從參考系變換的角度討論摩擦力的功

喬國健 劉鑫巖 戴 瑞 于海波

(東北師范大學物理學院,吉林 長春 130024)

1 引言

摩擦力做功和人們的生活密切相關,也是中學物理教學內容的重點以及難點,學生在分析一個摩擦力做功時存在很多困惑,有時不能準確的分析出一個摩擦力是做正功、負功還是不做功. 針對學生在學習摩擦力做功遇到的困難,本文從功的定義出發探討一對摩擦力做功的和,使學生清楚一對摩擦力做功之和與能量轉換相關聯,希望學生不但會做題更要清楚摩擦力做功的物理本質,其有助于學生物理觀念的培養,并結合生活中常見實例,從參考系變換的角度討論一個摩擦力做功. 雖然對于基礎教育和高考而言,一般中學教學均默認地面參考系,不會涉及其它參考系及參考系變換問題,但其它參考系和參考系變換在日常生活中是真實存在的,中學生對其也存在一定的感知,讓學生了解從參考系變換的角度分析摩擦力的功,可以拓展學生分析問題的思路,培養學生的科學思維. 最后通過一道典型例題分析,進一步闡明本文的觀點.

2 一個力做功與一對相互作用力做功之和在參考系變換下的討論

2.1 一個力做功在參考系變換下是非協變的

如圖1所示,用r表示質點i在參考系O-xyz(O系)中的位置矢量,r0表示參考系O′-x′y′z′(O′系)的坐標原點O′在O系中的位置矢量(t=0時兩坐標原點O′與O重合),r′表示質點i在O′系中的位置矢量,則r=r′+r0.若質點i在力f的作用下在O系中發生的小位移為dr,則力f在O系和O′系中對質點i做的元功可分別表示為

δw=f·dr.

(1)

δw′=f·dr′=f·dr-f·dr0=δw-f·dr0.

(2)

由(1) 式和(2) 式積分可得,一個力的功在兩個參考系中的表達式不同,所以一個力的功在參考系變換下是非協變的,即,一個力的功與參考系的選擇有關.

圖1 參考系變換

2.2 一對相互作用力做功之和在參考系變換下是協變的,與能量轉換相關聯

如圖2所示,質點i和質點j在O系(O′系)中的位置矢量分別為ri(ri′)和rj(rj′),用fij(fij′)和fji(fji′)分別表示質點i對j和質點j對i的作用力,這對相互作用力在O系和O′系中的元功之和分別表示為:

δwij=fij·drj+fji·dri=fij·d(rj-ri)=fij·drij.

(3)

(4)

由(3)式和(4)式積分可得,一對相互作用力做功之和在兩個參考系中的表達式相同,即一對相互作用力做功之和在參考系變換下是協變的. 與此同時,一對相互作用力做功之和與不同形式的能量轉換相關聯,由動能定理推導可知,一對保守內力做功之和改變體系的勢能,一對非保守內力做功之和改變體系的動能. 所以討論一對相互作用力做功之和與能量轉換相關聯,用一對相互作用力做功之和討論問題更接近物理的本質.

圖2

2.2.1 一對靜摩擦力做功之和

若在摩擦力的作用下兩質點間未發生相對位移,兩質點間的摩擦力為靜摩擦力,這對靜摩擦力做功之和為0. 盡管這對靜摩擦力不做功,不改變體系的機械能,但由于這對相互作用的靜摩擦力分別作用在兩個物體上,所以這對靜摩擦力做功之和使體系的動能和勢能相互轉化.

2.2.2 一對滑動摩擦力做功之和

若在摩擦力的作用下兩個質點間發生了相對位移(位移與力不垂直)時,兩質點間的摩擦力為滑動摩擦力,由于摩擦力的方向總是與相對運動的趨勢相反,所以這對滑動摩擦力做功之和為小于0,做負功. 一對摩擦力又為非保守內力,其做功改變體系的動能,將動能轉換為熱能(摩擦生熱),體系的機械能減小,而這種摩擦生熱的過程是不可逆的,生成熱量的多少也與參考系的選擇無關.

3 從參考系變換角度討論一個摩擦力的功

由前面討論可知,一個力做功和參考系的選取有關,在不限定參考系的前提下討論一個力的功是沒有意義的,下面結合生活中實例,從參考系變換的角度討論不同參考系中一個摩擦力的功.

3.1 一個靜摩擦力的功

例1.如圖3所示,手握著瓶子或向下運動(圖3a),或向上運動(圖3b),或沿水平方向向右運動(圖3c),瓶子與手之間不發生相對運動,瓶子與手之間的摩擦力為靜摩擦力,瓶子受到的靜摩擦力f的方向是豎直向上的. 試討論上述3種運動情況下靜摩擦力對瓶子做的功.

(1) 以瓶子為參考系(O系,豎直方向為y軸,水平方向為x軸)

在O系中,因為瓶子的位移為0,所以3種運動情況下靜摩擦力對瓶子做功都為0,即W=0.

(2) 以地面為參考系(O′系,豎直方向為y′軸,水平方向為x′軸)

從參考系變換的角度討論上述3種運動情況下在地面參考系(O′系)中靜摩擦力對瓶子做的功. 對(2) 式求積分,W′=W-fy0,因為W=0,所以W′=-(fy0).

① 當手握著瓶子向下運動時(圖3a),O′系相對于O系的運動方向向上,位移y0與f方向相同,所以W′<0,靜摩擦力對瓶子做負功.

② 當手握著瓶子向上運動時(圖3b),O′系相對于O系的運動方向向下,位移y0與f方向相反,所以W′>0,靜摩擦力對瓶子做正功.

③ 當手握著瓶子沿水平方向向右動時(圖3c),O′系相對于O系的運動方向沿水平方向向左,位移x0與f方向垂直,W′=0,靜摩擦力對瓶子不做功.

(a)

(b)

(c)

3.2 一個滑動摩擦力的功

例2.汽車剎車時,如果車輪抱死,不能滾動,此時車輪與地面之間為滑動摩擦力,車輪所受滑動摩擦力f方向沿剎車時汽車運動的反方向. 試討論滑動摩擦力對汽車車輪做的功.

(1) 以車輪為參考系(O系,汽車運動方向為x軸)

在O系中,因為車輪的位移為0,所以滑動摩擦力對汽車車輪不做功W=0.

(2) 以地面為參考系(O′系,汽車運動方向為x′軸)

從參考系變換的角度討論在地面參考系(O′系)中滑動摩擦力對汽車車輪做的功. 對(2)式求積分,W′=W-fx0=-fx0.O′系相對于O系的運動方向沿剎車時汽車運動的反方向,x0與f方向相同,所以W′<0,此時在地面參考系(O′系)中滑動摩擦力對汽車車輪做負功.

4 典型例題分析

圖4 木塊有傳送帶上滑動的示意圖

如圖4所示,傳送帶AB的長為L=2 m,皮帶沿圖示方向以v=2 m/s的速率運動,現將一質量為m=1 kg的小木塊輕放在傳送帶的A點處,物塊與傳送帶間的摩擦系數μ=0.25,g=10 m/s2.求小木塊由靜止達到與傳送帶共速時摩擦力對小木塊所做的功、摩擦力對傳送帶所做的功,以及摩擦力所產生的熱量.

解析:達到共速前小木塊與傳送帶間的摩擦力為滑動摩擦力,其大小為

f=μmg=0.25×1 kg×10 m/s2=2.5 N.

木塊的加速度為

達到共速的時間為

分別以傳送帶為參考系(O系)和以地面為參考系(O′系)討論摩擦力對小木塊做的功、摩擦力對傳送帶做的功,以及摩擦力產生的熱量.

(1) 以傳送帶為參考系(O系,水平方向為軸x)

木塊的位移為

2.5 m/s2×(0.8 s)2=-0.8 m.

傳送帶的位移為

x2=0.

小木塊所受的滑動摩擦力方向與其運動方向相反,滑動摩擦力對小木塊做的功為

W1=fx1=(2.5 N)×(-0.8 m)=-2 J.

傳送帶所受的滑動摩擦力對傳送帶做的功為

W2=0

摩擦力產生的熱量為

Q=W1+W2=-2 J.

(2) 以地面為參考系(O′系,水平方向為x′軸)

從參考系變換的角度討論在地面參考系(O′系)中滑動摩擦力對小木塊和對傳送帶的功.O′相對于O系的運動方向沿水平方向向左(x0=-v0t=-1.6 m),小木塊所受滑動摩擦力方向向右,所以小木塊所受滑動摩擦力方向與x0方向相反.

滑動摩擦力對小木塊做的功為

W1′=W1-fx0=-2 J-(2.5 N)×

(-1.6 m)=2 J.

傳送帶所受滑動摩擦力方向與x0方向相同,滑動摩擦力對傳送帶做的功為

W2′=W2-fx0=0-(2.5 N)×(-1.6 m)=-4 J.

摩擦力產生的熱量為

Q′=W1′+W2′=-2 J.

顯然在不同參考系O系和O′系中,小木塊所受滑動摩擦力對其做的功不同(W1≠W1′),傳送帶所受滑動摩擦力對其做的功也不同(W2≠W2′),但在O系和O′系中一對摩擦力產生的熱量是相同的(Q=Q′),從機械能增量ΔE=Q<0角度分析,摩擦力為耗散力,即一對摩擦力做功之和與能量轉換相關聯,所以分析一對摩擦力做功更有意義,更接近物理的本質.

5 結論

由上述討論可知,一個摩擦力的功與參考系的選擇有關,在討論一個摩擦力做功時,首先要明確在哪個參考系中討論. 在某些情況下可以從參考系變換角度討論在不同參考系中一個摩擦力的功,例如,通常會選取運動物體本身為一個參考系(O系)分析一個摩擦力的功(有可能為0),再選擇地面為另外一個參考系(O′系)分析這個摩擦力的功,拓展學生思考問題的思路,培養學生的科學思維. 而一對摩擦力做功之和與參考系的選擇無關,與能量轉換相關聯,用一對摩擦力做功之和分析問題更接近物理的本質,其研究更有物理意義,有助于學生物理觀念的形成,更應受到教師和學生的關注.