淺談高考中“氣體類”計算題的幾種模型

丁少航

(中山市濠頭中學，廣東 中山 528437)

理想氣體的狀態方程:一定質量的某種理想氣體,從狀態1變化到狀態2時,盡管p、V、T都可能改變,但壓強跟體積的乘積與熱力學溫度的比值保持不變,即

式中c是與p、V、T無關的常量.

在“氣體類”計算題中,要想列出理想氣體的狀態方程,首先確定熱學研究對象(一定質量的理想氣體),再根據題目所述的物理過程,對熱學研究對象分析清楚初、末狀態及狀態變化過程,最后選擇出最佳的氣體實驗定律列出方程.對近幾年全國卷的研究,“氣體類”的高考計算題中的研究對象不僅僅有熱學研究對象,還會涉及到力學研究對象(如活塞、液柱等),一般有以下幾種模型.

1 平衡類問題

高考“氣體類”的計算題,很多都是涉及到物體的平衡問題,此類問題有兩個研究對象——熱學研究對象和力學研究對象.對于熱學研究對象,分析該氣體的初、末狀態及狀態變化過程,選擇合適的氣體實驗定律列出方程;而對于力學研究對象,正確地對其進行受力分析,根據力學規律列出方程.還要結合題目中所給的隱含條件(如幾何關系),列出方程,聯立求解.

1.1 汽缸活塞類問題

圖1

例1.[2018年全國Ⅱ卷第33題(2)問]如圖1所示,一豎直放置的汽缸上端開口,氣缸壁內有卡口a和b,a、b間距為h,a距缸底的高度為H;活塞只能在a、b間移動,其下方密封有一定質量的理想氣體.已知活塞質量為m,面積為S,厚度可忽略;活塞和汽缸壁均絕熱,不計他們之間的摩擦.開始時活塞處于靜止狀態,上、下方氣體壓強均為p0,溫度均為T0.現用電熱絲緩慢加熱氣缸中的氣體,直至活塞剛好到達b處.求此時氣缸內氣體的溫度以及在此過程中氣體對外所做的功.重力加速度大小為g.

解析:本題的熱學研究對象是活塞下方密封的一定質量的理想氣體,力學研究對象是可在a、b間移動的活塞.

開始時活塞在a處保持靜止狀態,對其進行受力分析可知,這時卡口對活塞有支持力.所以加熱后,汽缸中的氣體先經歷等容過程,直至活塞剛好要向上運動.

在這個等容過程中,初狀態:壓強p0,溫度T0;末狀態:壓強p1,溫度T1.由查理定律,

活塞剛好要向上運動時,由力的平衡條件,有

p1S=p0S+mg，

此后,汽缸中的氣體再經歷等壓過程,直至活塞剛好到達b處,在這個等壓過程中,初狀態:體積V1=SH,溫度T1;末狀態:體積V2=S(H+h),溫度T2.由蓋—呂薩克定律,有

解得

從開始加熱到活塞到達b處的過程中,汽缸中的氣體對外做的功為

W=p1S·h=(p0S+mg)h.

若涉及到相互關聯的兩部分氣體,這兩部分氣體雖然沒有氣體交換,但其壓強或體積這些物理量之間有一定的關系,分析清楚這些關系才是解決這類問題的關鍵.

圖2

解析:本題的熱學研究對象是活塞上、下部分密封的一定質量的氣體(均可看成是理想氣體),力學研究對象是可自由移動、不計質量的活塞.

由幾何關系可知

再次平衡時,設活塞上方液體的質量為m,由力的平衡條件得

p2S=p1S+mg，

解得

1.2 液柱類問題

圖3

例3.[2018年全國Ⅲ卷第33題(2)問]如圖3所示,在兩端封閉、粗細均勻的U型細玻璃管內有一股水銀柱,水銀柱的兩端各封閉有一段空氣.當U型管兩端豎直朝上時,左、右兩邊空氣柱的長度分別為l1=18.0 cm和l2=12.0 cm,左邊氣體的壓強為12.0 cmHg.現將U型管緩慢平放在水平桌面上,沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊.求U型管平放時兩邊空氣柱的長度.在整個過程中,氣體溫度不變.

解析:本題的熱學研究對象是左、右兩邊封閉的一定質量的氣體(均可看成是理想氣體),力學研究對象是存有高度差的水銀柱.

當U型管兩端豎直朝上時,左、右兩邊存有高度差的那段水銀液柱的受力平衡,則有

p1S=p2S+ρg(l1-l2)S，

式中p1和p2為左、右兩邊氣體的壓強,S為玻璃管的橫截面積,ρ為水銀的密度.

圖4

當U型管水平放置時,兩邊氣體壓強相等,設為p,此時左、右兩邊氣體長度分別變為l1′和l2′(如圖4所示).

在這個變化的過程,對左邊氣體(溫度不變)有,初狀態:壓強p1,體積V1=l1S;末狀態:壓強p,體積V1′=l1′S;對右邊氣體(溫度不變)有,初狀態:壓強p2,體積V2=l2S;末狀態:壓強p,體積V2′=l2′S.

由玻意耳定律有

p1V1=pV1′，p2V2=pV2′.

幾何關系可知

l1′-l1=l2-l2′.

解得

l1′=22.5 cm，l2′=7.5 cm.

2 變質量問題

處理氣體的變質量問題,通常要研究質量變化前的氣體和質量變化后的氣體,把它們轉化為定質量的氣體問題.選擇一個合適的狀態參量作為標準(如同一個大氣壓),把質量變化前的氣體和質量變化后的氣體的狀態參量轉為同一標準下的氣體狀態參量,再根據題意求解出結果.

例4.[2016年全國Ⅱ卷第33題(2)問]一氧氣瓶的容積為0.08 m3,開始時瓶中氧氣的壓強為20個大氣壓.某實驗室每天消耗1個大氣壓的氧氣0.36 m3.當氧氣瓶中的壓強降低到2個大氣壓時,需重新充氣.若氧氣的溫度保持不變,求這瓶氧氣重新充氣前可供該實驗室使用多少天.

解析:選一個大氣壓p0做為參考標準,未使用時氧氣瓶中的氣體轉化成在一個大氣壓p0中的體積(溫度T不變), 初態:壓強p1=20p0,體積V1=0.08 m3,末態:壓強p0,體積V.

由p1V1=p0V,求出V=20V1=1.6 m3.

圖5

使用后氧氣瓶中的氣體轉化成在一個大氣壓p0中的體積(溫度T不變),初態:壓強p2=2p0,體積V2=0.08 m3,末態:壓強p0,體積V′.

由p2V2=p0V′,求出V′=0.16 m3.