微積分學概念溯源例談

王繼強　范甜

摘 要：微積分學中有許多概念看似尋常，但其背后往往都有著或有趣或厚重的淵源。作者在長期教學和科研經驗的基礎上，從歷史和現實兩個角度對微積分學中一些典型概念的來源進行了追溯，以求達到解疑釋惑、正本清源之目的。

關鍵詞：函數;極限;導數;微分;積分

中圖分類號：N09;O13文獻標識碼：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2019.04.014

Discussion on the Origin of Some Concepts in Calculus//WANG Jiqiang， FAN Tian

Abstract：Many concepts in calculus seem to be ordinary， but they usually have interesting origin. Based on long-term teaching and research experiences， the authors retrospect the origin of some classic concepts in calculus from the angle of history and reality， in order to eliminate the doubts and trace the origin.

Keywords：function; limit; derivative; differential; integral

引 言

17世紀末，英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茨（Leibniz）分別創立了微積分學說[1-2]。微積分作為初等數學和高等數學的“分水嶺”，在現代科學中起著極其重要的作用，堪稱人類智慧的結晶。筆者在大學里從事數學教學與研究多年，講授微積分課程多遍，發現微積分學中有很多概念、術語、符號的由來都不同尋常。因此，本文試圖揭開微積分學中一些典型概念的前世今生，與知音共賞。

一 概念溯源

1.元

在微積分學中，“元”特指函數的自變量、方程（組）的未知數等。

元朝末年數學家李冶提出了“天元術”，即“立天元一為某某”，相當于現代的“設x為某某”。李冶的“天元”為“一元”，比其時代稍晚的朱世杰則提出了“四元術”，即用“天、地、人、物”四元來表示四個未知數，比西方早了500多年[3]。

這種用“元”代表未知數的方法流傳至今，如通常所說的“二元函數”“一元二次方程”等。“元”的使用省卻了用文字表達數學關系的麻煩，大大促進了數學的發展。

值得一提的是，1989年中國創立的“數學天元基金”的名稱就是取自“天元術”。

2.函數

函數的定義形式之一為：給定數集D和Z，若有一個對應法則f，使得任取x∈D，都有唯一的y∈Z與之對應，則稱y為x的函數，記作y=f（x）。

萊布尼茨最早提出了“函數”的概念，他稱“與變動的量x同時變動的變數為x的函數”，名曰functio，后演變為英文詞function。后來，瑞士數學家歐拉（Euler）首次取首字母f將變量x的函數記作f（x），沿用至今。

1859年，清代數學家李善蘭在與英國傳教士偉烈亞力（Alexande Wylie）合譯的《代微積拾級》中首次將function譯為“函數”，并給出定義：“凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數。”這里，“函”同“含”，在《說文解字》中意為“容也”[1]。試想，當變量y中含有變量x，y自然就是x的函數了，甚是貼切。

此外，代數（algebra）、常數（constant）、變數（variable）、未知數（unknown number）、系數（coefficient）、級數（series）、橫軸（horizontal axis）、縱軸（vertical axis）、曲線（curve）、方程（equation）、根（root）、切線（tangent）、法線（normal）、漸近線（asymptote）等微積分學常用詞匯也都是李善蘭首譯的。

3.方程

“方程”一詞最早見于1世紀的中國算學名著《九章算術》，不過當時的“方程”指的是含有多個未知數的一次方程組，即現在大學線性代數課程講的線性方程組。該書第八章“方程”介紹了世界上最早的線性方程組的表示方法（分離系數法，即今矩陣法）和解法（直除法，即今初等行變換法）。

魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中有言：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。”[2]意思是說，有幾個“物”就列幾個“程”（式子），這些“程”“并列為行”，構成了一個方陣，是為“方程”。

4.極限

極限是微積分學的基礎概念和研究主線，其英文詞limit本來就是“最大的限度”“無限趨近的一個固定的狀態”之意，與函數極限“limx→x0f（x）=a”的含義完全一致。

春秋時期墨家學派經典著作《墨經》中有“體，若二之一，尺之端也”的記載，蘊含著“點是線段無限分割的極限”的思想萌芽。《莊子》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽割圓術中“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”更是傳神地刻畫了極限含義的精髓。

5.無窮大、無窮小

微積分學中的無窮思想在《墨經》中早有定義：“窮：或不容尺，有窮;莫不容尺，無窮也。”

無窮分為無窮大和無窮小。《莊子》記載：“至大無外謂之大一，至小無內謂之小一。”意思是說，“至大”是沒有邊界的，就叫無窮大;“至小”是沒有內部的，就叫無窮小。