大學視角下的中學數學(泰勒展開)

李尚志

(北京航空航天大學 100083)

例1(2018理科數學全國卷Ⅲ第21題)

已知函數f(x) = (2 +x+ax2) ln(1+x)-2x.

(1) 若a=0, 證明: 當-10 時,f(x)>0.

(2) 若x=0 是f(x) 的極大值點, 求a的值.

大學視角

(1)

一般地, 設f(x) =f(c)+am(x-c)m+am+1(x-c)m+1+…是無窮級數且am≠0 是常數項之外最低次非零項的系數. 則當x→c時f(x)-f(c) = (x-c)m[am+am+1(x-c)+…]，方括號內的λ(x) =am+am+1(x-c)+…→am, 在c附近足夠小的區間(c-d,c+d) 內, |x-c| 足夠小,λ(x) 足夠接近am, 正負號與am相同.f(x)-f(c)與m次項am(x-c)m正負號相同.

當m是奇數,x-c<0 與x-c>0 時f(x)-f(c) 的正負號相反, 一正一負,f(c)既不是極大值也不是極小值.

當m是偶數, 只要x-c≠0 都有(x-c)m>0. 當am<0 時都有f(x)-f(c)<0,f(c) 是極大值. 當am>0 時都有f(x)-f(c) > 0,f(c) 是極小值.

中學生只要背熟了泰勒展開式

中學解法

首先,f(x)=0.

h(0)=0,

當x>0,h′(t)>0 對區間(0，x] 內所有t成立.h(t) 在區間[0，x]由h(0)=0 遞增到h(x)=f′(x) > 0. 區間(0,x) 內所有f′(t)>0.f(t) 在區間[0,x] 內由f(0) 遞增到f(x)>0. 這證明了f(x)>0 對所有x>0 成立.

當-10.

這說明f′(t)>0 對區間[-1,0) 內所有t成立,f(t) 在區間內單調遞增到f(0)=0, 可知f(x)<0 對所有-1≤x<0 成立.

(2)f(x) 在定義域(-1,+∞) 有任意階導數.f(0) 是極大值, 就是說0 附近某區間(-d,d) 內其它值f(x)

當x<0 到0,f(x) 由0, 令x→0得f′(0) ≥ 0.x=0 到x>0,f(0) 到f(x)

f′(0)=0, 且f″(x)<0 對0附近某區間內x≠0都成立, 這是f(0) 為極大值的充分必要條件.

計算得

f′(0)=0.

f″(0)=0.

f(0) 是極大值?在x=0 左右附近有g(x)=f″(x)<0=g(0),這又要求g(0) 是極大值, 必須g′(0)=0.

區間(-1,4) 內λ(x)>0,g′(x)=-xλ(x) 的正負號與x相反,在區間(-1，0) 內g′(x)>0, 區間(0，4) 內g′(x)<0.g(x) 在區間(-1，4) 遞增到g(0)=0 再遞減, 當x≠0 都有f″(x)=g(x)<0, 這與f′(x)=0 一起保證了f(0) 在(-1，4)內是最大值, 也是極大值.

第(2)小題解法2當x→0, 2+x+ax2→2>0. 0 附近足夠小區間(-d，d) 內, 2+x+ax2足夠接近2, 也有2+x+a2>0.f(x) 在區間(-d，d) 內的正負號與

相同.f(0) 是極大值?q(0) 是極大值?0 附近某區間(-h，0) 內

點評解法2的優點是: 先用除法將與ln(1+x) 相乘的2+x+ax2剝離, 只求一階導數就把對數函數消去, 化成分式. 容易判定q′(x) 在x=0 附近取值的正負號, 不需要高階導數, 也不需要再求極限.

(Ⅰ) 求a，b的值.

對函數f(x)計算得f(1)=b=1,

(Ⅱ) 題目要求當x>0 且x≠1 時

當x>0,x≠1, 由x+1>0，d(x)>0 得

當x→1 時上式左邊的極限為h′(1)=-2k≥0, 必須k≤0.

當x>1,h(1)=0 單調遞增到h(x)>0,

k的取值范圍為(-∞，0].

本題函數d(x) 在x=1無意義, 無法由d(1)的值和區間(0,+∞)上的導數d′(x) 判定區間各點的d(x) 值. 乘x2-1 之后得到的h(x)在所有各點(包括x=1 ) 都有函數值和導數值. 而且導數h′(x) 不含對數函數. 將h(x) 在各點的值判斷清楚了,d(x) 在x≠1 的各點的值也都清楚了.

借題發揮泰勒運籌, 求導實施

1. 舉一反二. 具備了基礎知識的考生都知道f(0) 是極大值的一個必要條件是f′(0)=0. 常規考試題一般都有f″(0)<0 來保證0 附近左右兩邊的f″(x)<0,f′(x) 左正右負, 從而保證f(0) 是極大值.本題卻故意讓f″(0)=0 來增大難度, 把只會用現成方法的考生刷下去, 幫助能夠靈活運用現成方法的考生脫穎而出. 所謂“靈活運用現成方法”, 當然不是讓你用泰勒展開, 也不是讓你用洛必達法則, 因為泰勒展開和洛必達法則都不是現成方法, 而是新的知識和方法. 我不能猜測出題人希望你用哪一種現成方法. 我能想到的是: 當f″(0)=0, 如果二階導數g(x)=f″(x) 在x=0 左右兩邊的取值g(x)<0 都為負,g(0) 又是極大值. 將f(0) 取極值的條件f′(0)=0 用到g(x) 身上得到g′(0)=0, 當g″(0)<0 就得到g(0)=0 是極大值, 從而f(0) 也是極大值. 這是將現成方法用兩次, 可以叫做舉一反二, 還不是舉一反三.

假如認識到當x→0，

的極限就是函數f″(x) 在x=0 的導數f?(0), 就不必費盡心機去求極限, 只要套公式求f″(x) 的導數就行了.

假如你不懂三階導數, 或者怕使用了三階導數被判為超綱而扣分.那很好辦: 將二階導數f″(x) 改個名字記為g(x), 忘掉它是二階導數, 再求導數就變成一階導數g′(0), 而沒有三階導數了. 甚至如果你對二階導數都感到害怕, 可以將一階導數f′(x) 記為h(x), 二階導數f″(x)=h′(x) 就變成一階導數了. 不需要學習新知識, 沒有新困難.

3. 洛必達隱身避超綱

很多考生看不出當x→0 時

(2)

其實我很贊成中學老師這種觀點: 中學生提前學了大學知識,只要用得正確, 就應該鼓勵而不應該打擊. 問題在于: 第一, 你用得正確嗎?第二, 既然人家見了“洛必達”三個字就要扣分, 你難道就沒有辦法回避這三個字, 換湯不換藥, 用中學教材上講過的方法將極限求出來?

如果你真是“超綱”學會了大學微積分, 這兩個問題都迎刃而解.

第一, 大學怎樣求這個極限? 不是用洛必達法則, 而是

用的是微分學兩個基本極限之一:

(3)

高考考生不是大學生, 不能按大學標準要求, 而應該按中學要求.中學生應該怎樣來求這個極限呢? 中學教材沒有講e的基本極限, 更沒有講洛必達法則, 但是講了導數公式, 也講了導數定義. 就應該用導數定義和導數公式來求. 高考中是否準許用洛必達法則, 爭吵了很多年, 糾結的幾乎都是這“兩個”極限

f(x)=lnx，

其實, 凡是可以用洛必達法則求極限的, 通通都可以用導數定義來代替, 洛必達三個字可以一律不用. 例如, 當x→0 時f(x)→0,f(x)除以x的商的極限

一般地, 當x→c兩個函數f(x)，g(x) 都趨于0, 它們的比的極限

這就是用導數定義推出洛必達法則. 為了避免超綱扣分, 你不說它是洛必達法則, 自己用導數定義重新推出來, 不用洛必達之名, 只用中學允許的知識, 仍然將極限化成了導數. 例如, 當x→1 時求極限

雖然這樣的題目難度超綱, 但如果真的遇到了, 以上解法只用了導數定義和導數公式, 沒有出現洛必達三個字, 并沒有超綱.

(未完待續)