多個公式 多條思路

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

等差數列是高考常考的知識點,通常都要利用通項公式與前n項和公式,按部就班列出方程求解,但有時在考場上這樣做,既浪費時間,又效率不高。本文介紹等差數列通項與求和相關的兩個有用的性質,希望能幫助同學們迅速地解題。

性質1設{an}為等差數列,an、am、ak分別為第n項、第m項和第k項,則有：

證明：設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則由等差數列的通項公式,得：

則(m-k)an+(k-n)am+(n-m)ak=(m-k+k-n+n-m)a1+[(m-k)(n-1)+(k-n)(m-1)+(n-m)(k-1)]d=0。

性質2設{an}為等差數列,Sn、Sm、Sk分別為前n項、前m項和前k項的和,則有：

證明：設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則由等差數列的前n項和公式得：

公式①與公式②結構簡單、優美,在應用時注意通項與求和的下標按照n,m,k的順序,而各項前面的系數依次為m,k,n中兩項的循環差。

例1已知｛an｝是等差數列

解析：由公式①,得：(100-200)a50+(200-50)a100+(50-100)a200=0。

例2已知｛an｝是等差數列,am=n,an=m,則am+n=_____。

解析：由公式①,得：

將已知條件代入,得-nm+mn+(n-m)am+n=0,解得am+n=0。

點評：一般地,對于等差數列｛an｝,由公式①,可得。如果an=n,am=m,m≠n,那么am+n=m+n。

例3已知｛an｝是各項非零的等差數列,則

解析：由公式①,得：

點評：這是一道新編題,如果按照常規方法,利用通項公式去處理,那么很容易“卡殼”,甚至出錯。

例4已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn,若S4=4,S6=12,則S20等于( )。

A.60 B.120 C.180 D.240

解析：由公式②,得。將已知條件代入,得,解得S20=180,故答案為C。

點評：按照通常的解法,先要兩次利用前n項和公式建立兩個方程,求出兩個基本量a1和d,然后第三次再利用前n項和公式,才能求出結果,而用公式②卻可一步到位。

例5等差數列｛an｝的前n項和為Sn,若a2=1,a3=3,則S4=( )。

A.6 B.8 C.10 D.12

解析：由公式②,得：

故答案為B。

點評：在公式②中,取k=n+m,則可得