出現應力分布不均勻現象，短對角點位置上應力強度值較大而長對角點位置應力強度值較小。由圖7可以看出，由入射桿、透射桿上得到的應變隨時間變化曲線和試件傾斜段上的應變隨時間變化曲線基本一致，說明在加載過程中由桿上獲得應變信號能準確反映試件內部的應變狀態(tài)。從圖8 Mises應力和等效塑性應變云圖很明顯的看出，整個試件的塑性變形區(qū)和高強度值區(qū)域均集中在傾斜段，傾斜段除了因為應力集中效應導致出現較大應力和塑性應變的根角部位外，其余區(qū)域的應力和塑性應變分布比較均勻。綜合圖6各點Mises應力-時間變化曲線、圖7 Hopkinson-bar和試件的應變-時間變化曲線和圖8為試件整體的Mises應力、等效塑性應變云圖可知，雖然兩根角處會發(fā)生應力應變集中，但是在兩個根角之間區(qū)域應力應變場分布比較均勻，滿足試件均勻性假設。

圖8 Mises應力和等效塑性應變云圖Fig.8 Mises stress and equivalent plastic strain cloud

2.4 TC4的動態(tài)屈服準則

由以上分析結果確定了滿足SHPB結果分析基本假設的試件尺寸參數，在加載過程中試件的變形主要集中在傾斜段，且滿足試件均勻性假設的要求。為獲得材料的屈服面，分別對不同傾斜角(0°，15°，30°，45°)的SCS試件(L∶D=2∶1，r2=0.3 mm，d=1.5 mm)進行動態(tài)、靜態(tài)壓縮數值模擬，將動態(tài)加載過程中得到的應變通過SHPB分析的三波公式換算成試件整體應力-應變曲線[17]，得到試件動態(tài)下的應力-應變曲線和靜態(tài)加載下的力-位移曲線如圖9，圖10所示。其中，三波公式為：

(2)

(3)

式中：εi(t)、εr(t)、εt(t)、SS、LS表示試件中的入射脈沖、反射脈沖、透射脈沖以及試件截面積和長度；而C0、E、SB則表示桿的彈性壓縮波波速、彈性模量和截面積。

圖9 動態(tài)加載下法向應力-應變曲線Fig.9 Dynamic normal stress-strain curves

圖10 動態(tài)加載下切向應力-應變曲線Fig.10 Dynamic shear stress-strain curves

在加載過程中入射桿端面受均布力F0，試件內部的壓剪區(qū)分別受到垂直于傾斜方向的法向力Fn和平行于傾斜方向的切向力Fs，試件受力分析如圖11所示，試件的變形如圖12所示，壓剪區(qū)沿軸向F0方向受力平衡，因此可知：

(4)

當試件沿軸向F0方向移動距離Δd時，試件的法向應變和切向應變分別表示為：

(5)

當試件處以彈性狀態(tài)，此時可得到法向力和切向力滿足的關系式：

Fn=σAs=EεAs.

(6)

Fs=τAs=GγAs.

(7)

式中：σ和τ分別為正應力和切應力；E和G分別是材料的彈性模量和剪切模量；As是試樣傾斜段的斜截面面積。聯立式(3)，(4)，(6)，(7)可以得到動態(tài)復合壓剪加載條件下的試樣的正應力和切應力：

(8)

(9)

結合式(2)、式(5)可以得到壓剪區(qū)的軸向應變和切向應變得表達式為：

(10)

(11)

因此將動態(tài)加載下的入射應變、反射應變、透射應變以及靜態(tài)加載下的力和位移數據通過式(2)-(11)可以得出動態(tài)、靜態(tài)復合應力狀態(tài)下試件的正應力-正應變曲線、剪應力-剪應變曲線，如圖9-10及圖13-14所示。

圖11 試件受力分析圖Fig.11 Force analysis for specimen

圖12 試件變形示意圖Fig.12 Distortion analysis of specimen

圖15-16為不同傾斜角試件的應力-應變曲線和力-位移曲線。由圖可知，在彈性階段，隨著傾斜角度的增加試件的彈性模量不變；當進入塑性變形階段，隨著傾斜角度的增加，試件的屈服強度、極限強度明顯下降，試件的承載力下降。對比圖9、13法向應力-法向應變曲線和圖10、14切向應力-切向應變可知，法向應力隨傾斜角的增加而下降，而切向應力隨傾斜角的增加而增大，所以隨著傾斜角度的增加，試件的剪切效應越來越強；動態(tài)加載下的法向應力和切向應力強度值明顯高于靜態(tài)加載下的強度值；隨著傾斜角度的改變，試件內部的應力狀態(tài)雖然發(fā)生改變，但是彈性模量和剪切模量均不改變。

圖13 靜態(tài)加載下法向應力-應變曲線Fig.13 Quasi-static normal stress-strain curves

圖14 靜態(tài)加載下切向應力-應變曲線Fig.14 Quasi-static shear stress-strain curves

圖15 不同傾斜角動態(tài)下試件的應力-應變曲線Fig.15 Stress-strain curves under different inclination angles

圖16 不同傾斜角試件的力-位移曲線Fig.16 Force-displacement curves under different inclination angles

當材料發(fā)生塑性變形后，式(6)-(7)就不再滿足，所以圖9，10，13中曲線的塑性部分也就只具有參考意義。但是由法向應力-法向應變曲線、切向應力-切向應變曲線可以獲得不同傾斜角度下的屈服強度，而通過不同的傾斜角度可以確定屈服面上的一個點。因此得到TC4鈦合金的屈服面，如圖17所示。

圖17中兩條曲線為理論計算的動、靜態(tài)屈服面，直線0°，15°，30°，45°分別為對應傾斜角時的加載路徑。由圖17可知，不同加載路徑下得到的屈服應力和理論值一致，說明此種SCS試件能得到有效的動、靜態(tài)屈服面，可用來研究材料的屈服準則。

3 結論

本文基于SHPB數值模擬分析了SCS試件在壓-剪復合加載下獲得材料屈服面的可行性。通過對數值模擬結果分析得到了如下結論：

圖17 壓-剪復合加載下試件的靜態(tài)、動態(tài)屈服面Fig.17 Quasi-static and dynamic yield surface of specimen under combined shear-compression

1) SCS試件長徑比以及傾斜段的根角半徑、厚度均對SHPB結果分析有影響，在運用SHPB分析時需要對SCS試件進行設計并驗證動態(tài)力平衡。

2) SCS試件的塑性變形區(qū)主要集中在傾斜段，傾斜段在加載過程中應力-應變場均勻分布，滿足試件均勻性假設。

3) 通過分析不同傾斜角度下SCS試件的法向應力-應變關系和切向應力-應變關系，獲得不同應力加載路徑下材料屈服強度的法向分量和切向分量，可以確定材料的準靜態(tài)和動態(tài)加載屈服面，這對于研究材料的屈服準則有非常重要的意義。