分段光滑碰撞振動系統吸引域結構變化機理研究

張 惠， 丁旺才， 李險峰

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2. 蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070)

含間隙和預緊彈簧的碰撞振動系統在齒輪齒條間隙調整機構[1]、含作動器的隔振系統[2-3]及超磁致伸縮激振器[4]等機械系統中廣泛存在，通過螺栓調節彈簧壓縮量來調節預緊力大小，預緊彈簧的存在使系統的非光滑程度增加，系統流形的光滑度為2[5]。碰撞振動系統的全局分析主要是為了獲得系統的漸近或穩態響應。對于相空間中存在多個吸引子的情況，如果隨機選擇初始條件，除非知道各個吸引子的吸引域，否則一般情況下不能確切的了解其漸近響應。此外，在碰振系統中即使當參數發生微小的變化，也可能會導致相空間結構的巨大的變化，比如吸引集的突然出現或消失或者穩定性發生改變，所以需要理解哪些參數及如何導致這些拓撲結構的變換或者分岔的產生。全局分析在科學和工程領域，如研究轉子軸承、齒輪等機械系統、隨機系統全局分析和分岔、氣動彈性系統周期的、混沌的顫振的運動、控制系統的魯棒性等方面具有重要應用[6-8]。

對于全局分析的理論解析方法方面，比較著名的是Melnikov方法[9-10]。此外Parker等[11]敘述了吸引域的概念并呈現了一些動力系統中吸引域、軌道邊界即分界線的例子，并提出了計算和繪制吸引域邊界的方法。Komuro等[12]從同宿、異宿及周期軌道等方面深入分析了雙渦卷電路的全局兩參數分岔結構。Jiang[13]研究了轉子系統這一含接觸的分段光滑動力系統的全局響應特性。Zhang等[14]推導了一類碰撞振動擬哈密頓系統的全局次諧Melnikov函數。

由于非線性系統的類型多、求解難度大，目前沒有統一的解析求解方法，所以數值方法一直是非線性動力系統全局分析的可靠選擇和研究重點。由于逐點數值直接積分法需要花費很長的時間才能得到系統中存在的吸引子及其吸引域，這常使人們無法忍受，所以Hsu[15-19]提出更高效的胞映射法。Hong等[20-22]等借助于廣義胞映射圖論方法發現了嵌入在分形吸引域邊界內的混沌鞍，混沌鞍碰撞混沌吸引子導致混沌吸引子完全突然消失，產生混沌的邊界激變。馮進鈐等[23]基于圖胞映射理論，提出了一種擦邊流形的數值逼近方法，研究了典型Duffing碰撞振動系統中擦邊誘導激變的全局動力學。Grebogi等[24-26]研究了吸引域邊界的質變，即吸引域邊界性質的改變。Nusse等[27]將吸引域的邊界點按各自的特點分成了四類，并提出了域擁有域胞及域胞產生和摧毀的充要條件。洪靈等[28]證明Wada域邊界上的混沌鞍導致局部鞍結分岔具有全局不確定性結局。張永祥[29]對典型混雜系統吸引域及邊界的理論描述、流形分析及吸引域算法進行了研究。韓清振等[30]應用分岔圖研究了相對轉動系統隨平方非線性剛度系數及激勵角頻率變化的全局動力學行為。Hu[31]用平均法研究了含預緊的對稱彈性裝置的主共振和穩定性，解析得到了穩定和不穩定參數區域。樂源等[32]研究了一類三自由度碰撞振動系統的激變和陣發性。Gritli等[33]認為兩足機器人通過斜坡時的兩足混沌運動的產生和消除是通過邊界激變方式而產生的。趙建學等[34]采用不同控制方法使系統遷移至目標軌道，實現系統吸引子遷移控制。

本文針對機械系統中常見的含間隙和預緊彈簧分段光滑碰撞振動系統，建立了其動力學模型，分別在不同截面上建立了系統的Poincaré映射；研究了隨關鍵參數—激振頻率ω變化時系統中共存的各個分支及其發生分岔的過程，利用Lyapunov維數分析了系統的穩定性；分析系統共存分支出現及泯滅的原因；利用Poincaré胞映射法在不同Poincaré截面上研究系統共存吸引子及其吸引域；分析由不同類型的鞍結分支引起吸引域結構發生質變的機理。通過研究系統的吸引子共存及其吸引域結構變化以期為系統的結構優化及控制提供理論支持。

1 系統描述及其運動方程

1.1 力學模型

建立含間隙及預緊彈簧的分段光滑碰撞振動系統模型，如圖1所示。左邊是激振器中質量為M的力輸出桿，其由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數為R1的線性阻尼器連接于支承， 并受到簡諧激勵Fmcos(ΩT+τ)的作用(Fm為簡諧激勵力幅值，ω為簡諧激勵力頻率，τ為初始相位)。右邊是一個帶有預壓縮彈簧K2和阻尼系數為R2的平面(無質量)，用來緩沖碰撞。取物塊靜平衡位置為坐標原點，彈簧K2被預壓縮來緩沖振動，設彈簧K2的預壓縮量為D。

圖1 模型圖Fig.1 Model diagram

當X<Δ時，這是一個簡單的諧波振子，方程為

(1)

當X>Δ時， 物快與右邊預緊彈簧發生接觸，因為在接觸表面沒有質量，方程為

(2)

取無量綱量

則系統的無量綱運動微分方程為

(3)

1.2 方程的解

物塊與墻面發生接觸階段(即x≥δ時)，由初始條件

(4)

(5)

(6)

其中，

η=ζ(1+μr),

b2=(y0+ηa2+A2ωsinτ0-B2ωcosτ0)/ωd2。

Risk assessment of mountain torrent disaster in small watershed of east Yunnan province SU Wen-hao GAN Shu CHEN Ming-yi(28)

物塊與預緊彈簧沒有發生接觸階段，由初始條件

(7)

當ζ<1時，式(3)的通解為

(8)

(9)

其中，

2 系統共存吸引子及其吸引域

2.1 系統共存吸引子產生及湮滅分析

圖2 隨ω變化時系統中共存的各個吸引子Fig.2 Theco-existing attractors in the system as changes with ω

隨著激勵頻率ω的遞增，系統穩定的q=2/2周期運動經周期倍化分岔序列，通過PD1，PD2(Periodic Doubling)等分岔點后進入q=4/4,q=8/8、混沌等運動狀態，在ω7=2.493 5附近系統經邊界激變BC(Boundary Crises)，從混沌運動中退化出穩定的q=2/3周期運動。從圖2(b)可以了解到當系統處于混沌運動狀態時Lyapunov維數為分數形式。我們再隨勵頻率ω的遞減來分析系統中共存的另一分支—A2的運動轉遷過程。隨著ω的減小，q=2/3周期運動在ω3=2.475附近經歷“擦邊”分岔GB1(Grazing Bifurcation)，從q=2/3周期運動轉遷為q=7/9周期運動，碰撞數in和周期數en如圖2(c)和圖2(d)所示。隨著ω的進一步減小，q=7/9運動經由周期倍化分岔進入q=14/18運動狀態。在ω1=2.463附近，q=14/18運動經歷第二次“擦邊”分岔GB2，擦邊后系統共存吸引子也隨即消失，只保留穩定的q=2/2周期運動。

2.2 系統共存吸引子吸引域演變規律分析

圖3 ω1=2.463，q=2/2和q=14/18吸引子共存Fig.3 ω1=2.463, q=2/2 and q=14/18 attractors coexist

圖4 ω2=2.473 6，q=2/2和q=7/9吸引子共存Fig.4 ω2=2.473 6, q=2/2 and q=7/9 attractors coexist

圖5 ω3=2.475，q=2/2和q=2/3吸引子共存Fig.5 ω3=2.475, q=2/2 and q=2/3 attractors coexist

圖6 ω5=2.48, q=4/4和q=2/3吸引子共存Fig.6 ω5=2.48, q=4/4 and q=2/3 attractors coexist

圖7 ω6=2.486，q=8/8和q=2/3吸引子共存Fig.7 ω6=2.486, q=8/8 and q=2/3 attractors coexist

圖8 ω7=2.493 5，混沌吸引子和q=2/3吸引子共存Fig.8 ω7=2.493 5, chaos and q=2/3 attractors coexist

3 非光滑系統吸引域結構變化機理研究

3.1 由“擦邊”運動誘導出現的平常型鞍點分支

從圖3～圖8中可以了解到：A1分支(即主分支)雖然經歷了倍周期分岔，但在倍化分岔序列參數范圍內，各個吸引子的吸引域在σp和σnPoincaré截面上均沒有發生太大的變化。但是隨著ω的減小，從圖5(a)～圖8(a)可以觀察到，在ω∈[2.475,2.48]之間的某個臨界參數值處，A2分支中的q=2/3周期運動的吸引域邊界在σpPoincaré截面上發生了分形，發生了光滑—分形質變。利用二分法逼近臨界質變點，得到臨界質變發生在ω=2.475 52附近。分析得到：A2分支的吸引域之所以發生了結構質變，是因為此時系統的狀態空間中出現了一個由擦邊運動所誘導的鞍結分岔所形成的新分支—A3分支，如圖10所示。其起始于q=5/6周期運動，分為5片，每一片隨著ω的減小均通過周期倍化分岔很快的進入混沌，所以A3分支只存在于ω∈[2.475 15,2.475 5]這樣很小的一段參數范圍內。在σp和σnPoincaré截面上的吸引子和吸引域如圖9(a)和圖9(b)所示。這一分支的出現使q=2/3周期運動的吸引域在這一鄰域既發生了邊界質變，即吸引域從光滑變為了分形結構，也發生了內部激變，即n(n=2,3,…)片混沌吸引子與其吸引域邊界發生相切，這兩種類型的全局分岔。q=5/6周期運動在σpPoincaré截面上的五個周期點坐標如表1中SN1各值所示。各個周期點處系統Jacobian的特征值如表2所示，其中Si(i=1,3,4,5)的特征值0<ρ1<1<ρ2，其為平常型鞍點[35]。A3分支的出現使系統在ω=2.475 52時狀態空間中存在三個不同的吸引子，即q=2/3,q=4/4和q=5/6。同時因為吸引域的分形結構，使一些吸引子可能不在它們自己的吸引域內，這個特性是不同于光滑系統的吸引域屬性。所以ω=2.475 52時由于鞍結分岔導致了系統吸引域結構的變化。隨后，隨著ω的減小A3分支經歷周期倍化分岔進入混沌，在ω=2.475 14時系統運動軌道與碰撞邊界相切，發生擦邊分叉，A3分支消失。

圖9 ω=2.475 52,q=2/3,q=4/4,q=5/6吸引子共存Fig.9 ω=2.475 52,q=2/3,q=4/4 and q=5/6 attractors coexist

SN1(ω=2.475 52)SN2(ω=2.483 95)S1(0.303 3,0.338 4)(1.944 6,0.453 6)S2(0.633 3,0.402 5)(2.399 4,0.373 4)S3(2.530 5,0.500 4)(3.295 9,0.190 8)S4(2.588,0.569 7)(2.607,0.295 9)S5(3.772 8,0.026 1)(3.208 1,0.345 1)S6(3.039 5,0.226 7)

表2 SN1各點處Jacobian矩陣特征值

圖10 隨參數ω變化時系統共存的吸引子Fig.10 The coexists attractors in the system as the parameter ω changes

3.2 由周期倍化分岔誘導出現的翻轉型鞍點分支

通過進一步研究還發現：在ω=2.483 95時，系統狀態空間中又出現了一個新的分支—A4分支。A4分支的出現是由于系統中的周期倍化分岔所誘導的鞍結分岔所形成，隨著ω的增加，其起始于q=6/6周期運動。在σpPoincaré截面上的六個周期點坐標如表1中SN2各值所示。各個周期點處系統Jacobian的特征值如表3所示，其中Si(i=1,2)的特征值ρ1<-1<ρ2<0，其為翻轉型鞍點。A4分支的出現也使A1分支的吸引域經歷了光滑—分形質變。當ω=2.483 95時，在σp和σnPoincaré截面上的吸引子和吸引域如圖11(a)和圖11(b)所示。其后隨著ω的增加，A4分支經歷周期倍化分岔進入混沌，在ω=2.484 68時混沌吸引子與其吸引域邊界發生內部邊界碰撞，造成A4分支的消失。

表3 SN2各點處Jacobian矩陣特征值

圖11 ω=2.483 95,q=2/2,q=4/4,q=6/6吸引子共存Fig.11 ω=2.483 95,q=2/2,q=4/4 and q=6/6 attractors coexist

而且當隨著系統其他主要分岔參數變化時(比如間隙δ)，引起系統共存吸引子的產生及泯滅的原因是相同的，引起系統吸引子吸引域發生質變的機理也是相同的，此處不再贅述，所以上述關于吸引域質變機理的研究具有普適性。

4 結 論

本文建立了一類單自由度含間隙和預緊彈簧的分段光滑碰撞振動系統模型，建立了系統的Poincaré映射；研究了系統隨關鍵分岔參數ω變化時系統吸引子共存情況，利用Lyapunov維數分析了系統的穩定性。通過不同平面上的的Poincaré映射，來研究系統的碰撞和周期運動；利用改進的胞映射法，研究了系統中共存吸引子的吸引域。研究了由內部邊界碰撞和非光滑相切引起的混沌吸引子的產生和摧毀過程，重點分析了吸引域結構變化情況。得出如下結論：

(1) 非光滑系統中吸引子可由兩種情況所誘導產生——擦邊分岔二是周期倍化分岔所誘導。

(2) 非光滑系統中吸引子的消失是由兩種情況所形成：一是系統運動軌道與碰撞面相切，即由外部邊界碰撞所引起的擦邊分岔所形成；二是由于由周期倍化分支所形成的混沌吸引子與其吸引域邊界碰撞即發生內部邊界激變所形成。

(3) 非光滑系統中吸引域發生光滑—分形質變是由于系統由擦邊分岔所誘導出現的平常型鞍點，及由周期倍化分岔所誘導的翻轉型鞍點的穩定與不穩定流形發生橫截相交，從而造成吸引域分形結構的出現。