基于擺角約束的雙擺吊車軌跡規劃

張天成,邵雪卷,張井崗

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

0 引言

當橋式吊車系統中的有效負載體積過大或當吊鉤質量與有效負載質量相比不可忽略時，橋式吊車系統會呈現雙擺效應。此時，系統擺動特性更為復雜，同時會增加動態性能分析和設計控制方案的難度，導致基于單擺吊車系統所設計的控制方法應用于雙擺吊車系統時難以取得令人滿意的效果。

針對雙擺橋式吊車系統，一些研究人員從開環控制的角度出發[1-6]，設計控制方案。文獻[3]提出一種基于迭代學習策略的梯形加速度樣條曲線軌跡規劃方法，當系統參數改變時，能夠表現出較強的魯棒性。文獻[4]在考慮各種約束的前提下，給出了以運輸時間為性能指標的目標函數，并通過二分法來求解，以得到期望軌跡。然而開環控制在存在外界干擾或內部擾動時難以保證良好的穩定性。因此，閉環控制策略也逐漸開始應用于雙擺吊車系統中[7-10]。例如文獻[7]分別為臺車定位和兩級擺動設計PID控制器。Sun等[8]設計了一種幅值飽和非線性狀態反饋控制器。此外，滑模控制[11]、魯棒控制[12]等控制方法也逐漸擴展到雙擺吊車系統。

為了能夠方便地考慮系統的擺角約束、提高雙擺橋式吊車的工作效率、并滿足系統對安全性和快速性的的要求，本文設計了一條能夠滿足擺角約束的有效負載擺角曲線。該設計根據臺車運動和兩級擺動的耦合關系，構造關于時間和最大擺角的目標函數，從而將軌跡規劃問題轉化成一個優化問題，并利用粒子群算法求解。最終，通過仿真驗證所提方法的有效性。

1 問題描述

橋式吊車因其成本低廉、機械結構簡單等特點，在現代工業生產運輸過程中得到了廣泛的應用。整個運輸過程中要求臺車能夠安全、準確地運送至指定位置，并且有效抑制負載擺動。在實際工作中，通常由經驗豐富的工人來對吊車進行控制。然而，人工操作的方式存在定位精度差、有殘余擺動等問題。此外，由于吊車系統欠驅動特性的存在，臺車運動與負載擺動高度耦合，一旦操作不當就會造成較大的負載擺動，一些失誤甚至會導致負載的不可控擺動，引發安全事故。因此，吊車系統的自動控制方案研究非常重要。

雙擺橋式吊車系統模型如圖1所示。圖1中：M、m1、m2分別為臺車質量、吊鉤質量和有效負載質量；l1為吊繩繩長；l2為有效負載重心到吊鉤重心之間的距離；x(t)為臺車位移；θ1(t)為吊鉤擺角；θ2(t)為有效負載繞吊鉤產生的擺角；g為重力加速度常數；F(t)為作用在臺車上的驅動力。

圖1 雙擺橋式吊車系統模型

由拉格朗日方程，可得雙擺橋式吊車的運動學模型如下：

(1)

(2)

(3)

對式(2)、式(3)化簡，整理可得：

(4)

(5)

式(4)、式(5)表示了臺車運動和兩級擺動之間的耦合關系，即臺車運動對兩級擺動的影響。在實際運用中，往往會進行如下近似處理：

sinθ1≈θ1,sinθ2≈θ2,cosθ≈1,cosθ2≈1

sin(θ1-θ2)≈(θ1-θ2),cos(θ1-θ2)≈1

此時，式(4)可改寫為：

(6)

(7)

聯立式(6)、式(7)，可得：

(8)

式(8)表明了吊鉤擺角和有效負載繞吊鉤產生的擺角之間的近似關系。

2 軌跡規劃

在實際工作中，臺車的水平運輸過程通常可以分為三個階段：加速階段、勻速階段和減速階段，并且加速階段與減速階段互為中心對稱。在加速階段，臺車速度逐漸增加，直至進入勻速階段。在勻速階段后，臺車勻速運行。到達減速階段，臺車速度逐漸減小，到達指定位置，此時臺車速度為零。加速階段與減速階段互為中心對稱。符合這一規律的水平運輸過程如圖2所示。

圖2 水平運輸過程示意圖

本文所提出的軌跡規劃策略同樣符合這一規律，每一階段的臺車運動軌跡可分別表示為：

(9)

上述軌跡相對應的兩級擺動分別表示為：

(10)

(11)

為了保證橋式吊車系統的安全性，并提高系統的工作效率，本文針對雙擺橋式吊車系統規劃得到的臺車軌跡應能滿足如下約束。

①臺車從起始位置x0出發，tz時間內到達指定位置pd。在整個運輸過程中，臺車速度、加速度始終保持在允許的范圍內，即：

x(t0)=x0

(12)

x(tz)=pd

(13)

(14)

(15)

(16)

②在運輸過程中，兩級擺動始終保持在允許的范圍內，每一階段結束時無殘余擺動，即：

θ(t0)=θ(tf1)=θ(tf2)=θ(tz)=0

(17)

(18)

(19)

(20)

為了使軌跡能夠滿足約束(12)～(20)，需對三個階段分別進行分析，保證構造所得軌跡能夠滿足不同階段的要求。

第一階段。在這一階段，需要規劃出能夠滿足各約束條件的臺車運動軌跡和兩級擺動軌跡。由約束條件(12)～(16)可知，θ1(t)、θ2(t)在t0、tf1處應有三階零點；又由式(8)所示兩級擺角之間的關系可知，在θ2(t)、tf1處有五階零點。因此，在第一階段可取θ21(t)、θ21(t)為下列多項式函數：

θ21(t)=k0(t-t0)5(t-tf1)5

(21)

則由式(8)可得到第一階段θ11(t)為：

(22)

式中：k0、tf1為待確定未知參數。

(23)

又由式(7)可知：

(24)

則第一階段的臺車運動軌跡可計算如下：

(25)

式中：t∈[t0,tf1]。

(26)

當臺車加速度為零，且θ1(tf1)=θ2(tf2)=0時,由式(4)、式(5)中臺車運動與兩級擺角的耦合關系可知，在第二階段兩級擺角為：

θ12(t)=θ22(t)=0t∈[tf1,tf2]

(27)

第三階段。由于本文所提出的軌跡規劃策略符合第三階段與第一階段互為中心對稱這一規律，因此可通過第一階段的加速度軌跡來確定第三階段的加速度軌跡為：

(28)

通過計算可知，第三階段臺車位置與第一階段和第二階段有如下關系：

x3(t)=x1(tf1)+x2(tf2)-x(tf1+ff2-t)

(29)

式中：t∈[tf2,tz]。

另外，從期望軌跡的對稱性質,可得到第三階段中兩級擺角曲線分別為：

θ23=-θ21(tf1+tf2-t)t∈[tf2,tz]

(30)

θ13=-θ11(tf1+tf2-t)t∈[tf2,tz]

(31)

對于雙擺橋式吊車系統來說，運輸總時間越短，臺車的加速度越大。由臺車運動和兩級擺角之間的耦合關系可知，過大的加速度會導致系統兩級擺動角度超出允許的范圍，降低吊車系統的工作效率和安全性。為了使所得臺車運動軌跡和兩級擺角軌跡均能保持在安全范圍內、運輸總時間和最大兩級擺角之間能夠保持一定平衡，構造如下關于運輸總時間和最大負載擺角的目標函數：

F(tf1-t0,k0)=tz+α|θ21|max

(32)

式中：α>0為權重因子。

有效負載繞吊鉤產生的最大擺角可由式(23)表示，運輸總時間可用三個階段的時間和來表示：

(33)

其中：

x(tf2)=pd-[x(tf1)-x0]

(34)

將式(34)代入(33)中，可知：

(35)

當雙擺吊車系統參數已知時(不失一般性，t0、x0均取零)，需要確定未知參數k0、tf1，使得兩級擺動的最大擺角|θ1|max、|θ2|max和運輸總時間都盡可能地小。本文采用粒子群算法來求解這一多變量非線性優化問題。

粒子群優化(particle swarm optimization，PSO)算法是一種智能算法，主要通過對鳥群的捕食行為進行總結和模擬而得到。算法通過設計一種粒子來模擬鳥群中的個體。該優化問題中的最優解則被視為鳥群要尋找的食物源。所有的粒子僅具有速度和位置兩個屬性值。在迭代過程中，每一個粒子不僅可對自身最好的歷史位置進行學習，還可以根據整個種群中最優粒子的位置來對自己的位置進行改進；通過調整下一次迭代粒子尋優的方向和速度，最終使整個種群中所有的粒子都趨于最優解。算法的具體步驟如下。

①初始化粒子，確定最大迭代次數。

②計算目標函數的值，驗證粒子是否滿足約束條件。若不滿足，刪除該粒子并重新初始化。

③對于每個粒子，將其當前值與歷史最好值進行比較，并更新粒子位置向量。

④對于每個粒子，將其當前值與群體最好值進行比較，并更新粒子位置向量。

⑤更新粒子的速度向量和位置向量。其中，可根據下式更新速度向量：

位置向量可按下式進行更新：

⑥返回步驟②，直至迭代結束。

3 仿真與分析

為了驗證本文所提出軌跡規劃策略的有效性，在MATLAB環境下進行測試，使用文獻[5]中的吊車參數如下：

臺車目標位置及系統狀態約束為：

目標函數中，α取值為0.5。由粒子群優化算法可確定為未知參數tf1=3.1、k0=0.001。

本文所提軌跡規劃方法得到的加速度軌跡和速度軌跡如圖3所示。

圖3 臺車加速度軌跡及速度軌跡

3.1 對比研究

與文獻[7]所提控制方法進行比較，仿真對比結果如圖4所示。兩種方法的具體性能指標對比如表1所示。

圖4 仿真對比結果

控制方法運送總時間/s|θ1|max/(°)|θ2|max/(°)本文6.753.432.86文獻[7]7.974.506.80

從圖3、圖4可以看出，本文軌跡規劃方法得到的軌跡在滿足狀態約束的同時，可以保證臺車安全、準確到達指定位置，并且能夠有效抑制兩級擺動。由表1所示性能指標對比可知，與文獻[7]方法相比，本文臺車運行時間為6.75 s，相較于文獻方法節省1.22 s，并且本文方法中兩級擺動分別為3.43(°)和2.86(°)，均小于文獻[7]方法。仿真表明，本文軌跡規劃方法具有較好的控制性能。

3.2 魯棒性研究

在實際工作中，不同運輸任務中的負載質量不盡相同，并且繩長可能需要重新調整。此時，一些控制方案可能需要重新設計。這會增加計算量和工作量，降低工作效率。因此，有必要測試本文控制方案在系統參數改變時的控制性能，驗證其魯棒性。

考慮以下幾種情況。

①l2=0.6(m),m2=5(kg)。

②l2=0.4(m),m2=10(kg)。

③l2=0.2(m),m2=10(kg)。

通過仿真得到的系統參數改變時的兩級擺動如圖5所示。其中，虛線表示兩級擺動的允許范圍。

圖5 系統參數改變時的兩級擺動

上述不同情況所對應的兩級擺動的具體性能指標如表2所示。

表2 不同系統參數性能指標對比

由圖5及表2可知，當吊車系統中的有效負載和繩長變化時，本文所提控制方案所得到的兩級擺角幅值大小會產生變化，但始終保持在允許范圍內，臺車運行至指定位置后沒有殘余擺動存在。綜上可知，本文方法在臺車定位和擺角抑制方面都具有良好的性能。

4 結束語

本文針對具有雙擺特性的欠驅動橋式吊車系統，提出一種基于擺角約束的軌跡規劃方法。根據臺車與擺角之間耦合關系，構造關于時間和最大負載擺角的目標函數。利用粒子群算法求取目標函數中的未知參數，得到期望臺車加速度軌跡。該方法在滿足系統物理約束的同時，能夠保證臺車安全、快速定位至指定位置，并且抑制兩級擺動及殘余擺動。MATLAB仿真結果證明了本文方法的有效性和魯棒性。