大中銜接從北京物理高考24題談空氣阻力

胡繼超 陳 曦

(中國人民大學附屬中學，北京 100080)

北京市高考物理試卷近年積極創新，將微觀與宏觀的結合，鼓勵同學利用所學物理知識解決生活問題，今年北京市高考物理第24題就是一道非常有趣的問題。題目內容如下：

雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。

(1) 質量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

(2) 將雨滴看作半徑為r的球體，設其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數。

a． 設雨滴的密度為ρ，推導雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關系式；

b． 示意圖中畫出了半徑為r1、r2(r1>r2)的雨滴在空氣中無初速下落的v-t圖線，其中________對應半徑為r1的雨滴(選填①、②)；若不計空氣阻力，請在圖中畫出雨滴無初速下落的v-t圖線。

(3) 由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f∝v2(提示：設單位體積內空氣分子數為n，空氣分子質量為m0)。

標準解答如下：

(1) 根據動能定理

可得

(2) a． 根據牛頓第二定律

mg-f=ma

得

當加速度為零時，雨滴趨近于最大速度vm，雨滴質量

由a=0，可得，雨滴最大速度

b． ①

如答圖2。

答圖2

(3) 根據題設條件：大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。以下只考慮雨滴下落的定向運動。

簡化的圓盤模型如答圖3。設空氣分子與圓盤碰撞前后相對速度大小不變。在Δt時間內，與圓盤碰撞的空氣分子質量為

Δm=SvΔtnm0

答圖3

以F表示圓盤對氣體分子的作用力，根據動量定理，有

FΔt∝Δm×v

得

F∝nm0Sv2

由牛頓第三定律，可知圓盤所受空氣阻力

f∝v2

采用不同的碰撞模型，也可得到相同結論。

一道好題，總是會激發同學們的思考，此題解罷，自然會有好奇心強的同學提出疑問，空氣阻力大小究竟和速度的二次方成正比還是與速度的一次方成正比。

物體所受的空氣阻力通常由3部分構成，第一是氣流撞擊物體所產生的阻力，也就是本題讓我們求解的部分；第二是摩擦阻力，通常情況，車輛即使高速行駛，氣流與車身的摩擦阻力也基本可以忽略不計；第三則是外形阻力，當物體向前運動的時候，會在后面形成一個真空區，從而導致周圍氣體分子加速運動，這部分阻力與氣體的黏滯系數、雷諾數以及外形(空氣阻力系數)有關，在高速運動中，這部分阻力占有主要作用。

這里我們先考慮對于雨滴這樣的低速運動物體來說，如何利用碰撞模型計算圓盤形雨滴下落時，氣流撞擊產生的空氣阻力。

在碰撞模型中，應該把氣體分為兩部分，一部分是圓盤下方的氣體，一部分是圓盤上方的氣體，當圓盤以速度V下落時，被圓盤上方和下方的氣體分子同時碰撞，產生的作用力之差為圓盤受到的由碰撞產生的空氣阻力。因為氣體分子熱運動的不規則性，同時與圓盤碰撞的氣體分子有不同的速度大小與速度方向。

圖1

如果氣體稀薄(氣體分子的自由程大，與圓盤碰撞后的氣體分子不會碰撞周圍其它分子)，且圓盤的速度緩慢，我們可以認為圓盤的運動并不改變氣體中分子按照速度分布的函數。取豎直向下建立z軸，此時，我們可以設在圓盤的下側，豎直向上分速度為vz i的氣體分子有ni個，則在Δt時間內，在圓盤的下表面以該vz i分速度與圓盤碰撞的氣體分子位于一個以S為底，以(V+vz i)Δt為高的圓柱體內， 其數目為Ni=niS(V+vz i)Δt。這些氣體分子在z軸方向上相對圓盤的初速度為V+vz i，碰撞后對圓盤的速度大小也為V+vz i，故氣體分子對地的速度大小為2V+vz i，若氣體分子質量為m，其動量變化量Δp=m(2V+vz i-(-vz i))=2m(V+vz i)。

由動量定理可知，圓盤給這部分氣體分子的作用力

在圓盤速度很低時，可以認為圓盤上方豎直方向分速度豎直向下的氣體分子也會都撞擊到圓盤上，并產生大小為

f上i=2mniS(vz i-V)2

的作用力，則兩個作用力之和為

由牛頓第三定律可知，以豎直方向分速度大小vz i運動的粒子對圓盤的作用力大小也為8mniSVvz i，方向豎直向上。

對不同vz運動的粒子與圓盤的作用力求和，可得圓盤所受的空氣撞擊產生的阻力

雖然高中生并不知道ni的具體分布函數(麥克斯韋分布律)，但顯然這個阻力與圓盤下落速度的一次方成正比。

該結論適用于圓盤速度非常小的情況，此時可以認為圓盤上方所有向下運動的氣體分子都可以撞到圓盤，而圓盤下方所有向下運動的氣體分子都不會撞到圓盤。

若圓盤的速度較大時，在考慮氣體分子碰撞產生的阻力時，在圓盤上方向下運動的分速度小于圓盤速度V的氣體分子就不能撞到圓盤上，而在圓盤下方則會多出來豎直向下分速度小于V的氣體分子對圓盤的撞擊。此時就要調整兩個作用力的積分區間，當V遠大于氣體分子熱運動速率時，可以認為圓盤上方的氣體分子幾乎都不能與圓盤發生碰撞，此時的圓盤所受的碰撞產生的作用力

對北京市這道高考題來說，如果讓考生在高中范圍內推導氣體阻力與速度平方成正比，題設更準確的表達應為“將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，當圓盤下落速度遠大于氣體分子熱運動速度時(實際下落時達不到這么大速度)，氣體分子的熱運動可以忽略不計，請在此條件下證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f∝v2。”至于題目提到的“由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。”這個結論當圓盤一開始運動后就已經不再成立了。

首先從數學上來考察f=k1+k22的意義。圓球受到的阻力應該是圓球速度的函數，即f=f()。圓球靜止時不受阻力，即f(0)=0。在v=0附近對f=f()做泰勒展開，忽略三階以上的量得到f=k1+k22。當圓球的速度足夠小時k1?k22，阻力滿足f≈k1。當圓球速度足夠大時k1?k22，阻力滿足f≈k22。

接下來考察f=k1+k22的物理意義。根據《流體力學》，當圓球的速度足夠小時，圓球周圍流體的流動滿足斯托克斯流動模式，壓強均勻分布。流體流過圓球時受到的壓力平衡，圓球前、后方流體的宏觀流動速度相同。此時流體對圓球的黏性起主導作用，導致f≈k1。這和碰撞模型的結論是一致的。當圓球的速度足夠大時，圓球周圍流體的流動滿足奧辛流動模式，壓強分布不均勻。流體流過圓球時，圓球前、后方的壓強差使流體流動的速度加快。此時圓球的動量轉化為流體宏觀流動的動量，導致f≈k22。這和流體模型的結論是一致的。所以說流體模型和碰撞模型都只在特定條件下成立。

(1) 將雨滴近似為面積為S的圓盤，運動方向和圓盤垂直。

(2) 所有空氣分子無規則熱運動速度的方向都和雨滴速度方向平行。

(3) 單位體積內分子數為n。雨滴前方一半空氣分子的熱運動速度與雨滴速度同向，另一半空氣分子的熱運動速度與雨滴速度相反。雨滴后方的空氣分子亦然。

(4) 雨滴以速度v下落時擠壓其前方的空氣，使得這些空氣的宏觀流動速度為vf

(5)vf是v的函數，即vf=vf(v)。雨滴靜止時，雨滴前方的空氣也靜止，即vf(0)=0。當雨滴速度不是特別大時，可以近似認為vf=vf(v)=kfv，0

(6) 同理，近似認為雨滴后方的空氣的宏觀流動速度雨滴運動方向相同，且滿足vb=vb(v)=kbv，0

(7) 以空氣為參考系，所有分子熱運動速度的大小都等于u。則地面參考系中，空氣分子的速度如圖2所示。

(8) 空氣分子熱運動的速度u遠大于空氣宏觀流動速度vf、vb和雨滴的運動速度v。所以只有向著雨滴運動的空氣分子才能和雨滴發生碰撞。

上述假設可以總結為圖2所示模型。以圓盤為參考系，雨滴前方向著雨滴運動的分子速度大小為u+(1-kf)v，Δt時間內與圓盤碰撞的空氣分子質量為

Δm=Snm0[u+(1-kf)v]Δt

圖2

與雨滴彈性碰撞后這些分子的速度反向。根據動量定理，圓盤受到的向后的力為

同理圓盤后方分子碰撞圓盤產生的向前的力為

f2=2Snm0[u-(1-kb)v]2

所以圓盤所受合力為

其中k1=4Snm0(2-kf-kb)u，k2=2Snm0·[(1-kf)2-(1-kb)2]。這樣我們就得到了氣體阻力的一般表達式。下面簡單討論f=k1+k22的物理意義。首先00，k1v是阻力。其次，k1=4Snm0(2-kf-kb)u>0中包含有空氣分子無規則熱運動速度u，所以k1來自于做無規則熱運動的分子與雨滴的碰撞。如果像第24題參考解答那樣忽略分子無規則熱運動，k1v這一項就不存在了。第三，下落過程中，雨滴擠壓其前方的空氣，所以雨滴前方的壓強大于其后方的壓強。雨滴前方的一部分空氣繞過雨滴來到后方的過程中，雨滴前、后方的壓強差使得空氣的宏觀流動速度增加，所以有vb>vf，kbv>kfv，kb>kf，k2=2Snm0[(1-kf)2-(1-kb)2]>0。k22項也代表了阻力，它起源于雨滴和空氣之間的宏觀動量轉移。此式指明，忽略分子熱運動，考慮雨滴前后空氣宏觀流動速度的差別時，f≈k22。忽略空氣宏觀流動速度變化，考慮分子熱運動時f≈k1。這與流體力學嚴格計算出的結果相吻合。

本文中，我們從熱學和流體力學的角度出發，討論了雨滴下落過程中所受阻力的表達式。分析表明，當雨滴的速度足夠小時k1?k22，空氣對雨滴的黏性起主導作用，阻力滿足f≈k1。當雨滴速度足夠大時k1?k22，雨滴的動量轉化為空氣宏觀流動的動量，阻力滿足f≈k22。在此基礎上我們修正了空氣阻力的碰撞模型，推導出空氣阻力的定性表達式f=k1+k22。