密度矩陣恢復的一種改進FPCA算法

楊鑫剛

摘要：矩陣恢復是一項非常有意義的工作。針對量子力學中的密度矩陣，本文在近似奇異值分解基礎上的不動點迭代算法（FPCA）的基礎上，提出了更適合的改進算法。從數值實驗來看，取得了很好的效果。

關鍵詞：密度矩陣;矩陣恢復;FPCA算法;數值實驗

中圖分類號：TP311? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）20-0289-02

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Abstract： Matrix recovery is a very meaningful job. Aiming at the density matrix in quantum mechanics， this paper proposes a more suitable improved algorithm based on the fixed point iterative algorithm （FPCA） based on approximate singular value decomposition. From the numerical experiments， good results have been achieved.

Key words： density matrix;matrix recovery; FPCA algorithm;numerical experiment

1 引言

近年來，量子信息技術取得了突飛猛進的進展，量子科學的研究已經成為廣大學者研究的熱點[8， 11， 12]。密度矩陣是量子信息和量子通訊中的一個重要概念，量子力學的全部假設都可以以密度矩陣的語言描述[3]。因此，密度矩陣的研究具有重要的理論和應用意義。

從線性測量結果中恢復出密度矩陣是量子信息中的一個重要課題。對于任意一個[N]量子比特的密度矩陣，若是完全恢復它至少需要[2N]個測量才能完全恢復它。也就是說，測量設備的需求將會隨著量子態的比特數成指數倍增長。這給量子態密度矩陣的恢復帶來巨大困難。但是，在特殊情況（譬如密度矩陣是稀疏的）下，需要測量的個數將大大減少。關于稀疏矩陣的恢復問題，近年來，已經有不少方法出現[5-7]。他們都各自在不同的方面有效解決了某一類矩陣恢復問題，但是到目前為止，還沒有一種能夠很好解決所有矩陣恢復問題的方法。本文針對量子態的密度矩陣，提出一種比較先進的恢復算法，在迭代次數方面有很大改進。

矩陣恢復問題的本質是通過對目標矩陣部分元素的測量結果來恢復出目標矩陣。通過解最優化問題（1.1），絕大多數[r]階的[n1×n2]矩陣可以很高的概率被恢復[1]：

在基追蹤問題中，若是[b]被噪聲污染，則約束條件[ΑX=b]必須放松，于是我們得到新問題

其中[θ]和[μ]是參數。

本文在近似奇異值分解基礎上的不動點迭代（FPCA）算法[2]的基礎之上，結合密度矩陣的對稱性和正定性的特點，對算法做出改進，取得了較好的恢復效果。

2 近似奇異值分解基礎上的不動點迭代算法（FPCA）

不動點迭代算法是式子（1.3）的一種解法。其主要迭代過程如下：

運行算法2.1，利用算法2.2來求解算法2.1的最后一行，并利用奇異值分解的近似算法[4]來計算算法2.2中的奇異值分解，就得到了求解問題（1.3）的近似奇異值分解基礎上的不動點迭代（FPCA）算法。FPCA算法對于大型稀疏矩陣的恢復問題有自己的比較大的優勢[2]，但是對于特殊的密度矩陣，需要對算法進行修正才能得到更好的效果。

3 改進的近似奇異值分解基礎上的不動點迭代算法（改進的FPCA）

密度矩陣是跡為1的半正定軛米矩陣[10]。若是用FPCA算法來恢復矩陣，算法迭代過程中并沒有保持密度矩陣的特性，這就造成了迭代次數的增加。基于文獻[9]的啟發，進行奇異值分解之前本文增加了矩陣的軛米化，并且用特征值分解代替奇異值分解，不但減少了算法的迭代次數而且保持了密度矩陣[X]的特性。

運行算法2.1，利用算法3.1來求解算法2.1的最后一行，并利用奇異值分解的近似算法[4]來計算算法3.1中的奇異值分解，就得到了求解問題（1.3）的改進的FPCA算法。算法的收斂性框架見參考文獻[2]。

4 數值計算實例

在本節，我們將通過數值實驗對近似奇異值分解基礎上的不動點迭代算法（[FPCA]）和修正算法[（改進的FPCA）]進行比較。所有的實驗都是在相同的工作環境下進行的。

在實驗中，我們發現，對于密度矩陣而言，在精度不降低的情況下，修正算法具有較好的恢復速度（見表1和圖1）。

5 結論

以FPCA算法為基礎，本文提出了針對密度矩陣的改進算法。從數值計算結果來看，改進FPCA算法在保持精度的條件下，收斂速度大大提高。

參考文獻：

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【通聯編輯：李雅琪】