基于雙點加點策略的改進Kriging響應面可靠度計算方法

李永華 梁校嘉，2 宮 琦

1.大連交通大學機車車輛工程學院，大連,1160282.中車長春軌道客車股份有限公司，長春,130062

0 引言

采用代理模型技術來近似逼近結構功能函數是目前機械結構可靠度計算領域的研究熱點，其中經典響應面法是一種較為常用的可靠度計算方法，它通過二次多項式模型逼近結構功能函數，并結合一次二階矩法來獲得可靠度指標及驗算點[1]，計算過程簡單且易于實現。BUCHER等[2]的研究發現，經典響應面法適用于一般的線性結構功能函數求解可靠度問題。而一些學者認為經典響應面法只能在一定程度上反映結構功能函數的非線性，當結構功能函數的非線性程度較高時，該方法就很難真實地反映函數的非線性程度，這就會造成計算精度上的誤差[3]。鑒于上述問題，一些其他形式的代理模型逐漸應用到響應面法中來代替多項式模型，如神經網絡響應面模型[4]、支持向量機模型[5]和Kriging模型等。與其他模型相比，Kriging模型有如下兩個優點：①Kriging模型可利用樣本點處的有效信息進行構造，而非全部的信息；②Kriging模型可預測已知樣本信息的不確定性?；谏鲜鎏匦裕琄riging模型已逐漸應用于國內外的結構可靠度計算領域。RANJAN等[6]、BICHON等[7]分別提出了兩種不同的自主選點改善函數，來提高Kriging模型對結構功能函數的擬合精度。ECHARD等[8]提出了一種新型的選點策略，并將其應用在可靠度計算中。謝延敏等[9]通過Kriging模型預測結構響應來進行可靠度計算。張崎等[10]結合Kriging模型與重要抽樣法，提高了可靠度計算精度。

本文在Kriging響應面法基礎上，提出了如下三點改進措施：①提出雙點加點策略；②采用遺傳算法優化Kriging模型的重要參數；③結合重要抽樣法提高計算精度。最后，用算例驗證了所提出方法的可行性。

1 Kriging代理模型的雙點加點策略

考慮到驗算點附近是失效概率較大的區域，對可靠度計算結果的影響極大，本文只需要在驗算點處對結構功能函數進行局部精確擬合，即在迭代過程中采用某種加點策略來提高樣本質量，并充分使用較少的樣本信息使Kriging模型精確逼近真實驗算點附近的真實模型。

雙點加點是指在每次迭代只增加兩個樣本點，其中每次迭代產生的驗算點是必須增加的，此外還需增加一個對可靠度計算具有重要價值的樣本點。當樣本點越靠近極限狀態曲面(或稱為失效面) 并具有越大的概率密度時，其重要性就越大，即越靠近極限狀態曲線處的區域，其失效概率越大，對可靠度計算結果的影響也越大。為此，本文提出了一種基于Kriging預測的評價函數來判定樣本點的價值程度，具體方法如下：①采用均勻設計方法生成構造Kriging模型的初始樣本點；②通過蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)法在抽樣中心處生成一定數量的候選樣本集；③利用初始Kriging模型預測候選樣本集中的響應值；④使用評價函數從候選樣本集中選出價值程度最大的樣本點作為最佳樣本點。

當樣本點具有較大的概率密度且越靠近極限狀態曲面時，該樣本點越重要，故定義評價函數的表達式如下：

(1)

其中，g(x)為結構功能函數，f(x)為概率密度函數。從候選樣本集中找到C(x)最小的點作為最佳樣本點。

對于候選樣本集，抽樣中心應盡量靠近極限狀態曲線(即結構功能函數g(x)=0)，這樣生成的候選樣本集效果更好。在經典響應面法中，由線性插值得到新的展開點往往會比驗算點更加靠近極限狀態曲線，其表達式如下：

(2)

以二維結構功能函數為例，分別將驗算點和展開點作為抽樣中心生成候選樣本集，圖1給出了候選樣本集的分布情況，其中x1、x2表示隨機變量。

(a)驗算點為抽樣中心

(b)展開點為抽樣中心圖1 候選樣本集分布Fig.1 Distribution of candidate samples

(3)

圖2 非線性結構功能函數中的驗算點與展開點Fig.2 The checking point and the expansion point in the nonlinear structural performance function

綜上所述，在Kriging模型迭代重構過程中可根據新的內插公式(式(3))來確定抽樣中心，并采用雙點加點策略來更新模型。

2 Kriging代理模型核函數的參數優化

由Kriging模型的相關理論可知，相關函數的選擇對Kriging模型擬合能力的影響較為顯著。從圖3中可以看出，采用高斯核函數擬合出的模型曲面平滑度要比線性核函數擬合出的模型曲面平滑度高得多。曲面光滑可保證在迭代求解過程中的每一點都是可導可微的，這對可靠度指標和驗算點采用一次二階矩法(first order reliability method，FORM)求解時涉及到泰勒級數展開和求導是非常有利的[12]，故本文使用高斯核函數作為Kriging模型的相關函數。

核函數中的參數θ對Kriging模型的建立有著極其重要的影響，可通過求解如下優化問題得到[13]：

(a)高斯核函數擬合圖形

(b)線性核函數擬合圖形圖3 Kriging模型擬合的函數曲面Fig.3 Function surface fitted by Kriging model

(4)

式中，m為設計變量個數；σ2為方差；R(θ)為參數θ的相關函數。

針對高斯核函數，式(4)可轉化為一個最小化問題，即

(5)

姚拴寶等[14]利用DACE工具箱中編制的模式搜索方法對參數θ進行尋優，但該搜索方式對起始點的依賴性很強，若采用該方法確定參數θ，則會影響后續可靠性求解的精度。為解決上述問題，本文采用一種全局性搜索算法，利用Gatbx工具箱中的遺傳算法(GA)對式(5)中的參數θ進行優化，進而得到優化Kriging的模型。

3 重要抽樣法修正

為提高MC法的抽樣效率，通過改變隨機抽樣的“重心”，增加結構功能函數g(x)<0的機會，使得抽取的樣本點有較多的機會落入失效域內，這就是重要抽樣法的基本思想。

結構失效概率的表達式如下：

(6)

式中，px(x)為重要抽樣概率密度函數;I(g(x))為示性函數。

為了避免FORM法處理高度非線性結構功能函數所產生的誤差，本文根據重要抽樣思想對FORM法的可靠度計算結果進行了修正。

重要抽樣法的關鍵在于如何獲得真實驗算點的位置[15]，而本文所提出的改進Kriging響應面法能夠找到較為精確的驗算點，故可以采用重要抽樣法對FORM法得到的可靠度指標或失效概率進行修正。迭代過程中得到的可靠度指標和驗算點是不同的，因此沒有必要對每次迭代的計算結果均進行修正，只需修正最后一次迭代的計算結果。

4 算法流程

結合上述提出的改進措施，基于雙點加點策略的改進Kriging響應面法的可靠度計算流程見圖4，具體步驟如下。

圖4 可靠度算法流程圖Fig.4 Reliability algorithm flow chart

(3)優化參數θ，并由初始樣本點集合X0和相應樣本點的真實結構功能函數值集合Y0來構造結構功能函數g(x)的優化Kriging模型。

(4)采用FORM法求解當前驗算點(x*)(k)及其可靠度指標β(k)，k(k=0,1,2,…)為序列號。

(5)計算當前驗算點(x*)(k)的真實結構功能函數值(y*)(k)，并將該點加入樣本庫Sk中。

(8)計算當前最佳樣本點(x′)(k)的真實結構功能函數值(y′)(k)，并將該點也加入到樣本庫Sk中。

(9)返回步驟(3)，直到前后兩次失效概率滿足如下收斂條件：

(7)

其中，ε一般取0.001。

(10)以驗算點(x*)(k)為重要抽樣中心，采用重要抽樣法對計算結果進行修正。

5 算例

5.1 算例1

簡支梁結構如圖5所示，集中力偶Me作用在截面C處，已知b=1.2 m，L=2 m，該結構功能函數可表示為

(8)

式中，Me為施加的力偶，kN·m；D為梁截面的直徑，m。

圖5 簡支梁示意圖Fig.5 Schematic diagram of simple supported beam

本算例將式(8)中的Me、D作為隨機變量，其分布參數見表1。

表1 隨機變量的分布參數(算例1)Tab.1 Distribution parameters of random variables(case one)

圖6 遺傳算法對參數θ的優化過程Fig.6 Optimization process of θ by genetic algorithm

本文采用均勻設計生成40個初始樣本，圖6所示為參數θ的迭代優化過程，遺傳代數為50，種群數量為100，可以看出，迭代到第30代后處于收斂狀態，目標函數最優值為0.06×10-3。

為了與優化Kriging模型相比較，筆者構造了基于本文所提方法的標準Kriging模型進行可靠度計算，圖7給出了兩種模型的可靠度指標迭代過程，可以看出，標準Kriging模型共迭代了7次，優化Kriging模型迭代了6次。兩種模型迭代過程中的新增樣本點分別見圖8和圖9。對比圖8和圖9中的驗算點和最佳樣本點可知，與標準Kriging模型相比，優化Kriging模型的驗算點和最佳樣本點更加貼近極限狀態曲線，這表明優化Kriging模型產生的驗算點和最佳樣本點的重要性較高，能夠在有限的樣本數量下更好地反映可靠度的計算結果。由圖10可以看出，在驗算點處兩種模型擬合的曲線均與真實極限狀態曲線幾乎完全重合，其中優化Kriging模型的全局擬合效果更好。

圖7 可靠度指標迭代過程Fig.7 Iterative process of reliability index

圖8 優化Kriging模型的新增樣本點Fig.8 New sample points in the optimized Kriging model

圖9 標準Kriging模型的新增樣本點Fig.9 New sample points in the standard Kriging model

圖10 Kriging模型擬合的極限狀態曲線與真實極限狀態曲線Fig.10 Limit state curve fitted by Kriging model and the real limit state curve

表2列出了本文所提算法、經典響應面法(classical RSM)、Kriging響應面法(Kriging RSM)、重要抽樣+Kriging模型(IS+Kriging)、重要抽樣+BP神經網絡模型(IS+BPANN)和MC法的可靠度計算結果，其中由MC法得到的結果為精確解并用于精度檢驗。通過比較各方法的結果可以發現，本文提出的基于雙點加點策略的改進Kriging響應面法的計算結果精度和計算效率均有良好表現，且優化Kriging模型可以獲得更高的計算精度。與經典響應面法和Kriging響應面法相比，改進Kriging響應面法的計算量大幅減少，這是因為該方法在迭代計算過程中，每次迭代只增加兩個高質量的樣本點，同時在下一次迭代時，并不舍棄之前的樣本點，而是重復利用這些點來構造Kriging模型，這與經典響應面法在展開點處重構模型(舍棄前次迭代的樣本點)有著本質的區別。由于IS+Kriging法和IS+BPANN法均為一步可靠度求解，不需要迭代計算，這樣對初始樣本的要求較高，其中IS+BPANN法的計算結果精度雖然很高，但由于BP神經網絡對初始樣本的依賴性較強，因此需要大量的樣本點來構造該模型；IS+Kriging法的計算量雖不大，但精度達不到要求。

表2 不同方法的計算結果比較Tab.2 Comparison of calculation results with different methods

最后分析不同的加點方式對Kriging響應面法的影響，除本文所提出的雙點加點策略，筆者規定：單點加點策略Ⅰ，每次迭代只增加一個驗算點；單點加點策略Ⅱ，每次迭代只增加一個最佳樣本點。

每種加點方式的驗算點迭代過程見圖11，單點加點策略Ⅰ迭代11次收斂到驗算點坐標(2 058.147 5 kN·m,55.1 mm)，計算了57次結構功能函數，可靠度指標為3.181 7；單點加點策略Ⅱ迭代8次收斂到驗算點坐標(2 060.765 6 kN·m，55.2 mm)，計算了55次結構功能函數，可靠度指標為3.183 2；雙點加點策略迭代6次收斂到驗算點坐標(2 059.093 1 kN·m，55.1 mm)，計算了55次結構功能函數，可靠度指標為3.186 7。

1.單點加點策略Ⅰ坐標(2 058.147 5 kN·m,55.1 mm) 2.單點加點策略Ⅱ坐標(2 060.765 6 kN·m，55.2 mm) 3.雙點加點策略坐標(2 059.093 1 kN·m，55.1 mm)圖11 驗算點迭代過程Fig.11 Iterative process of checking point

綜合上述分析得出，在考慮精度和效率時，與單點加點策略相比，同時增加驗算點和最佳樣本點能夠加速驗算點迭代收斂，其計算結果也更加精確。

5.2 算例2

某集裝箱馱背車上的活動鞍座結構見圖12，材料為Q450EW高強度耐候鋼，有限元模型及加載情況見圖13。結構功能函數要求結構最大應力小于材料屈服極限，即

g=450-σs(Fv,E,ρ,t1,t2,t3)

(9)

式中，σs為應力函數；Fv為垂直向下的集中力；E為材料彈性模量；ρ為材料密度；t1、t2、t3分別為頂板、支撐臂及支撐墊板的厚度。

圖12 活動鞍座結構Fig.12 Structure of active saddle

圖13 有限元模型及邊界條件Fig.13 Finite element model and boundary conditions

本算例將上述參數作為隨機變量，其具體參數分布見表3。

表3 隨機變量的分布參數(算例2)Tab.3 Distribution parameters of random variables (case two)

采用本文方法計算該結構可靠度，其計算結果和500次MC法校驗結果見表4。從表4中可以看出，本文所提方法具有良好的計算精度，僅計算了34次結構功能函數，與500次抽樣相比，顯著減少了計算量。

表4 計算結果Tab.4 Calculation results

6 結論

(1)在Kriging響應面法的基礎上，通過定義評價函數和新的內插公式，提出了雙點加點策略來更新Kriging模型，并利用遺傳算法優化參數θ，以充分發揮有效樣本點的信息，使Kriging模型在真實功能函數的驗算點處精確擬合。并結合重要抽樣法進行修正，提高了可靠度計算結果精度。

(2)算例分析結果表明，優化Kriging模型相比標準Kriging模型能夠更加準確地模擬結構功能函數。與其他方法相比，本文方法減少了功能函數的計算次數，且得到的可靠度計算結果與MC法產生的精確值更加接近。