3-CPS并聯機器人的機構分析及仿真研究

(遼寧工程技術大學 機械工程學院，遼寧 阜新 123000)

并聯機器人具有精度高、承載能力強、剛度大、速度快的優點，逐漸成為國內外研究的熱點，理論也逐漸成熟，尤其對六自由度并聯機器人的研究越來越廣泛[1]。傳統Stewart平臺具有支鏈運動耦合、工作空間小等缺點。因為實際應用中會有局部幾個自由度精度高于其他的自由度的應用情況，例如大型望遠鏡的子鏡運動中，其piston 和tilt/tip方向的運動誤差對成像質量的影響遠遠高于其他自由度方向的運動誤差，如果采用Stewart平臺，由于平臺的旋轉對稱性，為了獲得穩定的精度和低程度的振動，需要Stewart平臺的6個驅動器的精度保持一致，為保證子鏡較高的運動精度而選擇6個高精度的驅動器很不經濟[2]。

1 機構介紹

1.1 機構模型簡介

如圖1所示，為該機構的Pro/E模型圖，該機構在等邊三角形底座的3個角上各設置一個與之垂直的立柱，在這3個豎直圓柱副的輸出構件的末端各固定連接一個水平移動副，每個可伸縮的水平擺臂桿與底座的三邊相應地成一定角度；每個水平移動副的輸出構件末端再固定連接一個球副，用來與上方動平臺連接。為了達到使機構運動解耦的目的，每組支鏈中的兩個驅動器采用正交連接的方式，每組支鏈中的可伸縮立柱采用3個相同精度的線性步進驅動電機進行豎直方向驅動，3條水平伸縮擺臂桿采用3個相同精度的水平方向驅動的線性步進驅動電機，從而達到運動解耦的效果[3]。

圖1 機構的模型示意圖

1.2 機構自由度計求解

該機構具有3條相同的支鏈，每條支鏈是由運動副和構件按一定方式連接而成，組成閉環結構，從定平臺到動平臺的運動副依次為：圓柱副、移動副、球副，構成一種新型的3支鏈六自由度擺臂式并聯機器人機構。

其自由度數可有下式核定：

(1)

式中，F為機構自由度數；n為機構中構件數；g為機構中運動副數；fi為機構第i個運動副的自由度數[4]。

根據上文描述，在此機構中n=1+3+3+1=8，g=3+3+3=9，∑fi=(2+1+3)×3=18。

可以算出：

F=6×(8-9-1)+18=6

該機構具有6個自由度。

1.3 機構坐標系的建立

為了便于后續的分析，建立機構的坐標系如圖2所示。在機構底座上建立靜坐標系O(X-Y-Z)，靜坐標系固連在定平臺上，原點O位于ΔA1A2A3外接圓圓心，X軸沿OA1方向，Z軸垂直于三角形底座豎直向上，由右手螺旋法則可獲得Y軸的方向。動坐標系O′(X′-Y′-Z′)固連于動平臺上，原點O′位于ΔC1C2C3外接圓圓心，在初始位置時與靜坐標系X軸方向一致，Z′軸垂直于動平臺豎直向上，在初始位置時與靜坐標系Z軸在同一直線上，Y′軸由右手螺旋法則獲得。

圖2 機構簡圖及坐標系示意圖

2 機構運動學分析

2.1 機構反向運動學求解

對于分析機構反向運動學問題，要根據給定的3個位置的位移變換和歐拉角變換求出機構位置變化后連接點在靜坐標系中的坐標，通過歐氏距離公式可以得到3條豎直可伸縮立柱桿和3條水平可伸縮擺臂桿的長度變化量[5]。因此，建立機構動平臺運動前后的相對位置變化的示意圖，如圖3所示。

圖3 機構動平臺變化相對位置示意圖

(2)

式中，Rn為坐標變換矩陣[6]；點1′,2′,3′在靜坐標系O(X-Y-Z)中的坐標表示為xn，yn和zn，則

(3)

式中，h0為并聯機構豎直圓柱桿的初始高度，動平臺的平移量由3個變量表示為Δx，Δy和Δz，則

(4)

式中，x，y，z為點1,2,3在靜坐標系O(X-Y-Z)中的坐標。

由于該并聯機器人的解耦特性，點1′,2′,3′的Z軸坐標只由豎直桿的高度決定，其次并聯機構在不同姿態下水平擺臂桿的長度li為

(5)

式中，x0和y0分別代表點1,2,3在靜坐標系O(X-Y-Z)中X軸和Y軸的分量，求相應桿長度時，分別代入桿端相應點的坐標，初始狀態下3條水平擺臂桿的長度相同，所以3條水平擺臂桿的初始長度l0為

(6)

可以求得3條可伸縮水平擺臂桿的長度變化量Δli為

Δli=li-l0

(7)

2.2 機構正向運動學求解

對于機構的運動學正向運動學分析，是已知可伸縮豎直圓柱桿和可伸縮水平擺臂桿的長度h1，h2，h3和l1，l2，l3，求解機構動平臺的位置姿態。通常情況下，給定一組豎直桿和水平桿的長度，將會有很多種平臺結構，在數學問題中，多解是存在的，而在實踐中，具體情況只有一種。為了解決運動學正解問題，已經研究出很多種方法，其中大多數是基于迭代的數值解法[7]。

其基本原理是，選取機構位姿坐標作為迭代變量，以某一個適當的近似數值作為初值，代入坐標轉換公式，解出球副點C1、C2、C3的位置坐標。依據已知的支鏈長度修正點Ci(i=1,2,3)的坐標，重新求解迭代變量，如此反復，逐次逼近C1、C2、C3的真實位置。

2.2.1 初值的賦值

根據3-CPS六自由并聯機構的結構特征，和已知的水平桿、豎直桿的長度，可以采用線性近似的方法，確定初值。這里采用一種簡單的初值給定方法，稱為中立位置賦值法[8]。比較粗糙的初值，既可以檢驗算法對初值的敏感程度，也可以看出算法的廣泛適應性。求解近似位姿的初值選取如下：

α0=0，β0=0，γ0=0

式中，α，β，γ分別為機構動平臺繞X軸、Y軸、Z軸轉動的角度。

2.2.2 迭代求解過程

點Ci(i=1,2,3)在定坐標系O(X-Y-Z)中的坐標Ci0(i=1,2,3)，用坐標轉換公式求出Ci，新的Ci的坐標，不一定是真實的上平臺球副中心位置坐標。對于六自由度并聯機器人，需要修正Ci的3個坐標。為此做如下修正，修正后Ci的坐標為Ci0，設點Ai和Ci之間的距離為Li，則有

(8)

調整坐標后的C1、C2、C3更接近機構中對應的3個球鉸的真實位置。利用修正后C1、C2、C3的坐標，計算得到新的迭代變量。已知不共線的三點構成一個平面，計算修正后的Ci0即可得到機構的新位姿為

(9)

新的迭代變量姿態坐標

(10)

式中，γ為機構繞Z軸轉動的角度。

已知C1、C2、C3三點不共線，以此三點代替動平臺平面，設該平面的法線方向為(NX,NY,NZ)，由三維空間幾何知識可得

(11)

式中，x1為C10x；y1為C10y；z1為C10z；以此類推。

進一步即可求得機構繞X軸轉動的角度α和繞Y軸轉動的角度β，則

(12)

(13)

迭代次數越多，誤差越小，判斷迭代收斂的條件為

Δmax≤δ

(14)

式中，Δmax為求出的每一個新參數與上一次參數差值的絕對值中的最大值，δ作為收斂條件用于控制計算精度。

如果不符合收斂條件，則令x0=x1，y0=y1，z0=z1，α0=α1，β0=β1，γ0=γ1并重新進行迭代。如果符合收斂條件則完成迭代。

3 機構速度和加速度分析

根據機構位置正解和逆解的分析，將點Ci和Ai的坐標設為已知量，進一步對機構的速度和加速度進行分析。

3.1 機構的速度分析

由向量AiCi并代入點Ci的坐標，則

Li=R[xciycizci]T+T-OAi

(15)

對式(15)兩邊分別求導，由于坐標原點O到點Ai的距離不變為常量，所以求導后為0，則

(16)

因為機構具有部分解耦特性，式(16)中點乘相應的方向向量便可得到機構水平桿和豎直桿的速度并整理，則可得

(17)

式中，ω和T的導數即為機構上部動平臺的在靜坐標系下的角速度和平移速度。

3.2 機構的加速度分析

在速度分析的基礎上，繼續作微分求解，即可得到機構的加速度，由于水平桿的矢量求導即為向量Li的x和y分量，則可整理得出

(18)

式中，方向向量ni的導數為

(19)

4 數值仿真

4.1 機構反向運動學模型的數值仿真

完成運動學求解后，對運動學的逆解進行數值驗證[9]，從并聯機構的初始狀態開始，在X軸和Y軸方向進行[-20 mm,20 mm]的平移和[-2.86°,2.86°]的旋轉，Z軸方向進行[-10 mm,11 mm]的平移和[-2.86°,2.86°]的旋轉，如圖4～圖7所示，為4個典型的上部動平臺在X軸和Z軸方向的平移和旋轉的運動學仿真非線性關系圖，圖中act1v，act2v，act3v和act4h，act5h，act6h分別代表3個豎直方向的驅動器和3個水平方向的驅動器。

從圖4可以看出，在X和Y方向的平移運動主要由3個水平方向驅動器act4h，act5h，act6h提供。

從圖5可以看出，繞X軸和Y軸方向的旋轉運動主要由3個豎直方向驅動器act1v，act2v，act3v提供，而與Z方向的平移運動和繞Z軸的旋轉運動無關。

圖4 驅動器在X軸方向直線運動非線性關系圖

圖5 驅動器繞X軸旋轉運動非線性關系圖

圖6 驅動器在Z向直線運動非線性關系圖

圖7 驅動器繞Z軸旋轉運動非線性關系圖

從圖6和圖7可以看出，解耦特性主要在Z方向的平移和繞Z軸的旋轉，Z方向的平移運動只由3個豎直線性驅動器act1v，act2v，act3v決定，而繞Z軸的旋轉運動只由3個水平方向的線性驅動器act4h，act5h，act6h來決定，即便并聯機構在任意其他姿態而不是初始狀態，其他驅動器也不會對Z方向的平移和繞Z軸的旋轉造成影響。

通過分析4個典型的上部動平臺在X軸和Z軸方向的平移和旋轉的運動學仿真非線性關系圖，表明該并聯機構按照預期運動解耦，具有良好的解耦和旋轉對稱性[10]。

4.2 機構正向運動學模型的數值仿真

在正向運動學求解的基礎上，通過對每一個驅動器的位移范圍進行掃描，分別對上部動平臺進行6次位移輸出，從而對機構的線性度進行了研究，豎直驅動器運動模擬仿真圖如圖8所示，機構運動的非線性影響如圖9所示。

圖8 豎直驅動器運動模擬仿真圖

圖9 驅動器運動線性關系影響圖

從圖8和圖9可以看出，在實際位移跨度超過[0,11]mm的范圍時，動平臺的6個位移均呈現出超線性，其中線性度最大的偏差為2.5%。旋轉中的非線性可以忽略不計，X和Y方向的旋轉只有約0.1‰的偏差，而Z向旋轉驅動11 mm只導致了小于1 arcmin的誤差[11]。

5 誤差分析

完成機構運動學仿真分析后，對該六自由度并聯機器人驅動器的精度進行了誤差分析。采用的是蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)仿真分析方法，MC方法同時又可稱為統計實驗法或隨機模擬法，是一種以概率論為理論基礎的可靠性評估方法，MC分析方法在機構的精度評估中已經得到了廣泛的應用[12]。

首先選定兩種自由度組合，分別是X軸和Y軸方向的移動，繞X軸和Y軸的轉動，基于高斯的中心極限定理，通過Matlab仿真軟件進行仿真計算[13]，得出并聯機器人動平臺在選定的兩種自由度組合下的誤差分布圖，X軸和Y軸方向的移動誤差分布圖如圖10所示，X軸和Y軸方向的旋轉誤差分布圖如圖11所示，可以以其標準偏差為評估值，1σ代表動平臺在X和Y方向移動1.7 μm，繞X軸、Y軸旋轉1.7 arcsec 的誤差值。

圖10 X和Y方向移動誤差分布圖

圖11 X和Y方向旋轉誤差分布圖

X和Y方向的移動是由3個水平方向的驅動器來控制的，因此從圖10可以看出3個水平方向的驅動器的誤差均勻地分布在[-7 μm,7 μm]范圍內。

X和Y方向的旋轉是由3個豎直驅動器來控制的，因此從圖11中可以看出，3個豎直方向的驅動器的誤差均勻地分布在[-5 arcsec,5 arcsec]范圍內。

從圖10和圖11中可以看出每個驅動器的誤差均勻地分布在一個有界范圍[-5σ,5σ]內，并且根據正態分布的性質，正負誤差具有對稱性[14]，所以傳遞到末端動平臺位姿誤差也是有界的。研究表明，該機構的3個相同豎直驅動器的精度與傳統六自由度Stewart并聯機器人中采用的高精度驅動器精度相同，而3個水平驅動器采用3個相同的普通精度的驅動器即可滿足大型天文望遠鏡子鏡較高的運動精度，相比傳統六自由度Stewart并聯機器人，3-CPS并聯機器人可以用3個相同高精度驅動器和3個普通精度驅動器代替傳統六自由度Stewart并聯機器人中6個相同高精度驅動器，從而降低了生產成本。

6 結束語

本文運動學分析中應用了矩陣代數法和數值迭代法，進一步推廣了這兩種方法在并聯機器人運動學分析中的應用，是運動學分析方便有效的工具。

通過運動學仿真分析，表明該三支鏈六自由度的并聯機構具有獨特的運動解耦優勢，有利于運動控制，并且具有良好的線性和旋轉對稱性，允許動平臺和底座平面共面和相互穿越，適用于工作空間高度小而位移及自轉范圍較大的場合[15]，解決了傳統Stewart平臺支鏈運動耦合、工作空間小的問題。

由于該機構獨特的構型設計，可以應用于大型天文望遠鏡支撐平臺。通過誤差分析表明，該機構的豎直驅動器采用3個相同的高精度驅動器，3個水平驅動器采用3個相同的普通精度驅動器即可，大大降低了生產成本，使得該機器人更適用于生產實踐。