簡捷求解一類勻強電場典型問題的解析式

隆 勇 李 力

(重慶市清華中學,重慶 400054)

高中物理教學中常見這樣一類勻強電場的典型問題:假設勻強電場的電場線與某平面共面,已知該平面上某幾點的電勢數值,要求解場強的大小和方向.近幾年這種類型的問題在各種高考復習資料以及高考試題中多次出現,例如2017年全國高考課標Ⅲ卷的第21題的(A)選項即為:一勻強電場的方向平行于xOy平面,平面內a、b、c3點的位置如圖1所示,3點的電勢分別為10 V、17 V、26 V,求電場強度的大小.

圖1

通常的求解方法是:計算某線段上的各個n等分點的電勢,從中尋找同某個已知電勢的點具有相等電勢的點,將這兩點相連得到一條等勢線(由于勻強電場的等勢線是直線),再畫出與之垂直且從高電勢指向低電勢的方向即得場強方向(須算出表示這一方向的角度),然后求出另一已知電勢的點到該等勢線的距離d,最后由E=U/d計算場強大小.

圖2

從物理的角度看,不妨稱這種方法為“等電勢法”,從數學上看是一種幾何法,步驟比較繁瑣,而且當各點的電勢數值或各點的位置關系比較一般化時,等電勢點的尋找和幾何計算都會很費事,求解過程中可能遇到相當大的難度.特別是當所給電勢和坐標為一系列已知字母時,等電勢點的確定無從下手,這種幾何法將完全失效.

其實,根據電磁學中靜電場電場強度與電勢梯度之間的關系[1],即電勢φ的負梯度等于電場強度E,將E=-φ沿勻強電場所在平面的兩個直角坐標軸Ox、Oy分解[2],得到Ex=-?φ/?x,Ey=-?φ/?y,又由于勻強電場處處相等,Ex、Ey皆常量,故可寫為

(1)

(1)式便是簡捷求解這類問題的解析式,用它可以如下求解上述高考試題:首先如前述求得φO=1 V后,用(1)式得

這一方法從數學上看是一種解析法,它根本不需要尋找等電勢點,也不需要有一定技巧的幾何計算,而是直接簡明地求出了場強矢量,明顯優于“通過尋找等電勢點再確定等勢(面)線及場強方向最后計算場強大小”的幾何方法,值得在教學中向師生們介紹推廣.